也谈高中数学教学中的类比.doc

也谈高中数学教学中的类比无锡市洛社高级中学 徐荣新 普通高中数学课程标准（实验）中在选修12和22中明确要求“能利用归纳和类比等进行简单推理”，“类比是合情推理常用的思想方法”。近几年的高考也大量出现类比题，引起了大家的关注和研究。类比可以开拓学生的视野，提高创新思维，通过类比的课堂教学也把课堂交给了学生。一、类比的价值和意义1类比可激发学生学习兴趣通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。由于类比是从特殊到特殊的一种猜测、推理，从一个已知的领域去探索另一个领域，而这正符合学生的好奇、去了解陌生世界的心理。这样可以极大地激发出学生的兴趣，让学生去主动地探索、研究新的知识。2通过类比可得新知数学教材中，很多新的知识在很大程度上是在先前的知识上发展而来的，在方法、思想等方面都有着一定的联系。一旦学习的主体发现了这些联系之间存在的相似性和可比较性，那么就可以利用原有的认知结构有效地学习新知识，同时也可以将先后的知识组成一个完整的体系。3通过类比提高学生数学思维能力高中数学课程提出应注重提高学生的数学思维能力，这也是数学教育的基本目标之一。当学生遇到一个陌生的问题时，当有了类比的意识，他会联想一个在形式或方法上较为熟悉的问题来进行类比。发现其内在联系，架起桥梁，沟通知识与知识、方法与方法之间的关联，激活学生的思维，从而去提高学生的思维能力。4类比是数学发现与创新的重要手段类比就是一种大胆的合理的推理，它是创新的一种手段。因为有了类比，在研究一个问题时，学生将跳出一定的框架，不受现有知识的约束，根据其中的思想方法、表现形式等去利用其他的知识、方法来大胆提出设想、来找到具有创新性的解题方法。二、类比的手段1通过类比“旧知”，构建知识体系按照课标的要求教材是按照知识发展的顺序来安排。知识和知识之间螺旋上升，构成了完整的体系，知识之间也存在着思想方法等联系，教学就是要利用这种联系让学生利用旧知来探索新知。在讲授等比数列时，先回忆等差数列中的相关知识：定义：an1an=d（d为常数），通项公式：an=a1（n1）d，性质：an=（）；若，则。通过小组合作，回忆旧知的证明推导方法，来类比得到新知，得到结论，给出证明。这种类比的方法可以广泛地运用，譬如，平面向量到空间向量的类比，平面解析几何到立体几何的类比等等。当然不仅是知识体系的类比，也可以包括一些常见的结论，如平面向量中“若且，则P、A、B三点共线”，类比空间向量“若且xyz，则P、A、B、C四点共面”。2通过类比“方法”，领会其中思想教师教学生，不仅是简单地讲解知识，不能仅满足于让学生模仿性地解题。更要让学生学会一种思考的方法，分析问题的能力、迁移解题的能力。定积分中求曲边梯形的面积,步骤为“无限分割以直代曲求和取极限”,核心为“以直代曲”。在同学们探讨得出方法，理解思想方法之后，我给出思考题：“证明半球的体积为R3”。同学们通过讨论想出了分割的多种方法，底面与圆面平行的若干圆柱；底面与圆面垂直的若干小半圆柱；圆锥。在讨论中不断克服困难，以高昂的斗志深化、巩固了思想方法。3通过类比“形式”，发展创新思维在解题的过程中应要求学生不拘一格，以发散的思维来观察分析问题形式。问题情境发生了根本性的变化，两个对象在表面上毫无共同之处，但通过观察、创造条件，使两者存在共同点，这种类比不是一种简单的模仿，而是一种创造性。譬如：（1）已知函数f（x）=axb，3a24b2=12，求证：当x1，1时，|axb|。分析：由3a24b2=12的形式联想类比到椭圆的标准形式 =1，故设a=2cos，b=sin，有|axb|=|2xcossin|，得证。（2）解方程分析：观察每个式子中都有一未知数为一次项，整理得，观察形式类比联想到正切的二倍角公式，设x=tan，（ ，），则y=tan2，z=tan4，x=tan8。故有tan=tan8，所以8=k，= （ ，），即x=tan，y= tan ，z= tan ，k=0，1，2，3。三、培养学生类比意识的教学途径1教师自身要有完善的知识体系和深厚的专业基本功要想能顺利地引导、组织学生去运用类比的思想去发现新知和创新解题，教师作为组织者一定要具有完善的知识体系和深厚的专业基本功，否则怎能发现不同板块知识之间的内在联系，怎能有效组织好类比教学，展示数学的内在和谐美，展示数学知识的统一性。因此在平时的钻研中教师必须站在一定的高度去把握知识的结构、去研究透知识表象背后的思想方法，不能思维定势地去思考问题，对问题能有自己独到的见解，通过自身的努力夯实专业基本功。2经常创设类比问题情境要想培养学生的类比能力，教学中的类比问题情境显得尤为重要。数学课堂教学中，教师要恰如其分地创设类比联想的问题情境，暴露数学的思维过程，把每一个环节展现给学生，让学生观察和类比。现在的数学教材中，每章都有引人入胜的章头图，同时在很多小节中也有生活的实例，学生可以从实际问题中类比得到数学知识；同时，新教材在编排顺序上按知识的发展顺序进行，也利于教师在组织教学时进行前后的类比教学。3实行变式教学应该说变式教学是中国教学中成功的环节，通过变式的教学让学生分析、提炼出不同表象后面相同本质的东西，通过长时间的潜移默化的影响培养学生分析问题的意识和能力，从而为进一步的主动类比提供可能。只有这样学生才会在遇到新的问题时站在一定的高度去认识、把握，才能有新的想法。4教学过程中注重知识的生成通过教学发现，学生已有的知识水平对类比能否顺利实施开展起决定性作用，只有有了相关知识作为保障，才有“跳一跳摸得着”的可能。所以在平时的教学中要更多在学生的主体活动中生成知识，教师作为一个组织者和引导者。让学生在自主的活动中感悟到其中的思想方法和内在联系，只有这样学生才能在遇到新问题时浮现出已有的思想方法和不同知识形式来进行类比。否则如果是教师的一味灌输只能带来僵硬的思维方式。5开展小组合作交流考虑到中学生的思维的不成熟性、不完善性，类比教学有时对学生的要求可能相对较高，凭一己自力可能难以在短时间内发现内在联系去达成目标。所以在课堂教学中可适时采用小组合作探究式，俗话说“三个臭皮匠顶上一个诸葛亮”。通过合理搭配小组的构成，营造轻松的研讨氛围，让平时思维不活跃的学生有勇于表现自己、展示自己的机会，通过小组的合作去提出问题、解决问题、构建知识。在通过展示成果的方式让学生的主体活动充斥着课堂，去批判地接受新知的生成。 四、类比教学中的注意点1 知识、方法的可类比性教师在组织学生以类比的方式来学习探究新知的时候一定要注意所给材料和要探究知识之间一定要存在着形式、方法或思想等方面的联系，不能让学生的类比活动毫无头绪，变成无方向的一种所谓的探究，而不是真正意义上的类比。譬如学生可以用类比的思想利用等差数列的相关性质来推导等比数列的相关性质，但你不能要求学生利用等差数列的求和方法来类比探究等比数列的求和方法。2 类比中的科学性类比虽然是一种大胆的猜想，但类比不能仅满足于猜想，停留在猜想到的东西，还要进行科学性的验证。笔者在一次复习教学中安排了以下看似相关的两道题，（1）在椭圆x28y2=8上找一点P，使点P到直线l：xy4=0的距离最小。分析：把点与直线的距离转移为两平行线之间的距离。设与l平行且与椭圆相切的直线为y=xm，联立得9x216mx8m28=0，通过=0结合图象得m=3，从而得到最短距离和切点坐标（即为P点）。（2）求椭圆x24y2= 4上的点到点（0，5）的最大距离。学生用类比的思想，想到以（0，5）为圆心作圆，设方程为x2（y5）2=r2，利用圆和椭圆的相切联立求出r2= ，即最大距离为 。可以看出学生类比其中相切的思想方法，求出了最大距离，感觉一气呵成。但细细一想，若求最短距离，利用同样的方法仍然只能求出r2= ，出现了问题。分析原因，由于在圆锥曲线中x和y有了范围，所以相切只要求联立后的方程只有一解，一个符合范围的解，而不一定=0，所以此处的类比由于范围的原因而不具有可类比性，出现了问题。只有我们意识到类比的教育教学价值，通过类比的教学方法去展示数学的知识，才能让学生拓展视野，以极大的热情去研究、学习数学，认识到数学世界的和谐统一，才能真正实现学生由“学会”到“会学”的转化。（惠山区06年度课改优秀论文一等奖）