2016考研数学二模拟题及答案.doc

2016年考研数学模拟试题（数学二）参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内）1.设是多项式的最小实根，则（）. （A）（B）（C）（D）解 选择A. 由于，又是多项式的最小实根，故.2.设 则函数在点（）. （A）取极大值（B）取极小值（C）可导（D）不可导解 选择D. 由极限的保号性知，存在，当时，当时，当时，故在点不取极值.，所以在点不可导.3.设连续，且满足，则（）.（A） （B）（C） （D）解 选择B. 由题设知 .4.微分方程的特解形式为（）.(A) (B) (C) (D) 解 选择D. 特征方程，特征根，是特征根，特解形式为.5. 设函数连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）. （A） （B） （C） （D）解 选择C. 由于为奇函数，故为偶函数.6. 设在全平面上有，则保证不等式成立的条件是（ ）（A），.（B），.（C），.（D），.解 选择A. 关于单调减少，关于单调增加，当，时，.7.设和为实对称矩阵，且与相似，则下列结论中不正确的是（）.(A)与相似 (B) 与合同 (C) (D) 解 选择D. 与相似可以推出它们的多项式相似，它们的特征多项式相等，故A，C正确，又和为实对称矩阵，且与相似，可以推出与合同，故B正确.8. ，为维列向量，则有（）.(A)当时，方程组有解(B)当时，方程组有唯一解(C)当时，方程组有唯一解(D)当时，方程组有无穷多解解 选择A. 当时，方程组有解.二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）9. .解 答案为.10设有二阶连续偏导数，则 . 解 答案为.11.设微分方程的通解为，则 . 解 答案为. 将代入微分方程，得，故.12.数列中最大的项为 .解 答案为.【将数列的问题转化为函数的问题，以便利用导数解决问题】设，时，单调增加，故时，递增，最大，时，单调减少，故时，递减，最大，又，数列的最大项为.13.方程在区间内的实根个数为 .解 答案为. 令，由零点定理知，此方程在区间内至少有一个实根，又，单调增加，故此方程在区间内有且仅有一个实根.14.设阶矩阵的秩为，是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，则的通解为 .解 答案为，为任意常数. 是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，则是的两个解，且它们线性无关，又，故是的基础解系，所以的通解为.三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. （本题满分9分）求极限解 16. （本题满分9分）设单调且具有一阶连续导数，满足，求可导函数.解 ，代入方程，得，即，解得，其中为任意常数.17. （本题满分9分）计算积分解 画出二重积分区域，是的第一象限部分，由对称性，得18. （本题满分11分）求微分方程满足初始条件，的特解.解 令，代入原方程，得，由，得，即，故，由得，所以.19. （本题满分11分）设和在区间可导，并设在内，证明在内至多存在一点，使得.证 设，则.若在内存在两个不同的点，使得，则由罗尔定理知，至少存在一点介于之间，使，即，于是有，与题设矛盾，故在内至多存在一点，使得.20. （本题满分11分）设有抛物线：，试确定常数的值，使得与直线相切；与轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积最大.解 设切点为，切线斜率，代入切线方程，得.又旋转体体积，解得或者，故时，体积最大，将代入得，所以，.21.（本题满分11分）一质量为的物体以速度从原点沿轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度.解 根据牛顿第二定律，物体上升的高度所满足的微分方程为，初始条件为.代入方程，得，记，积分得，时，故，令，得上升到最高点的时间为，上升的最大高度为.22. （本题满分11分）设.当满足什么条件时，可由线性表示，且表示式唯一？当满足什么条件时，可由线性表示，且表示式不唯一？并求出的表示式.解 设 ，其增广矩阵当时，方程组有唯一解，即可由线性表示，且表示式唯一.当时，故当时，方程组有无穷多解，即可由线性表示，且表示式不唯一，同解方程组为，通解为，故的表示式为，其中为任意常数.23. （本题满分11分）设为阶矩阵，可逆，且，证明：若是的特征向量，则也是的特征向量； 若有个不同的特征值，是的特征向量，则也是的特征向量.证 证 设，则，故也是的特征向量由有个不同的特征值知，的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，又是对应同一个特征值的特征向量，故它们线性相关，故存在常数，使得，故也是的特征向量.