2.32待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)

2 32 待定系数法求二次函数的解析式 知识讲解 提高 学习目标 1 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式 2 经历探索由已知条件特点 灵活选择二次函数三种形式的过程 正确求出二次函数的解析式 二次函数三 种形式是可以互相转化的 要点梳理 要点一 用待定系数法求二次函数解析式 1 二次函数解析式常见有以下几种形式 1 一般式 a b c 为常数 a 0 2yax 2 顶点式 a h k 为常数 a 0 3 交点式 为抛物线与 x 轴交点的横坐标 a 0 12yx1x2 2 确定二次函数解析式常用待定系数法 用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步 设 先设出二次函数的解析式 如 或 2yabc 2 yaxhk 或 其中 a 0 12 yax 第二步 代 根据题中所给条件 代入二次函数的解析式中 得到关于解析式中待定系数的方程 组 第三步 解 解此方程或方程组 求待定系数 第四步 还原 将求出的待定系数还原到解析式中 要点诠释 在设函数的解析式时 一定要根据题中所给条件选择合适的形式 当已知抛物线上的三点坐标时 可设 函数的解析式为 当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值 最小值时 可设函数的解2yaxbc 析式为 当已知抛物线与 x 轴的两个交点 x 1 0 x 2 0 时 可设函数的解析式为 hk 12yax 典型例题 类型一 用待定系数法求二次函数解析式 1 已知抛物线 经过 A B C 三点 当 时 其图象如图 1 所示 求抛物线的解yaxbc 2 x 0 析式 写出顶点坐标 图 1 答案与解析 设所求抛物线的解析式为 yaxbc 2a 0 由图象可知 A B C 的坐标分别为 0 2 4 0 5 3 解之 得 cab2164053 abc 123 抛物线的解析式为 yx 123yx 123258 该抛物线的顶点坐标为 2 总结升华 这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标 需要从图象中获取信息 已 知图象上三个点时 通常应用二次函数的一般式列方程求解析式 要特别注意 如果这道题是求 图 象所表示的函数解析式 那就必须加上自变量的取值范围 x 0 2 一条抛物线 经过点 与 求这条抛物线的解析式 yxmn 142 032 4 答案与解析 抛物线 经过点 和 yx2 这条抛物线的对称轴是直线 x 2 设所求抛物线的解析式为 yh 14 将点 代入 得 解得 03214023 h12 这条抛物线的解析式为 即 yx2 yx 432 总结升华 解析式中的 a 值已经知道 只需求出 的值 已知条件给出了两个点 因此 可以从二次函数mn 的一般式入手列方程组解答 还可以从所给两点 的特征入手 这两点关于抛物线的对称轴 0 对称 因此可知对称轴是直线 这样又可以从抛物线的顶点式入手 当点 M 和 N x 2 xy1 都是抛物线上的点时 若 则对称轴方程为 这一点很重要也很有用 xy2 y1 x 12 3 已知抛物线 的顶点坐标为 1 4 与 轴两交点间的距离为 6 求此抛物线的函axbc 2 数关系式 答案与解析 因为顶点坐标为 1 4 所以对称轴为 又因为抛物线与 轴两交点的距离为 6 x 1x 所以两交点的横坐标分别为 则两交点的坐标为 0 2 0 求1323 4 函数的函数关系式可有两种方法 解法 设抛物线的函数关系式为顶点式 a 0 把 2 0 代入得 1 yax 14 2 a 9 所以抛物线的函数关系式为 yx 4912 解法 设抛物线的函数关系式为两点式 a 0 2 把 1 4 代入得 a49 所以抛物线的函数关系式为 4 yx 2 总结升华 在求函数的解析式时 要根据题中所给条件选择合适的形式 举一反三 变式 已知一抛物线与 x轴的交点是 B 1 0 且经过点 C 2 8 A 1 求该抛物线的解析式 2 求该抛物线的顶点坐标 答案 1 42 y 2 9 类型二 用待定系数法解题 4 如图所示 已知二次函数 的图象经过 A 2 0 B 0 6 两点 21yxbc 1 求这个二次函数的解析式 2 设该二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 C 连接 BA BC 求 ABC 的面积 答案与解析 1 把 A 2 0 B 0 6 代入 21yxbc 得 解得20 6 bc 4 6 c 这个二次函数的解析式为 21yx 2 该抛物线的对称轴为直线 42 点 C 的坐标为 4 0 AC OC OA 4 2 2 1162ABSO A 总结升华 求 ABC 的面积时 一般要将坐标轴上的边作为底边 另一点的纵 横 坐标的绝对值为高进行 求解 1 将 A B 两点坐标分别代入解析式求出 b c 的值 2 先求出点 C 的坐标再求出 ABC 的面 积 举一反三 变式 已知二次函数图象的顶点是 且过点 12 302 1 求二次函数的表达式 2 求证 对任意实数 点 都不在这个二次函数的图象上 m M 答案 1 23 xy 2 证明 若点 在此二次函数的图象上 则 221 m 得 20 该方程无实根 418 所以原结论成立 巩固练习 一 选择题 1 对于任何的实数 t 抛物线 y x 2 2 t x t 总经过一个固定的点 这个点是 A l 3 B l 0 C 1 3 D 1 0 2 如图所示为抛物线 的图象 A B C 为抛物线与坐标轴的交点 且 OA OC 1 则下列关2yaxbc 系中正确的是 A B C D 1ab 1ab 2ba 0c 3 在平面直角坐标系中 先将抛物线 关于 x 轴作轴对称变换 再将所得的抛物线关于 y 轴作轴2yx 对称变换 那么两次变换后所得的新抛物线的解析式为 A B C D 2yx22y 2yx 4 老师出示了小黑板上题后 小华说 过点 3 0 小彬说 过点 4 3 小明说 a 1 小颖说 抛物线被 x 轴截得的线段长为 2 你认为四个人的说法中 正确的有 已知抛物线 与 x 轴交于 1 0 试添23yab 加一个条件 使它的对称轴为直线 x 2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 将抛物线 绕它的顶点旋转 180 所得抛物线的解析式是 16yx A B 2 216yx C D 9yx 0 6 如图所示 正方形 ABCD 的边长为 1 E F G H 分别为各边上的点 且 AE BF CG DH 设小正方形 EFGH 的面积为 S AE 为 x 则 S 关于 x 的函数图象大致是 二 填空题 7 已知二次函数的图象经过原点及点 且图象与 x 轴的另一交点到原点的距离为 1 则该二次函1 24 数的解析式为 8 已知二次函数对称轴为 x 2 且在 x 轴上截得的线段长为 6 与 y 轴交点为 0 2 则此二次函数的解析式为 9 抛物线 上部分点的横坐标为 纵坐标 的对应值如下表 2yaxbc xy x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知 下列说法中正确的是 填写序号 抛物线与 x 轴的一个交点为 3 0 函数 的最大值为 6 2yaxbc 抛物线的对称轴是 在对称轴左侧 y 随 x 增大而增大 12 10 某同学利用描点法画二次函数 a 0 的图象时 列出的部分数据如下表 2axbc x 0 1 2 3 4 y 3 0 2 0 3 经检查 发现表格中恰好有一组数据计算错误 请你根据上述信息写出二次函数的解析式 11 如图所示 已知二次函数 的图象经过点 1 0 1 2 该图象与 x 轴的另一个交点为2yxbc C 则 AC 长为 第 11 题 第 12 题 12 在如图所示的直角坐标系中 已知点 A 1 0 B 0 2 将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向 旋转 90 至 AC 1 点 C 的坐标为 2 若抛物线 经过点 C 则抛物线的解析式为 21yxa 三 解答题 13 已知 a 0 经过 A 3 2 B 1 2 两点 且抛物线顶点 P 到 AB 的距离为 2 2bc 求此抛物线的解析式 14 有一个二次函数的图象 三位同学分别说出了它的一些特点 甲 对称轴是直线 x 4 乙 与 x 轴两个交点的横坐标都是整数 丙 与 y 轴交点的纵坐标也是整数 且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3 请写出满足上述全部特点 的一个二次函数解析式 15 已知 如图所示 抛物线 与 x 轴相交于两点 A 1 0 B 3 0 与 y 轴相交于2yaxbc 点 C 0 3 1 求抛物线的函数关系式 2 若点 是抛物线 上的一点 请求出 m 的值 并求出此时 ABD 的面积 7 2Dm 2yaxbc 答案与解析 一 选择题 1 答案 A 解析 把 y x 2 2 t x t 化为 y x2 2x 1 x t 因为对于任何的实数 t 抛物线 y x 2 2 t x t 总经过一个固定的点 所以与 t 的值无关 即 1 x 0 x 1 代入 y x2 2x 1 x t 得 y 3 过定点 1 3 故选 A 2 答案 B 解析 由图知 A 1 0 C 0 1 代入 中得 a b 1 2yaxbc 0 1 abc 3 答案 C 解析 先将抛物线 关于 x 轴作轴对称变换 可得新抛物线为 2yx 2yx 再将抛物线为 整理得 22yx 4 答案 C 解析 小颖说的不对 其他人说的对 5 答案 D 解析 此题容易误选 A B 简单地认为改变 的符号 抛物线开口向下 或改变函数值的正负即可 将抛物线 绕它的顶点旋转 180 所得的抛物线顶点坐标 对称轴不变 只是216yx 开口方向向下 因此 由 化为 因而所求抛物线解析式216yx 2 3 yx 即 2 3 yx0 6 答案 B 解析 AB BC CD DA 1 AE BF CG DH x AH DG CF BE 1 x 1 2AEHBFCGDHSSx 214 2x 又 0 x 1 其图象应为开口向上 自变量从 0 到 1 之间的抛物线部分 故选 B 二 填空题 7 答案 或 2yx 23yx 解析 抛物线经过点 1 0 或 1 0 8 答案 285 解析 由对称轴 x 2 和抛物线在 x 轴上截得的线段长为 6 可知抛物线与 x 轴的两个交点 为 1 0 5 0 然后设交点式易求解 抛物线的对称轴为 x 2 且在 x 轴上截得线段长为 6 抛物线与 x 轴两交点为 1 0 5 0 设二次函数解析式为 y a x 1 x 5 a 0 将点 0 2 代入上式得 2 a 0 1 0 5 因此二次函数解析式为 25a 2 1 5yx 即 8yx 9 答案 解析 由纵坐标相等的点关于对称轴对称可得对称轴为 由表可知在 时 y 随 x 的增大而增大 12x 12x 与 x 轴的一个交点为 2 0 则另一个交点为 3 0 当 时 y 值最大 故 错 10 答案 243y 解析 先描点 根据二次函数的图象找出错误的一组数据 再利用表内的数据的特点 选用 求解析式较简便 12 ax 由描点知 表内 是错误的 设 a 0 y 12 yax 由表知 又点 0 3 在抛物线上 所以 3 a 0 1 0 3 所以 3yx 1a 因此 即 1 A243yx 11 答案 3 解析 由 经过点 1 0 1 2 可得2yxbc 10 1 2 2yx 其对称轴为 由对称性可求 C 点坐标为 2 0 x 2 1 3AC 12 答案 1 3 1 2 21yx 解析 1 过点 C 作 CD x 轴 垂足为 D 在 ACD 和 BAO 中 由已知有 CAD BAO 90 而 ABO BAO 90 CAD ABO 又 CDA AOB 90 且由已知有 CA AB ACD BAO CD OA 1 AD BO 2 点 C 的坐标为 3 1 2 抛物线 经过点 C 3 1 yxa 解得 213 12 抛物线的解析式为 yx 三 解答题 13 答案与解析 A 3 2 B 1 2 的纵坐标相同 抛物线对称轴为 x 1 又 顶点 P 到 AB 距离为 2 P l 0 或 P 1 4 故可设抛物线解析式为 a 0 或 a 0 2 1 ya 2 1 4yax 将 B 1 2 分别代人上式得 或 或 21 yx 2 4yx 14 答案与解析 答案不唯一 或 或 3 51 3 5yx 2187yx 或 2187yx 设 a 0 由甲所述知 由乙所述 知 均为整数 12 yax128x 1x2 不妨取 则 由丙所述知 解得 7ya 73a 17 即 7yx 28x 15 答案与解析 1 由已知得 解之 0 93 abc 1 43 abc 243yx 2 是抛物线 上的点 7 Dm 2yx 5m 1524ABDS