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小学数学20以内加减法错误的研究作者 北京市顺义区空港小学 贾翠翠人们经常用“博大精深”来形容数学，但无论数学多么高深，总是离不开数的计算；无论计算方法、步骤多么复杂，都是以加减法为基础的。如果说“数的认识与计算”之于数学学科的意义，正如同青砖红瓦之于高楼大厦的意义，是根基，亦是主体的话，那么20以内加减法就是基础中的基础。它是一年级上册数学教学的重点内容，同时也是学习多位数加、减法计算的预备军，是学生必须熟练掌握的一项基本功。儿童认识数学是从认识数和计算开始的，而计算又是由加减法计算为起点的。试着回想一下，从我们会掰手指算数开始，可以说就已经会计算一些简单的20以内加减法了。但在实习中我发现，当学到这部分知识时，计算错误还是屡见不鲜的。例如：图1 错误案例1 图2 错误案例2图3 错误案例3当看到此类错误时，可能会听到这些话：“怎么这么马虎，计算时要认真!”“怎么这么粗心，明明是减号怎么看成加号了？”“都讲好几遍了，怎么又错了，就不能细心点啊！”这些都是经常听到的教师对犯错学生的评价。学生每次出现计算错误时，家长及学生本身总是容易将其错误原因简单地归咎为马虎、粗心、不仔细，有时甚至老师也容易将计算错误简单化而不深究。当然，有时候，确实是学生比较粗心。因为小学生的注意力不能够长时间集中于一个问题，当思考问题的时间长了，就会出现注意力弥散的现象，从而导致错误。但是，很多时候并非如此，那么马虎、粗心又是什么原因造成的呢？其中还蕴藏着许多容易被大家忽视的原因，这就需要我们多问几个为什么：学生为什么会出现这样的错误？学生的思维过程是什么样的？学生在学习计算的过程中有哪些困惑呢？为什么经过反复练习学生还会出错？影响学生犯错的因素有哪些等等这些问题都是值得研究与思考的，也更是小学教师所面临的问题。小学数学教学的一项重要任务是培养学生正确、迅速的计算能力，为了能更有效地减少小学生的计算错误，提高计算能力，研究20以内加减法的错误是必要的。根据实习中搜集的及文献中查阅到的典型错误案例，有针对性的编写20以内加减法的试卷（见附录1）。首先在顺义区飞扬家教中心进行初测，之后进行试卷改进，不仅增加了题量，而且也丰富了题型。修改好的试卷（见附录2）共分四部分：口算、比较大小、选数组式和看图列示，共计49道题。题目可根据进退位特点分为进位加与不进位加法、退位减与不退位减法，也可按照一位数加减法和两位数与一位数加减法来分类。一、被试取样，数据整理试卷分别在海淀区北京大学附属小学和顺义区空港小学进行测试，共计4个班，130名学生。发放130份试卷，回收130份试卷。将按时完成的试卷作为有效测试，共计127份，其中全部正确的有11份，占8.46%。针对不同题型，统计了全部正确的情况，具体分析结果如下表： 表1 20以内加减法全对情况统计表题型全对（份）总数（份）百分比口算2512719.69%比较大小10912785.83%选数组式子7812761.42%看图列示7612759.84%从上面的数据可以看出“口算”部分全部正确的比率较低，为了能更好的掌握错题情况，针对这部分做了进一步的分析。127份有效试卷中，口算题共错264道，具体情况如下表：表2 口算错题情况分析类型错题数百分比两个数加减法计算6524.62%看错符号2710.23%三个数加减法计算6223.48%求减数（形如：8=14-）8331.44%求减数(形如： 10-3=16-)5420.45%二、错误类型通过对试卷的整理分析，可以将20以内加减法错误的类型归结为以下两类：常规题型错误和非常规题型错误。（一） 常规题型错误指在教材（北京市义务教育课程改革实验教材）中以例题形式出现过并且是重点练习内容的题型。在常规题型中，将错误类型具体分为三类：1、进位加法的错误较多（主要关于5、6、7加几的进位加法）20以内加法错题共有33道，全部属于进位加的错题。对测试卷中的进位加错误又做了进一步的观察和分析后发现，5、6、7加几的进位加在20以内加、减法的错题中所占比重最大。在有效试卷中，5、6、7加几的进位加法错题达到20题，占加法错题的60.61。典型错例：8+6=15“8+6=”错题数为8道，其中有4份试卷答案为“8+6=15”。2、 三个数加减法比两个数的加减法计算易错（其中加减混合运算比连加或连减易错） 其中130份试卷中有53份都有此类错误，错题数为62道，占口算错题总数的23.48%。其中加减混合运算错题数为44道，占错题总数的70.97%。典型错例：11-10+9=19 “11-10+9=”错题数为8道，其中有3份试卷答案为“11-10+9=19”。3、看错运算符号（多数把 “”看成“” ）学生因看错运算符号的错题共27道，其中把“+”看成“”的错题共6道，把“”看成“”的错题共21道，占看错运算符号错题数的77.78。典型错例：8-4=12 9-2-6=13 “8-4=”错题数为7道，其中有6份试卷答案为“8-4=12”； “9-2-6=”错题数为7道，其中 有5份试卷答案为“9-2-6=13”。（二）非常规题型错误指在教材中没有以例题形式出现过，在练习中出现过的题型，对于学生来说也是较难的题，也容易做错。具体原因分析如下：1、形如：8=14- 3=7-易错130份试卷中共有53份出错，错题总数为83道，占错题总数的31.44。典型错例：3=7-10 8=14-22。其中3=7-的错题数为40道，有37份试卷的答案为3=7-10；8=14- 的错题数为30道，有11份试卷的答案为8=14-22。2、 形如： 10-3=16- 4+8=15-易错130份试卷中共有30份出错，错题总数为54道，占错题总数的20.45。典型错例：10-3=16-3 4+8=15-5 。其中10-3=16- 错题数为32道，占这类错题的50.79，有11份试卷答案为10-3=16-3（三）看图列式错误：没有理解图片信息，列错算式。通过分析问卷，我发现学生在做看图列式时，除了因计算出错外，大部分错误都是因为学生没有理解图片信息，导致列错算式。表3 看图列式错题情况分析题号错题数百分比157.93%234.76%34469.84%41117.46%从表3中可以看出，第3小题的错题百分比最高，第4题的错题百分比相对第1、2题来说也较高。典型错例： 图4 图5错例：共44份出错，占看图列式 共11份出错，占总数的17.46% 错题总数的33.08%。 典型错例：典型错例： 6 - 2 + 8 = 12 1 + 1 + 6 = 8 6 4 + 4 = 6 6 + 1 + 1 = 8 1 + 6 + 6 = 136 + 1 + 6 = 13 1 + 10 + 6 = 17三、错误原因每个学生又都是一个独特的个体，拥有各自的学习方式和思维方式，产生的计算错误也是多种多样的。因此对于每个学生来说，导致错误的原因也是多种多样的，不能简单的归结为粗心、马虎。根据以上的错误类型，我将从心理学角度具体分析一下错误原因。（一）常规题型错误分析常规题在教材的例题与练习中是常见的，也是老师重点强调的内容，但为什么学生还会不断出错呢？1、 记忆还原 孙健人.小学生口算出错的心理障碍及矫治.教学论文选萃，2005.05的影响记忆的目的不仅是信息的贮存，更重要的是能准确地提取。学生在贮存信息过程中，由于生理、时间和复习量等多种因素的影响使贮存的信息常常消失或暂时中断，从而丢头落尾造成遗忘性差错。特别是连加、连减、进位加、退位减等口算题，由于瞬时记忆量较大，更易出错。针对出现错误较多的进位加法，我们以72与75为例。7+2属于不进位加法，计算时学生需要提取的信息量少，只要想7和2组成几，完成一次数的组成就可以了，算起来比较简单，所以此类错题较少；75属于进位加法，计算时学生一般采用“凑十法”。（可能这种方法是教师重点强调过的，也可能是学生习惯的一种计算方法）学生会习惯性的想将较小数“5”分成“3”和“2”，这完成了凑十法的“分解”；接着用“7”和分解出来的“3” 组成“10”。本来应该再用“10”和“2”组成“12”， 要完成此步必须记住有一个分解出来的“2”还没有用过。此时学生已经完成了凑十法的“分解”与“凑十”两步计算，对于一年级小学生来说已经是很大的思维量了，所以很容易就会把“2”忘记了，甚至错记成“3”。例如7+5=13这个错例，就是学生用7与3组成10后又加了一次“3”，把“2”错记为“3”了，以至于错误答案与正确答案只相差1。关于5、6、7的进位加错误较多，主要因为5、6、7要凑十分别需要5、4、3，而8、9凑十分别需要2、1，也就是说5、6、7相对远离10，这样在计算时，进行数的合并时相对难了，易出错。其次，若两个数相差很少，甚至是两个连续的自然数时，在利用“凑十法”分解时，往往犹豫该把哪个数分解好，导致错误。例如：96与76的关键就是把6分成1和几，与把6分成3和几，显然后者难于前者。因此，关于5、6、7进位加是20以内加减法错题的“高发区”。2、 干扰的影响要进行计算，首先必须通过感觉器官来感知数、符号或数和符号组成的算式。当多个信息同时出现时，容易互相产生干扰。例如在计算三个数组成的加减法运算时，与两个数的题目相比，学生看到的符号类型多了，数的个数也多了。他们需要考虑地内容也增多了，有不同的运算符号、运算顺序，有时还要考虑不同数的特征。如此多的信息同时需要学生处理。再加上小学生的注意力时间很短，并且注意也不容易分配，要求他们在同一个时间把注意分配到两个或两个以上对象来时，往往会出现丢三落四的现象，从而导致计算错误。如果计算中又出现进位加或退位减，对于一年级的学生来说就会有些应接不暇，计算出错也就在所难免了。3、看错运算符号属于一种保持的错误 郜舒竹.实践取向小学教师教育教程数学教学基础.教育科学出版社，2007.03它主要指在题目中有一个信息是占优势的，容易使学生忽视其他信息。例如有这样的错例：8-4=12，9-4=13 。这里的8和4就是占优势的信息（也有研究者称为强信息）。为什么会是这样呢？这和学习加减法的顺序存在着联系。在小学阶段，为了符合学生的思维方式要先学加法，再学减法。在学进位加法时，8+4，9+4的得数早已被学生记得滚瓜烂熟了，所以看到8与4 这两个占优势的信息，立刻想到相加得12，也就忘记看中间的运算符号是否就是“+”，直接把错误的答案12写上了。（二） 非常规题型错误分析1、 学生的认知水平对数学学习产生的影响8=14-22，3=7-10类型的错题原因是什么呢？我认为主要是学生的认知水平对数学学习产生的影响。根据皮亚杰的认知发展阶段论各段的特征，可以看出一年级的学生智力发展属于前运算阶段。“前运算阶段”的意思即指儿童思维方式尚未完全达到合理地步之前的一段时期。按皮亚杰的解释以及很多心理学家研究验证，此一时期儿童的思维方式之所以不合逻辑，主要是由于他的图式在功能上受到知觉集中倾向、不可逆性、自我中心主义三种心理上的限制所致。换言之，这三种限制是儿童思想不成熟的原因。而造成8=14-22，3=7-10的错题原因主要是因为知觉集中倾向和不可逆性。举例来说，3=7-，学生认为与常见的写法比，这是一种形式的改变，但是由于思维发展水平的原因，没有注意到甚至没有意识算式是如何改变的；当学生确定算式写法变形了之后，就要想这道题该怎么做了，必然会联系到以前的知识。-7=3是常见的写法，与之比较后就认为本来是从左向右看的式子，变成了从右向左看，不用多想答案就是“10”了。在学生的认识中“7”仍是减数，并没有意识到这道题中的“7”已经改变了角色成为被减数了，这就是不可逆性的影响造成的错误。2、习惯效应的影响习惯效应 黄丽华.小学生计算出错的心理负效应及对策.黑龙江教育（综合版)，2007.07是由黄丽华提出的，是指小学生在计算时，往往只去感知符号本身而很少去考虑事物之间的联系。因而对那些相近或相似的符号、数据容易发生感知失真而产生错误。例如10-3=16-相对于上面类型的错误，这个又复杂了一步，但是又形象了一些。大多数学生知道要先算出10-3等于几，在计算7=16-时，有些学生受上题的影响得出的答案是23，但也有学生一眼就看到了等号左右两边都是几减几的两个一样的算式，10和16又是两个有些相似的数字，就在等号右边的括号内填上了3。这就是因感知失真而产生的错误。（三）感知错误低年级学生的思维水平以具体的形象为主，他们关注更多的是新奇而有趣的现实中的事物。因此数字与图片相比较就枯燥了许多。看图列式就要求学生具有把加减法和现实背景联系起来的能力。当有图片出现时，学生把大部分注意力都放在图上。但往往他们关注的是图片上的一两点，并不能整体感知这幅图片，如果再受到占优势信息的干扰，就很容易出错。例如：对于（图4）这道连加题，列式为1+1+6=8 或 6+1+1=8的学生，是受到1盆这个强信息的干扰，看到第二幅图也是1盆，就在第二个空格内填上1。接着又看到6朵独立的花，就把6写下来了；另外一种学生，则是首先看到一个小盆花、随后看到的是一个大盆花，小盆花里只有一朵，受数小棒时一根小棒与一捆小棒关系的影响，则认为一个大盆里就有10朵花，也就不再数了，所以列式为1+10+6=17。 图4 图5 而对于（图5）这道题来说，这样的错误算式比较典型： 6 - 2 + 8 = 12 6 4 + 4 = 6如果按学生的列式用文字可以将式一表述为“原有6颗五角星，划去2颗，在加上没被划去的8颗，现在一共有多少颗五角星？”在这里划去2颗此时在学生脑里已经是强势信息，忘记了左边没被划去的是原来有的，因此又加了一次；式二却恰好相反，没有被划去的五角星在学生脑里是强势信息，所以理解为左边4颗，右边又有4颗。4与4也就直接被填在后面的空格内。四、结语在整理分析学生试卷过程中，发现试卷中存在一些问题：涉及的退位减法较少，以致于不能很好的说明退位减的错题情况。试卷是以实习中搜集到的及文献中查阅到的错误案例为基础编写的，所以缺少教学实践中的实例。今后无论做什么研究，我会尽力将文献与教学实践结合起来，这样才能更全面的了解问题，更详细的说明问题。20以内加减法错误是有价值的研究内容，这之中还包含许多错误类型和导致错误的因素，教师遇到学生的错误时，不要简单地归结为学生“粗心”或“马虎”，要结合教学实践与教学理论，深入研究错误根源，遵循儿童的心理及认知规律，对症下药，这样才能更有效地提高小学生的计算能力。参考文献1. 郜舒竹.实践取向小学教师教育教程数学教学基础. 116-117.教育科学出版社，2007.03 2. 刘 莹、郜舒竹.例谈学生数学错误的辨别标准.小学教学研究，2006.083. 吴 宏.20以内加、减法口算错误的分布研究.教育论文网，2007年11月7日访问4. 吴晓燕.对心理因素导致小学生计算错误的分析及对策研究.小学数学http:/xxsx.xhedu.sh.cn 2007年11月7日访问5. 孙健人.小学生口算出错的心理障碍及矫治. 181-182.教学论文选萃，2005.056. 邓星银.学生计算错误的心理因素及其纠正对策. 24.小学教学研究，2002.07 7. 赵 朦.学生口算出错的原因分析. 21.小学教学研究， 2003.02 8. 陈 新.浅谈学生计算出错的原因. 27.小学教学研究，2004.03 9. 人民教育出版社.课程教材研究所，2004.11.19 http:/www.pep.com.cn/xgjy/xlyj/xlshuku/shuku18/shuku25/200411/t20041119_135146.htm10. 皮亚杰认知发展论四个阶段期.幸福的黄手绢心理网，2006.07.13http:/www.huangshoujuan.com/page_xl.php?xuh=165.2008年1月访问11. 黄丽华.小学生计算出错的心理负效应及对策.黑龙江教育（综合版)，2007.0712. 胡本炎.小学生计算错误的原因及其改进对策的研究.2000.0913. 刘 萍.错误是粗心所致吗小学生数学学习错误的认知分析.当代教育科学， 2007. 17 47-49