2010高考数学一轮-28.数列概念及等差数列.doc

一 课标要求 1 数列的概念和简单表示法 通过日常生活中的实例 了解数列的概念和几 种简单的表示方法 列表 图像 通项公式 了解数列是一种特殊函数 2 通过实例 理解等差数列的概念 探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式 3 能在具体的问题情境中 发现数列的等差关系 并能用有关知识解决相应 的问题 体会等差数列与一次函数的关系 二 命题走向 数列在历年高考都占有很重要的地位 一般情况下都是一至二个客观性题 目和一个解答题 对于本将来讲 客观性题目主要考察数列 等差数列的概念 性质 通项公式 前 n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用 对基本的 计算技能要求比较高 预测 2010 年高考 1 题型既有灵活考察基础知识的选择 填空 又有关于数列推导能力或解 决生产 生活中的实际问题的解答题 2 知识交汇的题目一般是数列与函数 不等式 解析几何 应用问题联系 的综合题 还可能涉及部分考察证明的推理题 三 要点精讲 1 数列的概念 1 数列定义 按一定次序排列的一列数叫做数列 数列中的每个数都叫这个数列的项 记作 na 在数列第一个位置的项叫第 1 项 或首项 在第二个位置的叫第 2 项 序号为 的项叫第 n项 也 叫通项 记作 na 数列的一般形式 1 2a 3 na 简记作 na 2 通项公式的定义 如果数列 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个 公式表示 那么这个公式就叫这个数列的通项公式 例如 数列 的通项公式是 na 7 N 数列 的通项公式 是 na 1 N 说明 na表示数列 na表示数列中的第 n项 na f表示数列的通 项公式 同 一 个 数 列 的 通 项 公 式 的 形 式 不 一 定 唯 一 例 如 n 1 n 1 2 kZn 不是每个数列都有通项公式 例如 1 1 4 1 41 1 414 3 数列的函数特征与图象表示 序号 1 2 3 4 5 6 项 4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集 的映射 从函数观点看 数列实质上是定义域为正整数集 N 或它的有限子集 的函数 fn当自变量 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值1 23 f fn 通常用 na来代替 f 其图象是一群孤立 点 4 数列分类 按数列项数是有限还是无限分 有穷数列和无穷数列 按数列项与项之间的大小关系分 单调数列 递增数列 递减数列 常数列 和摆动数列 5 递推公式定义 如果已知数列 na的第 1 项 或前几项 且任一项na 与它的前一项 1na 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个 公式就叫做这个 数列的递推公式 2 等差数列 1 等差数列定义 一般地 如果一个数列从第 2项起 每一项与它的前 一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫等差数列 这个常数叫做等差数 列的公差 公差通常用字母 d表示 用递推公式表示为 1 2 nad 或1 1 nad 2 等差数列的通项公式 1 nad 说明 等差数列 通常可称为 AP数列 的单调性 d0 为递增数列 0d 为常数列 0d 为递减数列 3 等差中项的概念 定义 如果 a b成等差数列 那么 叫做 a与 b的等差中项 其中2bA A 成等差数列 2A 4 等差数列的前 n和的求和公式 11 nnSd 四 典例解析 题型 1 数列概念 2009 安徽卷文 已知 为等差数列 则 等于 A 1 B 1 C 3 D 7 解析 1350a 即 105a 3 同理可得 43a 公差 432da 204 d 选 B 答案 B 2 根据数列前 4 项 写出它的通项公式 1 1 3 5 7 2 2 213 24 251 3 解析 1 na 2 1 2 na 2 1 3 na 1 n 点评 每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的 对应关系 这对考生的归纳推理能力有较高的要求 例 2 数列 na中 已知 21 3nanN 1 写出 10 n 2 2 79是否是数列中的项 若是 是第 几项 解析 1 21 3nanN 10a21093 1na 22 2n 242n 2 令 79321n 解方程得 15 6 或 N 5 即 2793为该数列的第 15 项 点评 该题考察数列通项的定义 会判断数列项的归属 题型 2 数列的递推公式 例 3 如图 一粒子在区域 0 xy 上运动 在第一秒内它从 原点运动到点 1 B 接着按图中箭头所示 方向在 x 轴 y 轴及其平行方向上运动 且 每秒移动一个单位长度 1 设粒子从原点到达点nnABC 时 所经过的时间分别为 nna b c 试写出 nna b c的通 相公式 2 求粒子从原点运动到点 16 4 P时所需的时间 3 粒子从原点开始运动 求经过 2004 秒后 它所处的坐标 头htp w xjkygcom 126t j 解析 1 由图形可设 12 0 0 nAA 当粒子从原点到达 nA时 明显有 13 a 21 a 124 4353305 65 213 1 4 na 21 na 5 24 221n 2 1ban 0 C5C4 C3C2 B5B4 B3B2 A6A5A4A3A2C1B1 A1 x y 224nban 21 1 1 cnn 222 n 即 2 有图形知 粒子从原点运动到点 16 4 P时所需的时间是到达点4C 所经过得时间 4c 再加 44 16 28 秒 所以 280t 秒 3 由 nc 2004 解得 18072n 取最大得 n 44 经计算 得 4 1980 2004 从而粒子从原点开始运动 经过 1980 秒后到 达点 4C 再向左运行 24 秒所到达的点的坐标为 20 44 点评 从起始项入手 逐步展开解题思维 由特殊到一般 探索出数列的 递推关系式 这是解答数列问题一般方法 也是历年高考命题的热点所在 例 4 1 已知数列 na适合 1 1na 2n 写出前五项并写出其 通项公式 2 用上面的数列 n 通过等式 1nnb 构造新数列 nb 写出 n 并写出 nb的前 5 项 解 1 1a 23 4a 25 6a 21na 2 1 nbn 13 26 30b 45 12b 点评 会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 了解递推公式是给 出数列的又一种重要方法 能根据递推公式写出数列的前几项 题型 3 数列的应用 例 5 湖南省 2008 届十二校联考第一次考试 如果一个数列的各项都是实数 且从第二项开始 每一项与它前一项的平方 差是相同的常数 则称该数列为等方差数列 这个常数叫这个数列的公方差 1 设数列 na是公方差为 p的等方差数列 求 na和 1 2 nN 的关系式 2 若数列 既是等方差数列 又是等差数列 证明该数列为常数列 3 设数列 n是首项为 2 公方差为 2的等方差数列 若将 12310aa 这 种顺 序的排列作为某种密码 求这种密码的个数 1 解 由等方差数列的定义可知 21nap 2 nN 5 分 2 证法一 na是等差数列 设公差为 d 则 1naad 又 n是等方差数列 221nn 7 分 11 na 即 20ndad 10 分 0 即 n是常数列 11 分 证法二 是等差数列 设公差为 则 1nad 1 又 na是等方差数列 设公方差为 p 则 2p 7 分 2 代入 得 20 nda 1 2 3 同理有 1 4 两式相减得 即 22 nd 10 分 0d 即 a是常数列 11 分 证法三 接证法二 1 2 由 得出 若 0d 则 na是常数列 8 分 1 2 若 0d 则 2npa 是常数 0d 矛盾 10 分 是常数列 11 分 3 依题意 21na 2 nN 4 12n 2n 或 13 分 即该密码的第一个数确定的方法数是 其余每个数都有 正 或 负 两 种 确定方法 当每个数确定下来时 密码就确定了 即确定密码的方法数是 9251 种 故 这种密码共 2种 16 分 点评 解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理 例 6 在某报 自测健康状况 的报道中 自测血压结果与相应年龄的统 计数据如下表 观察表中数据的特点 用适当的数填入表中空白 内 答案 140 85 解析 从题目所给数据规律可以看到 收缩压是等差数列 舒张压的数据变 化也很有规律 随着年龄的变化 舒张压分别增加了 3 毫米 2 毫米 照此 规律 60 岁时的收缩压和舒张压分别为 140 85 点评 本题以实际问题为背景 考查了如何把实际生活中的问题转化为数 学问题的能力 它不需要技能 技巧及繁杂的计算 需要有一定的数学意识 有 效地把数学过程实施为数学思维活动 题型 4 等差数列的概念 例 7 设 Sn 是数列 an 的前 n 项和 且 Sn n2 则 an 是 A 等比数列 但不是等差数列 B 等差数列 但不是等比数列 C 等差数列 而且也是等比数列 D 既非等比数列又非等差 数列 答案 B 解法一 a n 2 1 2 11 nanSn a n 2n 1 n N 又 an 1 a n 2 为常数 121 na 常数 a n 是等差数列 但不是等比数列 解法二 如果一个数列的和是一个没有常数项的关于 n 的二次函数 则这 个数列一定是等差数列 点评 本题主要考查等差数列 等比数列的概念和基本知识 以及灵活运 用递推式 an Sn S n 1 的推理能力 但不要忽略 a1 解法一紧扣定义 解法二较 为灵活 例 8 设数列 na b nc满足 2 nnab 213 ac n 1 2 3 证明 na为等差数列的充分 必要条件是 为等差数列且 1 b n 1 2 3 证明 1必要性 设数列 a是公差为 1d的等差数列 则 3nnab 2 n na 23 n 1d 0 1 n 1 2 3 成立 又 1 nc 12 na 23 n 6 1 常数 n 1 2 3 数列 nc为等差数列 2 充分性 设数列 n是公差为 2d的等差数列 且 1 nb n 1 2 3 213 naac 432 naac 得 22 nn 31 n 42 n 21 nb 12nncc 221 dcn 213b2d 从而有 321 nnbb2d 得 0 3 1 nnb 0 1 n 012 2 由 得 1 nb n 1 2 3 由此 不妨设 3d n 1 2 3 则 2 na3d 常数 故 31214aacnn 从而 314n 5 得 3112 dcn 故 31 2ann 常数 n 1 2 3 数列 为等差数列 综上所述 na为等差数列的充分必要条件是 nc为等差数列且1 nb n 1 2 3 证法二 令 An a n 1 a n 由 b n b n 1 知 a n a n 2 a n 1 a n 3 从而 a n 1 a n a n 3 a n 2 即 An A n 2 n 1 2 3 由 c n a n 2a n 1 3a n 2 c n 1 4a n 1 2a n 2 3 a n 3 得 c n 1 c n a n 1 a n 2 a n 2 a n 1 3 a n 3 a n 2 即 An 2An 1 3An 2 d2 由此得 An 2 2An 3 3An 2 d2 得 An An 2 2 An 1 An 3 3 An 2 An 4 0 因为 An An 2 0 A n 1 An 3 0 A n 2 An 4 0 所以由 得 An An 2 0 n 1 2 3 于是由 得 4An 2An 1 An 1 2An 2 3An 2 d2 从而 2An 4An 1 4An 1 2An 2 d2 由 和 得 4An 2An 1 2An 4An 1 故 An 1 An 即 a n 2 a n 1 a n 1 a n n 1 2 3 所以数列 a n 是等差数列 点评 该题考察判断等差数列的方法 我们要讲平时积累的方法巧妙应用 有些结论可以起到事半功倍的效果 题型 5 等差数列通项公式 例 9 2009 天津卷文 已知等差数列 na的公差 d 不为 0 设121 nnqaaS 0 NTn 若 15 31 Sq 求数列 na的通项公式 若 2da且 成等比数列 求 q 的值 若 222 1 1 1 NndTSqqnn 证 明 1 解 由题设 15 31113 Saqada将 代入解得 4d 所以 4 n N 2 解 当 3212321 dSqS 成等比数列 所以 31S 即 22dd 注意到 0 整理得 2 q 3 证明 由题设 可得 1 nb 则223212 nn qaqa 12 T 得 212342 nn qaqaTS 得 212312 nn 式两边同乘以 q 得 21232 nn qaqaTSq 所以 212322 1 ddSnnn 3 证明 nlklklk bababac n 2121 121 11 nqdqdldblk 因为 0 1 所以 12112 nqlkqlkldbc 若 nlk 取 i n 若 取 i 满足 ilk 且 jjl nji 1 由 1 2 及题设知 n 1 且 121 nqlkqlkldbc 当 il 时 1 il 由 1 2 iili 即 11 qlk 2 qk 21 iiii qk 所以 11212 iiiidbc 因此 02 当 ilk 时 同理可得 121 dbc因此 02 c 综上 21c 考点定位 本小题主要考查了等差数列的通项公式 等比数列通项公式与前 n 项和等基 本知识 考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力 例 10 已知等比数列 nx的各项为不等于 1 的正数 数列 ny满足 1 0 2log aynx 设 2 863 y 1 求数列 ny的前多少项和最大 最大值为多少 2 试判断是否存在自然数 M 使当 n 时 1nx恒成立 若存在 求出 相应的 M 若不存在 请说明理由 3 令 13 logNnxann 试判断数列 na的增减性 解 1 由已知得 naxylog2 设等比数列 x n 的公比为 q q 1 由 qxxy annanan log2l l log2111 得 ny为等差数列 设 公差为 d 863y d 2 dyn 24 3 3 设前 k 项为最大 则 1201 kyk 012 前 11 项和前 12 项和为最大 其和为 132 2 xn a12 n n N 若 xn 1 则 a12 n 1 当 1 时 n 12 显然不成立 当 20 时 存在 M 12 13 14 当 M 时 nx 3 an 12logl 1 21 axnn 0 01 n na 1 3 时数列 a n 为递减数列 点评 该题通过求通项公式 最终通过通项公式解释复杂的不等问题 属 于综合性的题目 解题过程中注意观察规律 题型 6 等差数列的前 n 项和公式 例 11 1 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后 3 项的和为 146 且所 有项的和为 390 则这个数列有 A 13 项 B 12 项 C 11 项 D 10 项 2 设数列 a n 是递增等差数列 前三项的和为 12 前三项的积为 48 则 它的首项是 A 1 B 2 C 4 D 6 3 设 Sn 是等差数列 a n 的前 n 项和 若 36S 1 则 612S A 10 B 13 C 8 D 9 解析 1 答案 A 设这个数列有 n 项 dnaSn2 1 6323131 3902 1 46311dna n 13 2 答案 B 前三项和为 12 a 1 a 2 a 3 12 a 2 3S 4 a1 a2 a3 48 a 2 4 a 1 a3 12 a 1 a 3 8 把 a1 a 3 作为方程的两根且 a1 a 3 x 2 8x 12 0 x 1 6 x 2 2 a 1 2 a 3 6 选 B 3 答案为 A 点评 本题考查了数列等差数列的前 n 项和公式的运用和考生分析问题 解决问题的能力 例 12 1 设 a n 为等差数列 Sn 为数列 a n 的前 n 项和 已知 S7 7 S 15 75 T n 为数列 n 的前 n 项和 求 Tn 2 已知数列 b n 是等差数列 b1 1 b 1 b2 b10 100 求数列 b n 的通项 bn 设数列 a n 的通项 an lg 1 n 记 Sn 是数列 a n 的前 n 项和 试比较 Sn 与 21lgbn 1 的大小 并证明你的结论 解析 1 设等差数列 a n 的公差为 d 则 Sn na1 2n n 1 d S 7 7 S 15 75 50571a即 5131da 解得 a1 2 d 1 nS a 1 2 n 1 d 2 21 n 1 1 nS 数列 是等差数列 其首项为 2 公差为 21 T n 41n2 9n 2 设数列 b n 的公差为 d 由题意得 102 10 db 解得 1d b n 2n 1 由 bn 2n 1 知 Sn lg 1 1 lg 1 31 lg 1 12 n lg 1 1 1 1 21 lgbn 1 lg 1 因此要比较 Sn 与 2lgbn 1 的大小 可先比较 1 1 1 31 1 12 n 与 12 的大小 取 n 1 有 1 1 1 取 n 2 有 1 1 1 3 2 由此推测 1 1 1 1 1 1 n 若 式成立 则由对数函数性质可断定 S n 2lgbn 1 下面用数学归纳法证明 式 i 当 n 1 时已验证 式成立 ii 假设当 n k k 1 时 式成立 即 1 1 1 31 1 2 那么 当 n k 1 时 1 1 1 31 1 12 k 1 1 k 12 k 1 12 k 2k 2 2k 2 2 3 2 01212 384 842 kk 因而 1 2121 31 kk 这就是说 式当 n k 1 时也成立 由 i ii 知 式对任何正整数 n 都成立 由此证得 S n 21lgbn 1 评述 本题主要考查等差数列的求和公式的求解和应用 对一些综合性的 问题要先理清思路再行求解 题型 7 等差数列的性质及变形公式 例 13 1 设 a n n N 是等差数列 S n 是其前 n 项的和 且 S5 S6 S6 S 7 S 8 则下列结论错误的是 A d 0 B a7 0 C S9 S 5 D S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 2 等差数列 a n 的前 m 项和为 30 前 2m 项和为 100 则它的前 3m 项 和为 A 130 B 170 C 210 D 260 解析 1 答案 C 由 S5 S6 得 a1 a2 a3 a50 又 S6 S7 a 1 a2 a6 a1 a2 a6 a7 a 7 0 由 S7 S8 得 a8S5 即 a6 a7 a8 a9 0 2 a 7 a8 0 由题设 a7 0 a 8 0 显然 C 选项是错误的 2 答案 C 解法一 由题意得方程组 102 31dma 视 m 为已知数 解得 212 0 4mad 2104 3 3 32113 maS 解法二 设前 m 项的和为 b1 第 m 1 到 2m 项之和为 b2 第 2m 1 到 3m 项之和为 b3 则 b1 b 2 b 3 也成等差数列 于是 b1 30 b 2 100 30 70 公差 d 70 30 40 b 3 b2 d 70 40 110 前 3m 项之和 S3m b1 b2 b3 210 解法三 取 m 1 则 a1 S1 30 a 2 S2 S 1 70 从而 d a2 a 1 40 于是 a3 a2 d 70 40 110 S 3 a1 a2 a3 210 点评 本题考查等差数列的基本知识 及灵活运用等差数列解决问题的能 力 解法二中是利用构造新数列研究问题 等比数列也有类似性质 解法三中 从题给选择支获得的信息可知 对任意变化的自然数 m 题给数列前 3m 项的 和是与 m 无关的不变量 在含有某种变化过程的数学问题 利用不变量的思想 求解 立竿见影 例 14 在 XOY 平面上有一点列 P1 a 1 b 1 P 2 a 2 b 2 P n a n b n 对每个自然数 n 点 Pn 位于函数 y 2000 10a x 0 a 10 的图象上 且点 Pn 点 n 0 与点 n 1 0 构成一个以 Pn 为顶点的等腰三角形 求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式 若对每个自然数 n 以 bn b n 1 b n 2 为边长能构成一个三角形 求 a 的取值范围 理 设 Bn b 1 b 2 bn n N 若 a 取 中确定的范围内的 最小整数 求数列 B n 的最大项的项数 文 设 cn lg b n n N 若 a 取 中确定的范围内的最小整数 问数列 c n 前多少项的和最大 试说明理由 解析 解 由题意 an n 21 b n 2000 10a 2 1 n 函数 y 2000 0 x 0 a 10 递减 对每个自然数 n 有 bn b n 1 b n 2 则以 bn b n 1 b n 2 为边长能构成一个三角形的充要条件是 bn 2 bn 1 bn 即 0a 2 1 0 解得 a 5 1 5 或 a 5 1 5 1 a 10 理 5 1 a 10 a 7 b n 2000 07 2 n 数列 b n 是一个递减的正数数列 对每个自然数 n 2 B n b nBn 1 于是当 bn 1 时 B n B n 1 当 bn 1 时 B n B n 1 因此 数列 B n 的最大项的项数 n 满足不等式 bn 1 且 bn 1 1 由 bn 2000 07 2 1 1 得 n 20 8 n 20 文 5 5 1 a 10 a 7 b n 2000 107 2 1 n 于是 cn lg 2000 07 2 1 n 3 lg 2 n lg0 7 数列 c n 是一个递减的等差数列 因此 当且仅当 cn 0 且 cn 1 0 时 数列 c n 的前 n 项的和最大 由 cn 3 lg2 n 2 lg0 7 0 得 n 20 8 n 20 点评 本题主要考查函数的解析式 函数的性质 解不等式 等差 等比 数列的有关知识 及等价转化 数形结合等数学思想方法 五 思维总结 1 数列的知识要点 1 数列是特殊的函数 数列是定义在自然数集 N 或它的有限子集 1 2 3 n 上的函数 f n 当自变量从小到大依次取值时对应 的一列函数值 f 1 f 2 f 3 f n 数列的图象是由一群孤 立的点构成的 2 对于数列的通项公式要掌握 已知数列的通项公式 就可以求出数 列的各项 根据数列的前几项 写出数列的一个通项公式 这是一个难点 在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况 分解所给数列的前几项 看看这几项的分解中 哪些部分是变化的 哪些是不变的 再探索各项中变化 部分与序号的联系 从而归纳出构成数列的规律 写出通项公式 一个数列 还可以用递推公式来表示 在数列 a n 中 前 n 项和 Sn 与通项公式 an 的 关系 是本讲内容一个重点 要认真掌握之 即 an 2 11n 特别 要注意的是 若 a1 适合由 an S n S n 1 n 2 可得到的表达式 则 an 不必 表达成分段形式 可化统一为一个式子 2 等差数列的知识要点 1 等差数列定义 an 1 a n d 常数 n N 这是证明一个数列是等 差数列的依据 要防止仅由前若干项 如 a3 a 2 a2 a 1 d 常数 就说 a n 是等差数列这样的错误 判断一个数列是否是等差数列 还可由 an an 2 2 an 1 即 an 2 a n 1 a n 1 a n 来判断 2 等差数列的通项为 an a 1 n 1 d 可整理成 an a n a 1 d 当 d 0 时 a n 是关于 n 的一次式 它的图象是一条直线上 那么 n 为自然数 的点的集合 3 对于 A 是 a b 的等差中项 可以表示成 2 A a b 4 等差数列的前 n 项和公式 Sn 1n n na 1 d 可以整 理成 Sn 2dn2 1 当 d 0 时是 n 的一个常数项为 0 的二次式 5 等差数列的判定方法 定义法 对于数列 na 若 dan 1 常数 则数列 na是等差数列 等差中项 对于数列 n 若 212 nn 则数列 n是等差数列 3 等差数列的性质 1 在等差数列 na中 从第 2 项起 每一项是它相邻二项的等差中项 2 在等差数列 中 相隔等距离的项组成的数列是 AP 如 1a 3a 5 7 3 8 13 8a 3 在等差数列 na中 对任意 m nN nmad nmd 4 在等差数列 n中 若 p q 且 pq 则mnpqaa 5 说明 设数列 n是等差数列 且公差为 d 若项数为偶数 设 共有 2n项 则 S奇 偶 d 1nSa 奇偶 若项数为奇数 设 共有 1 项 则 偶 奇 na中 S 奇偶 6 1 10a d 时 nS有最大值 10 d 时 nS有最小值 2 nS 最值的求法 若已知 可用二次函数最值的求法 N 若已知na 则 n最值时 的值 nN 可如下确定 10na 或 1n