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2012年马鞍山市高中毕业班第三次教学质量检测理科数学试题答案一、 选择题：题号12345678910答案BDBBACDCAD(1) 设全集U是实数集R，M = xx 2 ，N = xx 3 ，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A x2 x 3 B xx b，则 2 a 2 b 1” 的否命题为：“ 若a b，则 2 a 2 b 1 ” ； “ m 4 ) = 0.1587； 函数f (x) = 2sin (2x + )，对任意xR，都有f (x1) f (x) f (x2)，则x1 x 2的最小值为 . 其中正确的命题有 _（写出所有正确命题的序号） 【命题意图】本题考察常用逻辑用语、正态分布及三角函数的图象和性质 . 中档题 .三解答题： (16) （本题满分12分）已知中，角A、B、C的对边分别为，又，且的面积. （）求角A的取值范围；（）求函数的取值范围.【解】（）由得， 1分由得，于是， 又A是三角形的内角 5分（）得 7分9分 由（），所以 12分【命题意图】考查运用三角形中边角关系及余弦二倍角公式等知识进行三角求值的能力. 中档题 .(17) （本题满分12分）某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究.他们分别记录了3月1日至3月5日的每昼夜温差及每天30颗种子的发芽数，并得到如下资料：日 期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日参考数据：温差x（）101113129发芽数y（颗）1516171413（）请根据3月1日至3月5日的数据，求出y关于x的线性回归方程 ；据气象预报3月6日的昼夜温差为11，请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数（结果保留整数）；（）从3月1日至3月5日中任选2天，记种子发芽数超过15的天数为，求的概率分布列，并求其数学期望E和方差D .（参考公式：回归直线方程式，其中）【解】（）.1分 .2分 于是， 故所求线性回归方程为 4分当x=11时，y=15，即3月6日浸泡的30颗种子的发芽数约为15颗. . 6分（）=0、1、2，P(=0)= ，P(=1)=，P(=2)=012P .10分所以 E=，D= .12分【命题意图】考查学生运用统计图表提供的信息，求解回归直线方程，并据此预报可能实验结果，正确求解离散型随机变量的分布列及其数学期望及方差.(18) （本题满分12分）已知函数在处取得极值，其中为常数 . （）试确定的值；（）讨论函数的单调区间； （）若对任意，不等式 恒成立，求的取值范围【解】（）由题意知，因此，从而 .2分又对求导得由题意，因此，解得.4分（）由（I）知（），令，解得 .6分当时，；当时，因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.8分（）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值， 要使（）恒成立，只需.10分即，从而，解得或所以的取值范围为.12分【命题意图】考查学生运用导数工具解决函数相关问题的能力.（19）（本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，CDAB，AD = DC = BC = AB = a，E是AB的中点，将ADE沿DE折起，使点A到点P的位置，此时二面角PDEC的大小为120.（）求证：DEPC；（）求直线PD与平面BCDE所成角的正弦值；（）求点D到平面PBC的距离.EDCFP第（19）题图BA【解】() 在图1中，由题设可知，ADE为正三角形，四边形ADCE为菱形，连接AC交DE于F，则ACDE，且F为DE中点，故折叠后的图19-2中PFDE，CFDE，DE面PCF，且PFC=120，从而DEPC4分() 作POCF于O，连接DO，由(1)知，PODE，所以PO面BCDE，故PDO即为所求线面角. 6分PD = a，PF=，又PFC=120，PO=PFsin60=，RtOPD中，sinPDO=.8分() 在面PCF内作FGPC交于G，依题可知DE面PBC，所以D、F到平面PBC的距离相等，由()知DE面PCF，FGDE，又DEBC，FGBC，故FG面PBC，即FG的长即为点D到平面PBC的距离. 10分在等腰PCF中，PF=CF=，PFC=120，FG=13分解法二：向量解法，本题亦可建立空间直角坐标系，利用空间向量解决，如以图19-2中的点O为原点，以 ，分别为Oy轴、Oz轴的方向向量建立坐标系 . EyxOAF-1P (t , 1)第（20）题图【命题意图】考查学生论证空间元素之间位置关系及空间特征量计算的能力. （20）（本题满分13分）如图，已知A ( 0 , 1 )，P（t , 1 ) ( 2 t 2 )，线段AP的垂直平分线交y轴于点E， 点M满足 = + . （）求点M的轨迹方程； （）若点F ( 0 , )，过F的直线l交点M的轨迹于Q、R两点 , 且 = , 求实数的取值范围 . 【解】（）依题意，设M（x，y）.当t = 0时，点M与点E重合于原点O，则M（0，0）， . 1分当t 0时，线段AP的垂直平线方程为：y = ( x ) 令x = 0 , 得y = , 即E ( 0 , ) . 3分 由 = + 得（x , y ) = ( 0 , 1 ) + ( t , 1 ) . 所以 ，消去t, 得x2 = 4y，. 5分显然，点（0, 0 ) 也适合该式，故点M的轨迹方程为x2 = 4y ( 2 x 2). 6分 （）设l : y = kx ( k ) , 代入x2 = 4y 得x2 + 4kx 2 = 0. 设Q（x1, y1）、R（x2, y2），则. 9分=得,消去，得 . 10分，即 12分解得 . 13分【命题意图】考查学生在向量条件下动点轨迹的求解及参数范围的确定 . （21）（本题满分13分）已知函数f (x) = ，数列an 满足a1 = 1，a n+1 =，nN*. （）求数列an的通项公式；（）令Tn = a1a2 a2a3 + a3a4 a4a5 + + a2n 1 a2n a2n a2n+1，求Tn；（）令 ( n 2 )，b1 = 3，Sn = b1 + b2 + + bn，若Sn 对一切nN*成立，求最小正整数m . 【解】()f (x)=，an+1=+an，. 2分an是以为公差的等差数列，而a1=1，an=+. 4分() 由()知，Tn= a1a2 a2a3 + a3a4 a4a5 + a2n-1a2n a2na2n+1 = a2 (a1 a3)+a4 (a3 a5)+a2n(a2n-1 a2n+1)= (a2+a4+a2n) = = (2n2+3n) 8分() 当n 2时，= = ， 9分又b1=3=，Sn= b1 + b2 + bn = = ， Sn 对一切nN*成立，即恒成立，而=关于n递增，且，12分 ，即m 2012，最小正整数m = 2012.13分【命题意图】考查学生由递推关系确定数列通项关系的能力，运用分类讨论的思想方法及函数单调性进行数列求和，确定所含参数的取值范围
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