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111.1任意角宁远县第二中学高一数学备课组 ZCH三维目标1知识与技能(1)理解任意角(正角、负角、零角)的概念、象限角与区间角的概念(2)掌握终边相同角的表示方法，会用角的集合表示一些实际问题中的角2过程与方法借助于角、直角坐标系和单位圆等工具来引导学生了解任意角的概念，引导学生用数形结合的思想方法来认识问题3情感、态度与价值观(1)通过对角的概念的探究提高学生的推理能力(2)通过本节学习和运用实践，培养学生应用意识，体会数学的应用价值重点、难点重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写教学建议 首先通过实际问题(拨手表、体操中的转体、齿轮旋转等)引出角的概念的推广问题，引发学生的认知冲突，然后用具体例子，将初中学过的角和概念推广到任意角，在此基础上引出终边相同的角的集合的概念这样可以使学生在自己已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念课前自主导学课标解读1.了解任意角的概念2理解终边相同角的含义及其表示(重点)知识一：任意角【问题导思】将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？【提示】有顺时针和逆时针两种旋转方向1定义角可以看成是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2分类正角、负角与零角正角：按逆时针方向旋转形成的角；负角：按顺时针方向旋转形成的角；零角：一条射线没有作任何旋转形成的角知识二：象限角【问题导思】把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？【提示】终边可能落在坐标轴上或四个象限内在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合象限角：终边在第几象限就是第几象限角；轴线角：终边落在坐标轴上的角知识三：终边相同的角【问题导思】30，390，750，30k360(kZ)的角的终边有什么关系？【提示】相同所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和课堂互动探究类型一：角的概念例1：下列命题第一象限角一定不是负角；第二象限角大于第一象限角；第二象限角是钝角；小于180的角是钝角、直角或锐角其中不正确的序号为_【思路探究】解答本题可根据角的大小特征，位置特征进行判断【自主解答】330角是第一象限角，但它是负角，所以不正确120角是第二象限角，390角是第一象限角，显然390120，所以不正确480角是第二象限角，但它不是钝角，所以不正确0角是小于180角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故不正确【答案】规律方法1解决此类问题关键在于正确理解象限角及锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别2判断结论正确与否时，若要说明结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可变式训练下列说法正确的是()A锐角是第一象限角B钝角比第三象限角小C三角形的内角必为第一、二象限角D小于90的角都是锐角【解析】100是第三象限角，但10090，故B错；90角是直角三角形的内角，但它既不在第一象限，也不在第二象限，故C错；30小于90，不是锐角，故D错【答案】A类型二：终边相同的角例2：已知角2 010(1)把改写成k360(kZ,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与终边相同，且360720.【思路探究】先求出，判断角所在的象限，用终边相同的角表示满足的不等关系，求出k和.【自主解答】(1)由2 010除以360，得商为5，余数为210.取k5，210，5360210.又210是第三象限角，为第三象限角(2)与2 010终边相同的角：k3602 010(kZ)令360k3602 010720(kZ)，解得6k3(kZ)所以k6，5，4.将k的值代入k3602 010中，得角的值为150，210，570.规律方法1把任意角化为k360(kZ且0360)的形式，关键是确定k.可以用观察法(的绝对值较小)也可用除法2要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值互动探究若将例题中“角2 010”，改为“315”，其他条件不变，结果如何？【解】(1)用315除以360商为1，余数为45，k1，45，因此36045，是第一象限角(2)与315终边相同的角：k360315(kZ)，令360k360315720(kZ)，解得k(kZ)，所以k0,1,2.将k值代入k360315中，得所求角为315，45和405.类型三：象限角与区域角的表示例3：如图111，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是()图111A|k36030k36045，kZB|k180150k180225，kZC|k360150k360225，kZD|k36030k18045，kZ【思路探究】找出0360内阴影部分的角的集合适合题意的角的集合【自主解答】在0360内落在阴影部分角的范围为大于150而小于225，所以在终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为|k360150k360225，kZ【答案】C规律方法1先在360360范围内确定区域角起止边界处角，再把端点处加上360的整数倍即得2区域角的表示问题，遵循先从特殊再到一般的规律写出，即先选择一个合适的角度为360区间，写出落在阴影部分的角的集合，然后再在端点处加上周角的整数倍表示终边落在阴影区域内的角的集合注意结果尽量表示为一个连续区间变式训练写出下图112中阴影部分(不含边界)表示的角的集合图112【解】在180180内落在阴影部分角集合为大于45小于45，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角集合为|45k36045k360，kZ易错典例忽视象限角范围致误典例：若是第二象限角，试确定2、是第几象限角【错解】由题意得90180，所以有1802360，4590.故有2为第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上角，为第一象限角【错因分析】致错原因是把是第二象限角范围误认为是大于90而小于180，而应是|90k360180k360，kZ才完整【防范措施】正确理解象限角的含义及范围是避免此类错误的关键【正解】(1)由题意得90k360180k360(kZ)，1802k36023602k360(kZ)故2是第三或第四象限角或终边落在y轴非正半轴上的角(2)由得45k18090k180(kZ)，当k为偶数时，令k2n(nZ)，得45n36090n360(nZ)，故是第一象限角当k为奇数时，令k2n1(nZ)得45180n36090180n360(nZ)，即225n360270n360(nZ)，故为第三象限角综上可知为第一或第三象限角课堂小结1理解任意角的概念要抓住四个要素：顶点、始边、终边和射线的旋转方向2象限角的确定依赖于角的终边位置的确定，要注意对表达式中的k进行分类讨论，以确定角的终边的位置3熟练掌握终边相同的角的公式及应用，明确象限角的概念与内涵是解题的依据当堂双基达标1将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120所得的角为()A120B120C60 D240【解析】由于射线OM绕O逆时针旋转，故所得角为正角120.【答案】A2(2013开封高一检测)下列各角中，与角330的终边相同的角是()A510 B150C150 D390【解析】与330终边相同的角的集合为S|330k360，kZ，当k2时，330720390，故选D.【答案】D3将885化为k360(0360，kZ)的形式是_【解析】8851080195(3)360195.【答案】195(3)3604如果为小于360的正角，的4倍角的终边与的终边重合，求的值【解】依题意4k360，且0360，k120.取k1或k2，120或240.课后检测一、选择题1已知A第一象限角，B锐角，C小于90的角，那么A、B、C关系是()ABACBBCCCAC DABC【解析】锐角大于0小于90，故CB，选项B正确【答案】B2把1 485转化为k360(0360，kZ)的形式是()A454360 B454360C455360 D3155360【解析】B、C选项中不在0360范围内，A选项的结果不是1 485，只有D正确【答案】D3若是第二象限角，则180是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D. 第四象限角【解析】可借助于取特殊值法，取120，则18012060.【答案】A4若与的终边互为反向延长线，则有()A180B180CD(2k1)180，kZ【解析】与的终边互为反向延长线，则两角的终边相差180的奇数倍，可得(2k1)180，kZ.【答案】D5以下命题正确的是()A第二象限角比第一象限角大BA|k180，kZ，B|k90，kZ，则ABC若k360k360180(kZ)，则为第一或第二象限角D终边在x轴上的角可表示为k360(kZ)【解析】A不正确，如21030.在B中，当k2n，kZ时，n180，nZ.AB，B正确又C中，为第一或第二象限角，或在y轴的非负半轴上，C不正确，显然D不正确【答案】B二、填空题6(2013哈尔滨高一检测)与2 002终边相同的最小正角是_【解析】与2 002终边相同的角的集合为|2 002k360，kZ，与2 002终边相同的最小正角是当k6时，2 0026360158.【答案】1587若将时钟拨慢5分钟，则分针转了_度，时针转了_度【解析】拨慢时针为逆时针形成正角，分针每分钟转过的度数为6，5分钟转过30，时针每分钟转过的度数为0.5，5分钟转过2.5.【答案】302.58(2013哈尔滨高一检测)在四个角20，400，2 000，600中，第四象限的角的个数是_【解析】20是第四象限的角；40036040，也是第四象限的角；2000(6)360160，是第二象限的角；600360240，是第三象限的角所以第四象限的角的个数是2个【答案】2个三、解答题9若角的终边和函数yx的图象重合，试写出角的集合【解】在0360范围内所对应的两个角分别为135和315，终边为yx的角的集合是|k360135，kZ|k360315，kZ|2k180135，kZ|(2k1)180135，kZ|k180135，kZ10在与530终边相同的角中，求满足下列条件的角(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)720到360的角【解】与530终边相同的角为k360530，kZ.(1)由360k3605300，且kZ可得k2，故所求的最大负角为190.(2)由0k360530360且kZ可得k1，故所求的最小正角为170.(3)由720k360530360且kZ得k3，故所求的角为550.11如图113所示图113(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合【解】(1)终边落在OA位置上的角的集合为|9045k360，kZ|135k360，kZ终边落在OB位置上的角的集合为|30k360，kZ(2)由题图可知，终边落在阴影部分(包括边界)角的集合是由大于或等于30而小于或等于135范围内的所有与之终边相同的角组成的集合，故终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为|30k360135k360，kZ【教师备课资源】象限角的判断典例已知是第一象限角，求2，所在的象限【解】是第一象限角，k360k36090，kZ.2k36022k360180，kZ，则2是第一或第二象限角，或是终边在y轴的正半轴上的角k180k18045，kZ.当k为偶数时，为第一象限角，当k为奇数时，为第三象限角，为第一或第三象限角k120k12030，kZ.当k3n(nZ)时，n360n36030，nZ，是第一象限角；当k3n1(nZ)时，n360120n360150，nZ，是第二象限角；当k3n2(nZ)时，n360240n360270，nZ，是第三象限角；为第一或第二或第三象限角规律方法1解决此类问题，要先确定的范围，进一步确出n或的范围，再根据k与n的关系进行讨论2一般地，要确定所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把4n个区域依次标上号码1、2、3、4，则标号是n的区域就是为第几象限时，的终边也可能落在区域变式训练若是第三象限角，则180是第几象限角？【解】是第三象限角，180k360270k360，kZ，270k360180k360，kZ，90k360180k360(kZ)180是第四象限角
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