全国高中数学联合竞赛试题及参考答案.doc

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全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、(满分50分)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分 BAD 。在 CD 上取一点 E , BE 与 AC 相交于 F ,延长 DF 交 BC 于 G 。求证: GAC = EAC . 解析:连结BD交AC于H对BCD用塞瓦定理,可得 因为AH是BAD的平分线,由角平分线定理,可得 故 过点C作AB的平行线AG的延长线于I,过点C作AD的平行线交AE的延长线于J则 . 所以, 从而,CI=CJ.又因为 CIAB,CJAD,故 ACI=-ABC=-DAC=ACJ因此,ACIACJ从而,IAC=JAC,即 GAC=EAC二、(满分50分)给定实数 a , b , c ,已知复数 z 1 , z 2 , z 3 满足: ,求| az 1 + bz 2 + cz 3 |的值。解析:记 ei=cos+isin可设 ,则 由题设,有ei+ei+e-i(+)=1.两边取虚部,有0=sin+sin-sin(+)故=2k或=2k或+=2k,kZ因而,z1=z2或z2=z3或z3=z1如果z1=z2,代入原式即 故 这时,|az1+bz2+cz3|=|z1|a+bci|=类似地,如果z2=z3,则|az1+bz2+cz3|=;如果z3=z1,则|az1+bz2+cz3|=所以,|az1+bz2+cz3|的值为或 或 三、(满分50分)给定正整数 n ,已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3, n 克的所有物品。 (1)求 k 的最小值 f ( n ); (2)当且仅当 n 取什么值时,上述 f ( n )块砝码的组成方式是唯一确定的?并证明你的结论。 解析:(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,ak,且1a1a2ak,aiZ,1ik因为天平两端都可以放砝码,故可称质量为 xiai,xi-1,0,1若利用这k块砝码可以称出质量为1,2,3,,n的物品,则上述表示式中含有1,2,n,由对称性易知也含有0,-1,-2,-n,即xiai|xi-1,0,10,1,n所以,2n+1=|0,1,n| |xiai|xi-1,0,1|3k,即 n设 n (m1,mZ),则km且k=m时,可取a1=1,a2=3,am=3m-1 由数的三进制表示可知,对任意0p3m-1,都有p=yi3i-1,其中yi0,1,2则 p-=yi3i-1-3i-1=(yi-1)3i-1 令xi=yi-1,则xi-1,0,1故对一切-l 的整数l,都有l=xi3i-1 ,其中xi-1,0,1由于n,因此,对一切-nln的整数l,也有上述表示综上,可知k的最小值f(n)=m(n) .(2).当n3 时,由(1)可知1,3,3m-1,3m就是一种砝码的组成方式下面我们证明1,3,3m-1,3m-1也是一种方式若1l ,由(1)可知l=xi3i-1,xi-1,0,1则 l=xi3i-1+0(3m-1);若 ln3 ,则 l+1由(1)可知l+1=,其中xi-1,0,1易知xm+1=1(否则l3i-1-1=-1,矛盾)则l=(3m-1)所以,当n时,f(n)块砝码的组成方式不惟一.下面我们证明:当n=时,f(n)=m块砝码的组成方式是惟一的,即ai=3i-1(1im)若对每个-l,都有l=xiai,xi-1,0,1即 xiai|xi-1,0,10,1,注意左边集合中至多有3m个元素故必有xiai|xi-1,0,1=0,1,从而,对每个l,-l ,都可以惟一地表示为l=xiai,其中xi-1,0,1因而,ai=则(xi+1)ai=xiai+ai=xiai+令yi=xi+1,则yi0,1,2由上可知,对每个0l3m-1,都可以惟一地表示为l=yiai,其中yi0,1,2特别地,易知1a1a2am下面用归纳法证明ai=3i-1(1im)当i=1时,易知yiai中最小的正整数是a1,故a1=1假设当1ip时,ai=3i-1 由于yiai=yi3i-1, yi0,1,2就是数的三进制表示,易知它们正好是0,1,2,,3p-1,故ap+1应是除上述表示外yiai|yi0,1,2中最小的数,因此,ap+1=3p由归纳法可知,ai=3i-1(1im)综合,可知,当且仅当n=时,上述f(n)块砝码的组成方式是惟一确定的
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