空间向量简单题.doc

空间向量简单题1如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2.（1）求正方体各顶点的坐标；（2）求A1C的长度.2已知空间中三点，设，.（1）求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若与互相垂直，求实数的值3已知向量b与向量a=（2,-1,2）共线，且满足ab=18,（ka+b）（ka-b）,求向量b及k的值.4（2015秋河西区期末）已知（1）若，求实数k的值（2）若，求实数k的值5P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形， ,求证垂直平面.6长方体中，（1）求直线所成角；（2）求直线所成角的正弦.7（本大题12分）如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点（1）求直线C与平面ABCD所成角的正弦的值；（2）求证：平面A B1D1平面EFG； （3）求证：平面AA1C面EFG FGEC1D1A1B1DCAB8已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点。（1）证明：面面；（2）求与所成的角；（3）求面与面所成二面角的余弦值9（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，分别为的中点，（）求证：平面平面（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值10如图，在正四棱柱中，为的中点，.（） 证明：平面；（）证明：平面.11在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=B1B=1，M、N分别是AD、DC的中点.（1）求证：MN/A1C1;（2）求：异面直线MN与BC1所成角的余弦值.12在长方体中，,为棱的中点.（）求证面面；（）求三棱锥的体积BACDEA1B1C1D113已知三棱柱中， 平面， ， ， ， ，点在上.（1）若是的中点.求证： 平面；（2）当时，求二面角的余弦值.14如图四棱锥的底面为菱形，且， ， .（）求证：平面平面；（）二面角的余弦值.15如图所示，在正四棱柱中，分别为底面、底面的中心，为的中点，在上，且.（1）以为原点，分别以，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标（2）以为原点，分别以，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标16如图所示，在长、宽、高分别为，的长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：（1）单位向量共有多少个？（2）试写出模为的所有向量；（3）试写出与相等的所有向量；（4）试写出的相反向量17已知，求实数m的值，使得（1）；（2）18（本小题满分13分）已知是边长为1的正方体，求：（）直线与平面所成角的正切值；（）二面角的大小19在边长是2的正方体-中，分别为的中点. 应用空间向量方法求解下列问题. xzy (1)求EF的长 (2)证明：平面； (3)证明: 平面.20如右图，正方体的棱长为1应用空间向量方法求：ABCDA1B1C1D1 求和的夹角 21如图，在边长为的正方体中，、分别是、的中点，试用向量的方法：求证：平面；求与平面所成的角的余弦值.22（本小题满分12分）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点 （1）求二面角B1MNB的正切值；（2）求证：PB平面MNB1；（3）若正方体的棱长为1，画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的距离 23如图，在正方体中，是棱的中点，在棱上.且，若二面角的余弦值为，求实数的值.24如图3所示，M是棱的中点，N是棱的中点(1)求异面直线所成角的正弦值；(2)求的体积参考答案1（1）详见解析；（2）23.【解析】试题分析：（1）根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标；（2）要求空间中两点的距离，可直接利用空间两点的距离公式d=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2求解出来.试题解析：（1）正方体各顶点的坐标如下：A1(0,0,0),B1(0,2,0),C1(2,2,0),D1(2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,2),C(2,2,2),D(2,0,2).（2）解法一：|A1C|=22+22+22=23.解法二：|A1C1|=22,|AA1|=2，在RtAA1C1中，|AC1|2=|AA1|2+|A1C1|2，|AC1|2=22+(22)2=12,|AC1|=23,|A1C|=23.2（1）（2） 或 【解析】试题分析：（1）求得向量的坐标，将其代入夹角公式可求解向量夹角余弦值；（2）由向量垂直可得到向量的数量积为0，代入点的坐标可得到k的值试题解析：（1） ， ，设与的夹角为 （2） ，且 即： 或 考点：向量的坐标运算及向量的夹角3（4,-2,4），k=2【解析】试题分析：由已知得存在实数，使，由此能求出由，得，由此能求出k=2试题解析：a,b共线，存在实数,使b=a,ab=a2=a2,解得=2.b=2a=（4,-2,4）.（ka+b）（ka-b）,（ka+b）（ka-b）=（ka+2a）（ka-2a）=0,即（k2-4）a2=0，解得k=2.考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系4（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据空间向量的坐标运算以及向量的共线定理，列出方程求出k的值；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出k的值解：（1），；又，解得；（2）且，即7（k2）4（5k+3）16（5k）=0，解得考点：空间向量的数量积运算5【解析】证明：垂直于,即垂直于.垂直于,即垂直于.垂直平面.6（1）直线所成角为90；（2） 。【解析】试题分析：以D为原点建系 1分（1） 3分直线所成角为90 5分（2） 7分 9分所求角的正弦值为 10分考点：立体几何中的角的计算，空间向量的应用。点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。7（1） ； （2）见解析；（3）见解析。【解析】试题分析：(1)因为平面ABCD,所以为与平面ABCD所成角,然后解三角形求出此角即可.（2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面A B1D1内两条相交直线和分别平行于平面EFG即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.(3)易证：BD平面AA1C，再证明EF/BD，因而可证出平面AA1C面EFG.（1）平面ABCD=C，在正方体ABCD-A1B1C1D1平面ABCDAC为在平面ABCD的射影为与平面ABCD所成角.2分正方体的棱长为AC=，= .4分 （2）在正方体ABCD-A1B1C1D1连接BD，=为平行四边形E，F分别为BC，CD的中点EFBDEF3分EF平面GEF，平面GEF平面GEF 7分同理平面GEF=平面A B1D1平面EFG 9分（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1 平面ABCDEF平面ABCD EF 10分ABCD为正方形ACBDEFBDAC EF .11分EF平面AA1CEF平面EFG平面AA1C面EFG .12分.考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定.点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.8证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为.（1）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面面.（2）因（3）平面的一个法向量设为，平面的一个法向量设为，所求二面角的余弦值为【解析】（1）利用面面垂直的性质，证明CD平面PAD（2）建立空间直角坐标系，写出向量与的坐标，然后由向量的夹角公式求得余弦值，从而得所成角的大小.（3）分别求出平面的法向量和面的一个法向量，然后求出两法向量的夹角即可9（）四边形是菱形，在中，即又， 2分平面，平面，又，平面，4分又平面，平面平面 6分（）解法一：由（1）知平面，而平面，平面平面 6分平面，由（）知，又平面，又平面，平面平面8分平面是平面与平面的公垂面所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角9分在中，即10分又，所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为12分理（）解法二：以为原点，、分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示因为，所以，、，6分则，7分由（）知平面，故平面的一个法向量为8分设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则 10分所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为12分【解析】（）要证平面平面，只要证平面，即证，；（）传统法找出平面角，建立空间直角坐标系计算平面的法向量，计算角。10）证明：因为，所以因为面，面，所以面6分（）连接，因为，所以所以四边形为正方形所以因为，所以8分又因为， ,所以面所以因为，所以面【解析】略11（1）连结AC，M、N分别为AD、DC中点 MN/AC且AC/A1C1，AC=A1C1 MN/ A1C1（2）连结A1B，由（1）知A1C1B为所求角 A1B=A1C1=，BC1= 由余弦定理得A1C1B= 【解析】略12（1） 2分 4分 6分（2）三棱锥可以看做以面为底为高的三棱锥， 【解析】略13（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）连结，交于，连结由证明平面即可；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量求二面角即可.试题解析：（1）证明：连结，交于，连结.侧面为平行四边形， 为中点， 是的中点，为的中位线，平面， 平面，平面，（2）， 如图，以为原点建立空间直角坐标系.则， ， ， .设（， ），点在线段上，且，即， .， ， .平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由， ，得， ， .设二面角的大小为， .二面角的余弦值为.14（1）见解析;（2）.【解析】试题分析：（1）取中点，连结， ，依题意，可证平面，从而可证得平面平面；（2）由（1）、两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，可求得各点坐标，求出面的法向量为，面的一个法向量为，求出向量的夹角即可.试题解析：（1）证明：取中点，连结， ，由， ，知为等腰直角三角形， ，由， ，知为边三角形， ，由得， ，又， 、平面平面，又平面， 平面平面.（2）由（1）、两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系，则， ， ， ，设平面的法向量为，则，取，则，又平面的一个法向量为，设二面角的大小为，易知其为锐角， ，二面角的余弦值为.15详见解析【解析】（1）正方形中，从而，各点坐标分别为，（2）同理，考点：空间中点的坐标表示.16详见解析【解析】（1）由于长方体的高为，所以长方体条高所对应的，这个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为，故单位向量共个（2）由于这个长方体的左右两个面的对角线长均为，故模为的向量有，（3）与向量相等的向量（除它自身之外）有，（4）向量的相反向量为，.考点：空间向量.17（1）（2）【解析】试题分析：由向量的坐标可求得向量的坐标，结合向量平行与垂直时坐标满足的关系式可得到关于m的方程，从而求得其值试题解析：（1） （2） 考点：向量的坐标运算及向量平行垂直的性质18（）；（）60【解析】试题分析：（）先根据其为正方体得到C1AB1就是AC1与平面AA1B1B所成的角；然后在RTC1AB1中求其正切即可；（）先过B1作B1EBC1于E，过E作EFAC1于F，连接B1F；根据AB平面B1C1CB推得B1EAC1；进而得到B1FE是二面角BAC1B1的平面角；然后通过求三角形的边长得到二面角BAC1B1的大小即可试题解析：（）连接AB1，ABCDA1B1C1D1是正方体B1C1平面ABB1A1，AB1是AC1在平面AA1B1B上的射影C1AB1就是AC1与平面AA1B1B所成的角在RTC1AB1中，tanC1AB1=直线AC1与平面AA1B1B所成的角的正切值为.（）过B1作B1EBC1于E，过E作EFAC1于F，连接B1F；AB平面B1C1CB，ABB1EB1E平面ABC1B1EAC1B1FE是二面角BAC1B1的平面角在RTBB1C1中，B1E=C1E=BC1=，在RTABC1中，sinBC1A=EF=C1EsinBC1A=，tanB1FE=B1FE=60，即二面角BAC1B1的大小为60考点：线面角以及二面角的平面角及其求法.19（1）（2）根据题意，关键是能根据向量法来得到即可。（3）对于题目中，则可以根据线面垂直的判定定理来的得到。【解析】试题分析：解(1)如图建立空间直角坐标系xzy 4分（2） 而 平面 8分（3） 又 平面. 12分考点：证明平行和垂直，求解长度点评：主要是考查了运用向量法来求解长度以及平行和垂直的证明的运用，属于基础题。20（1）（2）对于线线垂直的证明可以运用几何性质法也可以运用向量法来证明向量的垂直即可。【解析】试题分析：解：建立空间直角坐标系，则 - 1分 所以 ， - 2分， 所以 - 4分所以 5分 因为 ， 7分 -9分所以 10分考点：空间向量的运用点评：主要是考查了向量法来求解异面直线所成的角和线线垂直的证明，属于基础题。21（1）要证明线面垂直可以借助于向量法来得到也可以利用线面垂直的判定定理来得到。（2）【解析】试题分析：解：如图：以点D位坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系2分（1）， 1分 3分又， 5分（2）由（1）可知平面ADE的法向量 6分 8分设与平面所成的角为与平面所成的角的余弦值为 10分考点：线面的垂直以及线面角的求解点评：主要是考查了线面角的求解，以及线面垂直的证明，属于基础题。22（1）解：连结BD交MN于F，连结B1F.平面DD1B1B平面ABCD,交线为BD，ACBD,AC平面DD1B1B.又AC/MN，MN平面DD1B1B.B1F,BF平面DD1B1B，B1FMN,BFMN.B1F平面B1MN，BF平面BMN，则B1FB为二面角B1-MN-B的平面角. -2分在RtB1FB中，设B1B=1，则FB=，tanB1FB=. -4分（2）证明：过点P作PEAA1，则PEDA，连结BE.又DA平面ABB1A1，PE平面ABB1A1,即PEB1M.又BEB1M，B1M平面PEB.PBMB1. 由（1）中MN平面DD1B1B,得PBMN，所以PB平面MNB1. -8分（3）解：PB=，符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一： -12分【解析】试题分析：（1）要求二面角B1-MN-B的正切值，我们要先找出二面角的平面角，再构造三角形，解三角形求出其正切值（2）要证明PB平面B1MN，我们要在平面内找到两条与PB垂直的相交直线，分析题意可知B1M，B1N满足要求，进而可以转化为证明线线垂直（3）利用侧面展开图来得到BP的长度的求解。考点：本题主要是考查二面角的平面角的求解以及线面垂直的证明问题 。点评：解决该试题的关键是线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来本题也可以用空间向量来解决，其步骤是：建立空间直角坐系明确相关点的坐标明确相关向量的坐标通过空间向量的坐标运算求解。23以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为，；， 设平面法向量为，而，所以，可得一个法向量=，设面的一个法向量为， 则， 即，又因为点在棱上，所以.【解析】以A点为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，分别求出平面C1PQ法向量和面C1PQ的一个法向量，然后求出两法向量的夹角，建立等量关系，即可求出参数的值24(1)，GM与的交点为H，联结BH，如图所示1分是正方体，G、N是中点，即ABGN为平行四边形BG|AN，所成的角3分又正方体的棱长为a，可得， 5分6分(2)8分，的高【解析】略