中考总复习六：方程与方程组.doc

中考总复习六：方程与方程组一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！考试目标：l 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.l 经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程.l 会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）.l 理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.l 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.复习策略：l 复习本专题时把握住转化的数学思想：化多元为一元，化高次为低次，化分式方程为整式方程.方程的变形要依据等式的基本性质.二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识框图通过知识框图，先对本单元知识要点有一个总体认识。知识考点梳理认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，若有其它补充可填在右栏空白处。详细内容请参看网校资源ID：#tbjx3#241874考点一：等式性质（一）等式的两边都加上（或减去）同一个整式，结果仍是 .（二）等式的两边都乘以同一个数，结果仍是 .（三）等式的两边都除以同一个不等于零的数，结果仍是 .考点二：方程及相关概念（一）方程定义含有 的等式叫做方程.（二）方程的解使方程两边的值 的未知数的值，叫做方程的解（一元方程的解也叫做根）.（三）解方程求方程的 的过程，叫做解方程.考点三：一元一次方程（一）一元一次方程定义只含有 个未知数，且未知数的次数是 次的 方程叫做一元一次方程.（二）一元一次方程的一般形式：.（三）解一元一次方程的一般步骤：（1）去 ；（2）去 ；（3） ；（4）合并 ；（5）系数 ；（6）检验（检验步骤可以不写出来）.考点四：二元一次方程组（一）二元一次方程组定义两个含有 个未知数，且未知数的次数是 次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.（二）二元一次方程组的一般形式：（三）二元一次方程组的解法：（1） 消元法；（2） 消元法.考点五：分式方程（一）分式方程定义分母中含有 的方程叫做分式方程.（二）分式方程与整式方程的联系与区别：分母中是否含有 .（三）分类：（1）可化为一元一次方程的分式方程；（2）可化为一元二次方程的分式方程.（四）解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化为 方程：把各分母分解 ；找出各分母的 公分母；方程两边各项乘以 公分母；（2）解整式方程.（3）检验（检验步骤必需写出来）. 把未知数的值代入原方程（一般方法）；把未知数的值代入 公分母（简便方法）.（4）结论确定分式方程的解.考点六：一元二次方程（一）一元二次方程定义只含有 个未知数，且未知数的次数是 次的整式方程叫做一元二次方程.（二）一元二次方程的一般形式：.（三）一元二次方程的解法：（1）配方法通过配成 式的形式来解一元二次方程的方法称为配方法.用配方解方程的一般步骤：a 化1：把 数化为1（方程两边都除以二次项系数）； b 移项：把 项移到方程的右边；c 配方：方程两边都加上 数绝对值 的平方； d 变形：方程左边写成 形式，右边合并同类项；e 开方：求平方根；f 求解：解一元一次方程；g 定解：写出原方程的解.（2）公式法：一元二次方程： ，当时，它的根是用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法（solving by formular）.用公式法解题的一般步骤：a 变形：化已知方程为 形式；b 确定系数：用a，b，c写出各项系数；c 计算： 的值；d 代入：把有关数值代入公式计算；e 定根：写出原方程的根.（3）因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个 的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：a 化方程为 形式；b 将方程左边 ；c 根据“两个因式的积等于零，至少有一个因式为零”，转化为两个一元一次方程；d 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根. 考点七：一元二次方程根的判别式我们知道：代数式对于方程的根起着关键的作用.当时，方程有 的实数根；当时，方程有 的实数根；当时，方程 根.所以我们把叫做方程的根的判别式，用“”来表示，即.考点八：列方程（组）解应用题的一般步骤： （一）审：分析题意，找出已、未知之间的数量关系和相等关系.（二）设：选择恰当的未知数（直接或间接设元），注意单位的统一和语言完整.（三）列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程（组）.（四）解：解所列的方程（组）.（五）验： （有三次检验 是否是所列方程（组）的解；是否使代数式有意义；是否满足实际意义）.（六）答：注意单位和语言完整.经典例题自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#241874类型一：一元一次方程例1若是关于x的一元一次方程，则m的值是（）AB-2C2D4思路点拨：根据一元一次方程的定义，首先要满足未知项系数不为0，其次未知项的最高次数为1.解：举一反三：【变式1】关于x的一元一次方程的解为 .思路点拨：根据一元一次方程的定义.解析：总结升华： .例2解方程：（1）；（2）(-1)-2-2x=3.思路点拨：（1）因为方程含有分母，应先去分母.注意每一项都要乘以6；（2）此方程含括号，因为=1，所以先去中括号简便.解：总结升华： .举一反三：【变式1】解下列方程（1）8-9x=9-8x； （2）；（3）； （4）.解：（1）（2）法一：法二：（3）（4）总结升华： .类型二：一元二次方程例3已知：3是关于x的方程的一个解，则2a的值是（）A11 B12 C13 D14解：总结升华： .举一反三：【变式1】已知x=-1是关于x的方程的一个根，则a=_.解：总结升华： .【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-(k1)x-6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值.解：例4按要求解一元二次方程.（1）x2+4x+4=1（直接开平方法）思路点拨：很清楚，x2+4x+4是一个完全平方式，那么原方程就转化为(x+2)2=1解：（2）6x2-7x+1=0（配方法）解：（3）5x+2=3x2（公式法）思路点拨：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可解：（4）(x-2)2=2x-4（因式分解法）思路点拨：等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2(x-2)，再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式.解：例5关于x的方程x2 -kx+k-2=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D不能确定考点：一元二次方程根的判别式.思路点拨：对于一元二次方程而言，当判别式0时方程有二个不相等实数根，当0的解集（用含a的式子表示）思路点拨：要求ax+30的解集，就是求ax-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根，即(-2a)2-4(a-2)(a+1)0就可求出a的取值范围解：类型三：二元一次方程组例6已知方程是一个二元一次方程，求m和n的值.思路点拨：二元一次方程必须是同时符合下列两个条件的整式方程：（1）方程中含有两个未知数；（2）方程中含有未知数的项的次数都是1.解：举一反三：【变式1】下列方程组中，是二元一次方程组的有哪些？（1）（2）（3）（4）（5）思路点拨：由二元一次方程组的定义可知：（1）方程组中的每个方程必须都是一次方程；（2）方程组中的未知数共有两个；（3）方程组中的两个方程必须都为整式方程.解：例7方程组的解为（）.（A）（B）（C）（D）以上答案均不对思路点拨：未知数x、y的一对值必须同时满足已知方程组的每个方程，才是方程组的解.解：举一反三：【变式1】已知是方程3x-ay-2a=3的一个解，求a的值.思路点拨：由是方程3x-ay-2a=3的一个解，可以理解为x，y的值适合方程 3x-ay-2a=3，也就是说方程3x-ay-2a=3中的x取-2，y取时方程成立.这样就可以将x=-2，y=代入方程中，转化为关于a的一元一次方程，可求出a值.解：【变式2】（烟台）写出一个解为的二元一次方程组_.思路点拨：此题为开放性试题，由二元一次方程组的解的定义，需同时满足每个方程，答案不唯一.解：例8解方程组.（1）思路点拨：用代入法解二元一次方程组时，要尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程去变形，此例中式y的系数为-1，所以用含x的代数式表示y，代入中消去y.解：（2）思路点拨：此方程组的两个方程中y的系数互为相反数，所以可把两个方程相加，消去y，解出x的值；又发现两个方程中x的系数相等，所以可把两个方程相减，消去x，解出y的值.解法一：解法二：（3）思路点拨：此方程组中两个未知数的系数均不成整数倍，所以选择系数较简单的未知数消元.将4， 3，使得x的系数相等，再相减消去x.解：举一反三：【变式1】解方程组.（1）思路点拨：这两个方程都需要整理成标准形式，这样有利于确定消去哪个未知数.解：（2）分析：此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1，所以考虑用加减消元法，选择消去系数较简单的未知数x，由和，和两次消元，得到关于y，z的二元一次方程组，最后求x.解：类型四：分式方程例9下列方程中哪个是关于x的分式方程？AB CD思路点拨：根据分式方程的定义.解：例10解分式方程.（1）思路点拨：方程是一个分式方程，根据方程的同解原理，可以把它化为一个一元一次方程，两边同时乘以x+1，得3x-4=2(x+1)，但方程的同解原理要求，x+10，解完方程以后要验根.解：（2）思路点拨：去分母时注意方程中每一项都要乘以各分母的最小公倍数，等号右边的数字3不要漏乘；还要注意验根.解：例11已知方程无解，求m的值思路点拨：此分式方程无解，说明去分母后得到的x的值使得分式无意义，即最简公分母为0解：举一反三：【变式1】关于x的方程的解是非负数，求a与b的关系思路点拨：先求出方程的解，再令解：【变式2】如果，试求A、B的值解法1：（利用分式的加减法）解法2：类型五：方程及方程组的应用例12近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份每升汽油的价格.解：例13（上海市）2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据.已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额.年份20012003200420052007降价金额（亿元）543540解：解法一解法二例14（浙江宁波）2007年5月19日起，中国人民银行上调存款利率. 人民币存款利率调整表项 目调整前年利率%调整后年利率%活期存款0.720.72一年期定期存款2.793.06储户的实得利息收益是扣除利息税后的所得利息，利息税率为20%.（1）小明于2007年5月19日把3500元的压岁钱按一年期定期存入银行，到期时他实得利息收益是多少元？ （2）小明在这次利率调整前有一笔一年期定期存款，到期时按调整前的年利率2.79%计息，本金与实得利息收益的和为2555.8元，问他这笔存款的本金是多少元？（3）小明爸爸有一张在2007年5月19日前存人的10000元的一年期定期存款单，为获取更大的利息收益，想把这笔存款转存为利率调整后的一年期定期存款.问他是否应该转存？请说明理由.约定：存款天数按整数天计算，一年按360天计算利息.比较利息大小是指从首次存入日开始的一年时间内.获得的利息比较.如果不转存，利息按调整前的一年期定期利率计算；如果转存，转存前已存天数的利息按活期利率计算，转存后，余下天数的利息按调整后的一年期定期利率计算（转存前后本金不变）.解：三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。相关内容请参看网校资源ID：#tbjx28#241874。复习本专题时应抓住其实质：元和次，在定义上区分方程（组）的各种类型，并能够根据定义具有的双重性解方程（组）和研究分式方程增根、失根情况.在解方程（组）时，把握住转化的数学思想：化多元为一元，化高次为低次，化分式为整式；采取的手段是加减消元法、代入消元法、因式分解法、换元降次法、去分母等方法；对于特殊形式的方程（组）可采取对称思想、整体思想、非负数性质、定义法、拆项法等特殊方法求解.列方程（组）解应用题要善于从社会关注的热点问题中寻找题中的等量关系.成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。知识点：一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程及其应用、二元一次方程组、一元二次方程 测评系统分数： 模拟考试系统分数： 如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：#cgcp0#241874做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试。也可以尝试做一下近几年各地个中考试题：#zktc0#241874。自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。我的收获习题整理题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题好题错题注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。知识导学：中考总复习六：方程与方程组（ID：#241874）视听课堂：总复习：一次方程与方程组（ID：#286611）、总复习：一元二次方程（ID：#286612）若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用。对本知识的学案导学的使用率： 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上） 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右） 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）学生：_ 家长：_ 指导教师：_请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学。