北京四中初二函数初步.doc

函数初步编 稿：龚剑均 审 稿：李岩 责 编：高伟知识要点梳理有关概念1.变量与常量.2.函数：变化与对应，存在和唯一.3.函数与函数值的区别.自变量的取值范围1.使函数解析式有意义：如整式可取任意实数；分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；0的0次幂无意义等.2.使实际问题有意义：如时间非负等.函数的表达形式1.解析式法 2.列表格 3.图象法，且三种表达形式可以相互转化.函数图象的画法1.描点法：列表描点连线.2.图象变换：平移、翻折.3.识图：观察图象，分析数据，发现规律.4.点在函数的图象上点的坐标满足解析式.经典例题分析类型一：有关变量与常量问题典型问题：问题1：汽车以60千米时的速度匀速行驶，行驶里程为千米，行驶时间为小时.请先填写下表：/时 1 2 3 4 5 6 /千米 用含的式子表示，则=_问题2：每张电影票的售价为10元，如果早场售出150张票，日场售出205张票，晚场售出310张票三场电影的票房收入分别为_、_、_元设一场电影售出张票，票房收入(元)，用含的式子表示，则_问题3：在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律，如果弹簧原长10，每1重物使弹簧伸长O.5，用含重物质量()的式子表示受力后的弹簧长度，则_问题4：要画一个面积为的圆，圆的半径应取_，若圆的面积为，则圆的半径应取_，用含圆面积的式子表示圆半径，则=_.问题5：用10长的绳子围成矩形，试改变矩形边的长度，观察矩形的面积如何变化，设矩形的长为，面积为，用含的式子表示，则=_.知识点探讨与归纳：根据上述问题，你发现了什么?这些问题反映了某一变化过程中，有些量是按某种规律变化的，有些量保持不变，而有些量的值随着一个量的值的改变而改变.因此，在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量，数值始终保持不变的量叫常量.特别地，是一个常数.巩固提高：练习1：分别写出下列各问题中的变量与常量：(1)球的表面积与球半径的关系式是.(2)以固定的速度抛出一个小球，小球的路程与小球运动的时间之间的关系式是.解：(1)、是变量，是常量 (2)、是变量，4，9是常量易错点：误认为是变量，其实是一固定的速度，是常量.练习2：下面表格记录了我国几个城市在2008年8月8日的最高气温天津 上海 福州 青岛 25 36 38 28 这不是表示两个变量之间关系的表格，请你根据影响气温的主要因素，把这个表格改为在一定程度上表示两个变量之间关系的表格，并回答下列问题.(1)这里的两个变量各是什么？(2)一个变量是怎么随另一个变量而变化的？分析： 影响气温的因素比较多，在通常情况下，季节和纬度对气温的影响更大些.在题目中，所给数据是几个沿海城市在同一天的最高气温，这几个城市都处于夏季，排除了季节对气温的影响，所以我们应该注意到纬度对这几个城市气温的影响.为此，可以查阅有关资料(或登录互联网)，明确所涉及到的几个沿海城市的纬度.解：(1)列表如下：纬度/度(北纬) 38 36 31 26 我国海边的最高气温/ 25 28 36 38 (2)这里的两个变量是纬度数和最高气温数；随着纬度数逐渐减小，最高气温逐渐升高.类型二：有关函数概念、函数值及其解析式的问题：典型问题：问题1：汽车离开站5以后以40的平均速度行驶了，汽车离开站所走的路程为()，填写如下表格：1 2 3 4 5 观察填出的表格，你会发现：每当行驶时间取定一个值，汽车离开站所走的路程就_问题2：小明用40元钱购买6元件的某种商品，考查他剩余的钱(元)与购买这种商品(件)的关系当时，_元，当时，_元可以看出，每当小明购买这种商品数量取定一个值时，他剩余的钱(元)就_，_问题3：如图1是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，则所用的火柴棍的根数与所摆图案的层数之间的关系可通过填表来探究 1 2 3 4 5 每当所摆图案的层数取定一个值时，所用火柴棍的根数就随之_，_.问题4：如图2所示是武汉地区十月某天24小时气温变化图看图回答下列问题： (1)这天的5时、13时和16时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，你能说出这一时刻的气温吗?(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低？(4)这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这天的气温变化规律的?知识点探讨与归纳：这些问题反映了在某一变化过程中的两个变量是互相联系的，当其中一个变量取一个值时，另一个变量就随之确定一个值.图表中对于一个变量的第一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的对应值.因此， 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，就说是自变量，是的函数。如果当时，那么叫做当自变量的值为时的函数值.巩固提高：练习1 ：公路上依次有、三个汽车站，上午8时，小明骑自行车从、两站之间离站8千米处出发，向站匀速前进，他骑车的速度是每小时16.5千米 (1)在小明骑车用去的时间与所走的路程这两个变量中，哪个变量取一确定值，另一变量就随之确定一个值?(2)设小明出发小时后，离A站的路程为千米，请写出与之间的关系式 (3)若、两站间的路程是26千米，、两站间的路程是15千米，那么小明在上午9时是否已经经过了站？ (4)小明大约在什么时间能够到达站? 分析：(1)小明骑车前进的速度是一个确定的值，他所走过的路程完全是由时间决定的，时间变化，所走过的路程也随着变化；(2)可以看作是如下两部分的和：一是小明在上午8时到A站的路程；二是他骑车所走的路程；(3)需要计算在上午9时小明所走过的路程，然后与、两站之间的路程进行比较；(4)需利用关系式求当为何值时，的值等于、两站之间的路程，也就是要解关于的方程解：(1)骑车时间取一确定值，所走过的路程就随之确定一个值 (2)与的关系式是：.(3)当时，所以在上午9时小明还没有经过站(4)根据题意，得 ，解得，即小明大约在上午10时到达站练习2：为了适应电化教学的需要，某学校新建了阶梯教室，教室的第一排有25个座位，后面每一排都比前一排多一个座位，若第排有个座位，教室共有个座位.(1)试求与，与之间的函数关系式；(2)若教室座位共安排15排，座位总数将达到多少个?分析：第二排比第一排多一个座位，第三排比第一排多两个座位，第排比第一排多个座位，就是第排的座位数.教室的座位的图形一定是一个梯形.如果把一个座位看成是一个单位，那么，第一排的座位数就是这个梯形的上底长，第排的座位数就是这个梯形的下底长，排数就是这个梯形的高.求座位数的实质就是求梯形的面积，根据梯形的面积公式即可类比写出与之间的函数关系式解：(1)， .(2)当时，.练习3：某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计算费用的方法计算电费.每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算费用，每月用电超过100度时，其中100度仍按原标准收费，超过部分按每度0.50元计算费用 (1)设月用电度时，应交电费元，写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围(2)小王家一月份用了125度电，应交电费多少元? (3)小王家三月份交纳电费45元6角，求小王家三月份用了多少度电?分析： 要求出电费与用电度数的函数关系，根据题意，要分两种情况，未超过100度和超过100度，所以本题有两个关于与的函数关系式.解：(1)当用电不超过100度时，与的函数关系式是： ，自变量的取值范围是：O100； 当用电超过100度时，与的函数关系式是： ， 自变量的取值范围是 即与的函数关系式为： .(2)小王家一月份用了125度电，超过了100度，则应交电费(元).(3)小王家三月份交纳电费45元6角小于57元，说明小王家三月份用电不超过100度，故由，得(度)，即小王家三月份用了80度电类型三：有关函数的实际应用问题：典型问题问题1：小华骑自行车到外的小镇，骑车的速度和时间的函数关系式为，其中自变量的取值范围是_，自变量取一个确定值，则函数有唯一确定的值与它对应若以的值为横坐标，的值为纵坐标，则在平面直角坐标系内确定了一个点(，)，则这样的点有_个，下面列举一些，的对应值1 2 3 4 5 如图3，在平面直角坐标系中，将上面表格中各对数值所对应的点画出. 问题2：如图4，它是西安市2005年某天气温随时间变化的曲线(图象).通过观察此图象能获得很多信息，你发现了哪些信息？(1)在图4所示的直角坐标系中，它的横轴是轴，表示时间，它的纵轴是轴，表示气温这一气温曲线实际给出了某天的气温()与时间(时)的函数关系，从图中可以发现下午14时的气温是_ ，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是_，即=_时，对应的函数值=_(2)这一天_时的气温最高，达到_，而_时的气温最低，为_(3)从0时至24时的气温变化情况是_(4)你能从图象中看出这一天中任何时刻的气温大约是多少吗? 图 4知识点探讨与归纳：在问题1中，连接坐标系中的各点(用光滑曲线)，所得曲线上的每一个点与、的值有什么关系？可以发现表示与的对应值分别用坐标系中的一个点的横、纵坐标分别来表示，这种表示对应关系的点有无数个，在实际中往往只能描出其中的几个，连接各点，所得到的曲线能清晰地反映出函数关系.在问题2中，函数的图象直观地反映了两个变量之间的对应关系，从图中读取信息的关键是弄清图象上的点的意义即横坐标与纵坐标的意义巩固提高练习1：如图5表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，她9点离开家，15点回家，请根据图象回答下列问题：(1)玲玲到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?(2)她何时开始第一次休息?休息多长时间?(3)第一次休息时，离家多远?(4)11：00到12：00她骑了多少千米?(5)她在9：0010：00和10：0010：30的平均速度各是多少?(6)她在何时至何时停止前进并休息用午餐?(7)她在停止前进后返回，骑了多少千米回到家?(8)返回时的平均速度是多少?分析： 玲玲骑自行车离家的距离是时间的函数，从图象中线段和与轴平行，表明这两段时间她在休息，通过读图可分别求解各问题解：(1)由图象知，玲玲到达离家最远的地方是12点，离家30千米(2)由线段平行于轴知，10：30开始休息，休息半个小时(3)第一次休息时离家17千米(4)从纵坐标看出，11：00到12：00，她骑了13千米(30-17=13)(5)由图象知，9：0010：00共走了10千米，速度为10千米时，10：0010：30共走了7千米，速度为14千米时(6)她在12：0013：00时停止前进并休息用午餐(7)她在停止前进后返回，骑了30千米回到家(离家0千米)(8)返回时的路程为30千米，时间为2小时，故返回时的平均速度是15千米时归纳：如图6，在表示速度与时间的函数图象中，表示物体从0开始加速运动，代表物体匀速运动，代表物体减速运动到停止如图7，在表示路程与时间的函数图象中，代表物体匀速运动，代表物体停止运动，代表物体反向运动直至回到原地练习2：幸福村村办工厂今年前五个月生产某种产品的总量(件)关于时间(月)的函数图象如图8所示，甲、乙、丙、丁四位同学发现了如下信息： 甲：1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产总量逐月减少 乙；1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产量与3月持平丙：1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月均停止生产丁：1月至3月每月生产总量不变，4，5两月均停止生产分析：这里要分别弄清，的实际意义，时间，总量，单位：件，它是一个累计值，而不是某一个月的生产总量，观察图象可知：13月份表示总量的纵坐标在增加，且增加的幅度相同，说明13月每月的生产总量是一样的，45月份表示的纵坐标没有改变，说明总量没有增加，故可视为停止生产，因此丁同学正确练习3：一列火车在行驶过程中，速度随时间的变化情况如图9所示(1)速度的最高值为多少? 它在最高时速运行多长时间?(2)火车在哪几段时间里是保持匀速的?(3)火车在哪几段时间里是加速行驶的? 哪几段是减速行驶的?(4)在第5到第6小时之间火车是怎样的运动情况?(5)简要说明火车的运行情况解：(1)从图象上看，火车运行的最高时速为110千米时，在这个时速里，共运行了3个小时(2)火车在1时至4时，7时至10时，11时至13时之间保持匀速行驶(3)火车在0时至1时，6时至7时是加速行驶，在4时至5时，10时至11时，13时至14时之间均是减速行驶(4)在第5时至第6时之间火车停止运行，保持静止状态(5)火车的运行情况可以归结为：在0至1时之间加速行驶，达到时速为60千米时后，保持匀速运动，运动3小时后又减速行驶，恰在第5时到达一个中间站，在此停留1个小时后，又加速行驶，至第7小时到达最高时速为110千米时，保持这个高速行驶了3小时后，于第10小时开始减速，当减速1小时后以90千米时速度又运行了2小时，在第13时开始又减速行驶，于第14时到达目的地