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高考数学回归课本教案整理:卢立臻第十三章 排列组合与概率一、基础知识1加法原理:做一件事有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事一共有N=m1+m2+mn种不同的方法。2乘法原理:做一件事,完成它需要分n个步骤,第1步有m1种不同的方法,第2步有m2种不同的方法,第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。3排列与排列数:从n个不同元素中,任取m(mn)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列,从n个不同元素中取出m个(mn)元素的所有排列个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用表示,=n(n-1)(n-m+1)=,其中m,nN,mn,注:一般地=1,0!=1,=n!。4N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。5组合与组合数:一般地,从n个不同元素中,任取m(mn)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用表示:6组合数的基本性质:(1);(2);(3);(4);(5);(6)。7定理1:不定方程x1+x2+xn=r的正整数解的个数为。证明将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A,不定方程x1+x2+xn=r的正整数解构成的集合为B,A的每个装法对应B的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不同,因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数,i=1,2,n,便得到A的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将r个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个,将球分n份,共有种。故定理得证。推论1 不定方程x1+x2+xn=r的非负整数解的个数为推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合,其组合数为8二项式定理:若nN+,则(a+b)n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。9随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件A发生的概率,记作p(A),0p(A)1.10.等可能事件的概率,如果一次试验中共有n种等可能出现的结果,其中事件A包含的结果有m种,那么事件A的概率为p(A)=11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。如果事件A1,A2,An彼此互斥,那么A1,A2,An中至少有一个发生的概率为p(A1+A2+An)= p(A1)+p(A2)+p(An).12对立事件:事件A,B为互斥事件,且必有一个发生,则A,B叫对立事件,记A的对立事件为。由定义知p(A)+p()=1.13相互独立事件:事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。14相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积。即p(AB)=p(A)p(B).若事件A1,A2,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(A1A2 An)=p(A1)p(A2) p(An).15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为pn(k)=pk(1-p)n-k.17离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫随机变量,例如一次射击命中的环数就是一个随机变量,可以取的值有0,1,2,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出,这样的随机变量叫离散型随机变量。一般地,设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xi,取每一个值xi(i=1,2,)的概率p(=xi)=pi,则称表x1x2x3xipp1p2p3pi为随机变量的概率分布,简称的分布列,称E=x1p1+x2p2+xnpn+为的数学期望或平均值、均值、简称期望,称D=(x1-E)2p1+(x2-E)2p2+(xn-E)2pn+为的均方差,简称方差。叫随机变量的标准差。18二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为p(=k)=, 的分布列为01xiNp此时称服从二项分布,记作B(n,p).若B(n,p),则E=np,D=npq,以上q=1-p.19.几何分布:在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的次数也是一个随机变量,若在一次试验中该事件发生的概率为p,则p(=k)=qk-1p(k=1,2,),的分布服从几何分布,E=,D=(q=1-p).二、方法与例题1乘法原理。例1 有2n个人参加收发电报培训,每两个人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方式?解 将整个结对过程分n步,第一步,考虑其中任意一个人的配对者,有2n-1种选则;这一对结好后,再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者,有2n-3种选择,这样一直进行下去,经n步恰好结n对,由乘法原理,不同的结对方式有(2n-1)(2n-3)31=2加法原理。例2 图13-1所示中没有电流通过电流表,其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种?解 断路共分4类:1)一个电阻断路,有1种可能,只能是R4;2)有2个电阻断路,有-1=5种可能;3)3个电阻断路,有=4种;4)有4个电阻断路,有1种。从而一共有1+5+4+1=11种可能。3插空法。例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈,要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱,有多少种不同的安排节目演出顺序的方式?解 先将6个演唱节目任意排成一列有种排法,再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有种方法,故共有=604800种方式。4映射法。例4 如果从1,2,14中,按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足:a2-a13,a3-a23,那么所有符合要求的不同取法有多少种?解 设S=1,2,14,=1,2,10;T=(a1,a2,a3)| a1,a2,a3S,a2-a13,a3-a23,=(),若,令,则(a1,a2,a3)T,这样就建立了从到T的映射,它显然是单射,其次若(a1,a2,a3)T,令,则,从而此映射也是满射,因此是一一映射,所以|T|=120,所以不同取法有120种。5贡献法。例5 已知集合A=1,2,3,10,求A的所有非空子集的元素个数之和。解 设所求的和为x,因为A的每个元素a,含a的A的子集有29个,所以a对x的贡献为29,又|A|=10。所以x=1029.另解 A的k元子集共有个,k=1,2,10,因此,A的子集的元素个数之和为1029。6容斥原理。例6 由数字1,2,3组成n位数(n3),且在n位数中,1,2,3每一个至少出现1次,问:这样的n位数有多少个?解 用I表示由1,2,3组成的n位数集合,则|I|=3n,用A1,A2,A3分别表示不含1,不含2,不含3的由1,2,3组成的n位数的集合,则|A1|=|A2|=|A3|=2n,|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1。|A1A2A3|=0。所以由容斥原理|A1A2A3|=32n-3.所以满足条件的n位数有|I|-|A1A2A3|=3n-32n+3个。7递推方法。例7 用1,2,3三个数字来构造n位数,但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中,问:能构造出多少个这样的n位数?解 设能构造an个符合要求的n位数,则a1=3,由乘法原理知a2=33-1=8.当n3时:1)如果n位数的第一个数字是2或3,那么这样的n位数有2an-1;2)如果n位数的第一个数字是1,那么第二位只能是2或3,这样的n位数有2an-2,所以an=2(an-1+an-2)(n3).这里数列an的特征方程为x2=2x+2,它的两根为x1=1+,x2=1-,故an=c1(1+)n+ c2(1+)n,由a1=3,a2=8得,所以8算两次。例8 m,n,rN+,证明: 证明 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有种;另一方面,从这n+m人中选出k位太太与r-k位先生的方法有种,k=0,1,r。所以从这n+m人中选出r位的方法有种。综合两个方面,即得式。9母函数。例9 一副三色牌共有32张,红、黄、蓝各10张,编号为1,2,10,另有大、小王各一张,编号均为0。从这副牌中任取若干张牌,按如下规则计算分值:每张编号为k的牌计为2k分,若它们的分值之和为2004,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。解 对于n1,2,2004,用an表示分值之和为n的牌组的数目,则an等于函数f(x)=(1+)2(1+)3(1+)3的展开式中xn的系数(约定|x|1),由于f(x)= (1+)(1+)(1+)3=3 =3。而02004211,所以an等于的展开式中xn的系数,又由于=(1+x2+x3+x2k+)1+2x+3x2+(2k+1)x2k+,所以x2k在展开式中的系数为a2k=1+3+5+(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,从而,所求的“好牌”组的个数为a2004=10032=1006009.10组合数的性质。例10 证明:是奇数(k1).证明 =令i=pi(1ik),pi为奇数,则,它的分子、分母均为奇数,因是整数,所以它只能是若干奇数的积,即为奇数。例11 对n2,证明:证明 1)当n=2时,22=642;2)假设n=k时,有2k4k,当n=k+1时,因为又4,所以2k+1.所以结论对一切n2成立。11二项式定理的应用。例12 若nN, n2,求证:证明 首先其次因为,所以 2+得证。例13 证明:证明 首先,对于每个确定的k,等式左边的每一项都是两个组合数的乘积,其中是(1+x)n-k的展开式中xm-h的系数。是(1+y)k的展开式中yk的系数。从而就是(1+x)n-k(1+y)k的展开式中xm-hyh的系数。于是,就是展开式中xm-hyh的系数。另一方面,= =(xk-1+xk-2y+yk-1),上式中,xm-hyh项的系数恰为。所以12概率问题的解法。例14 如果某批产品中有a件次品和b件正品,采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品,问:恰好有k件是次品的概率是多少?解 把k件产品进行编号,有放回抽n次,把可能的重复排列作为基本事件,总数为(a+b)n(即所有的可能结果)。设事件A表示取出的n件产品中恰好有k件是次品,则事件A所包含的基本事件总数为akbn-k,故所求的概率为p(A)=例15 将一枚硬币掷5次,正面朝上恰好一次的概率不为0,而且与正面朝上恰好两次的概率相同,求恰好三次正面朝上的概率。解 设每次抛硬币正面朝上的概率为p,则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为(1-p)5-k(k=0,1,2,5),由题设,且0p1,化简得,所以恰好有3次正面朝上的概率为例16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛,已知每一局甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,比赛时可以用三局二胜或五局三胜制,问:在哪一种比赛制度下,甲获胜的可能性大?解 (1)如果采用三局两胜制,则甲在下列两种情况下获胜:A12:0(甲净胜二局),A22:1(前二局甲一胜一负,第三局甲胜). p(A1)=0.60.6=0.36,p(A2)=0.60.40.6=0.288.因为A1与A2互斥,所以甲胜概率为p(A1+A2)=0.648.(2)如果采用五局三胜制,则甲在下列三种情况下获胜:B13:0(甲净胜3局),B23:1(前3局甲2胜1负,第四局甲胜),B33:2(前四局各胜2局,第五局甲胜)。因为B1,B2,B2互斥,所以甲胜概率为p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+0.620.40.6+0.620.420.6=0.68256.由(1),(2)可知在五局三胜制下,甲获胜的可能性大。例17 有A,B两个口袋,A袋中有6张卡片,其中1张写有0,2张写有1,3张写有2;B袋中有7张卡片,其中4张写有0,1张写有1,2张写有2。从A袋中取出1张卡片,B袋中取2张卡片,共3张卡片。求:(1)取出3张卡片都写0的概率;(2)取出的3张卡片数字之积是4的概率;(3)取出的3张卡片数字之积的数学期望。解(1);(2);(3)记为取出的3张卡片的数字之积,则的分布为0248p所以三、基础训练题1三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_个。2在正2006边形中,当所有边均不平行的对角线的条数为_。3用1,2,3,9这九个数字可组成_个数字不重复且8和9不相邻的七位数。410个人参加乒乓球赛,分五组,每组两个人有_种分组方法。5以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_。6今天是星期二,再过101000天是星期_。7由展开式所得的x的多项式中,系数为有理数的共有_项。8如果凸n边形(n4)的任意三条对角线不共点,那么这些对角线在凸n边形内共有_个交点。9袋中有a个黑球与b个白球,随机地每次从中取出一球(不放回),第k(1ka+b)次取到黑球的概率为_。10一个箱子里有9张卡片,分别标号为1,2,9,从中任取2张,其中至少有一个为奇数的概率是_。11某人拿着5把钥匙去开门,有2把能打开。他逐个试,试三次之内打开房门的概率是_。12马路上有编号为1,2,3,10的十盏路灯,要将其中三盏关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法种数是_。13a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐,若a,b不相邻有_种安排方式。14已知i,m,n是正整数,且1(1+n)m.15.一项“过关游戏”规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n,则算过关。问:(1)某人在这项游戏中最多能过几关?(2)他连过前三关的概率是多少?(注:骰子是一个在各面上分别有1,2,3,4,5,6点数的均匀正方体)四、高考水平训练题1若n1,2,100且n是其各位数字和的倍数,则这种n有_个。2从-3,-2,-1,0,1,2,3,4中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数,能组成过原点,且顶点在第一或第三象限的抛物线有_条。3四面体的顶点和各棱的中点共10个点,在其中任取4个不共面的点,有_种取法。4三个人传球,从甲开始发球,每次接球后将球传给另外两人中的任意一个,经5次传球后,球仍回到甲手中的传法有_种。5一条铁路原有m个车站(含起点,终点),新增加n个车站(n1),客运车票相应地增加了58种,原有车站有_个。6将二项式的展开式按降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项有_个。7从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数,共可得到_种不同的对数值。8二项式(x-2)5的展开式中系数最大的项为第_项,系数最小的项为第_项。9有一批规格相同的均匀圆棒,每根被划分成长度相同的5节,每节用红、黄、蓝三色之一涂色,可以有_种颜色不同的圆棒?(颠倒后相同的算同一种)10在1,2,2006中随机选取3个数,能构成递增等差数列的概率是_。11投掷一次骰子,出现点数1,2,3,6的概率均为,连续掷6次,出现的点数之和为35的概率为_。12某列火车有n节旅客车厢,进站后站台上有m(mn)名旅客候车,每位旅客随意选择车厢上车,则每节车厢都有旅客上车的概率是_。13某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%,如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?(粮食单产=)五、联赛一试水平训练题1若0abcd500,有_个有序的四元数组(a,b,c,d)满足a+d=b+c且bc-ad=93.2.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3个不同的元素,并且该直线倾斜角为锐角,这样的直线条数是_。3已知A=0,1,2,3,4,5,6,7,映射f:AA满足:(1)若ij,则f(i)f(j);(2)若i+j=7,则f(i)+f(j)=7,这样的映射的个数为_。41,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性质:对于1i4,a1,a2,ai不构成1,2,i的某个排列,这种排列的个数是_。5骰子的六个面标有1,2,6这六个数字,相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差,变差的总和叫全变差V,则全变差V的最大值为_,最小值为_。6某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行50场,上述三名选手之间比赛场数为_。7如果a,b,c,d都属于1,2,3,4且ab,bc,cd, da;且a是a,b,c,d中的最小值,则不同的四位数的个数为_。8如果自然数a各位数字之和等于7,那么称a为“吉祥数”,将所有的吉祥数从小到大排成一列a1,a2,a3,若an=2005,则an=_。9求值:=_。10投掷一次骰子,出现点数1,2,6的概率均为,连续掷10次,出现的点数之和是30的概率为_。11将编号为1,2,9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小球,设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S,求S达到最小值的放法的概率(注:如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合,则认为是相同的放法)。12甲、乙两人轮流向同一目标射击,第一次甲射击,以后轮流射击,甲每次击中的概率为p(0p1),乙每次击中的概率为q(0q1),求甲、乙首先击中的概率各是多少?13设m,nN,0mn,求证:+六、联赛二试水平训练题1100张卡片上分别写有数字1到100,一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里,每个盒子里至少放入一张卡片。一位观众从三个盒子中挑出两个,并从中各选取一张卡片,然后宣布这两张卡片上的两个数的和数,魔术师知道这个和数之后,便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问:共有多少种放卡片的方法,使得这个魔术师总能够成功?(如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子,两种方法被认为是不同的)2设S=1,2,10,A1,A2,Ak是S的k个子集合,满足:(1)|Ai|=5,i=1,2,k;(2)|AiAj|2,1ijk,求k的最大值。3求从集合1,2,n中任取满足下列条件的k个数j1,j2,jk的组合数;(1)1j1j21为固定的正整数;(3)存在h0,1h0k-1,使得m+1.4.设,其中S1,S2,Sm都是正整数且S1S2Sm,求证组合数中奇数的个数等于2m。5个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵,设Mk是从上往下第k行中的最大数,求M1M2Mn的概率。6证明:
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