高三第一轮复习数学空间向量的坐标运算.doc

高三第一轮复习数学-空间向量的坐标运算一、教学目标：向量的坐标运算和建系意识二、教学重点：向量的坐标运算三、教学过程：（一）主要知识：1空间直角坐标在空间选定一点O和一个单位正交基底，j，k，以点O为原点，分别以，j，k的正方向建立三条坐标轴： x轴，y轴，z轴，使xOy=135（或45），yOz=90，就建立了一个空间直角坐标系O-xyz。点O叫原点，j，k叫坐标向量，一般作右手直角坐标系。任一点A对应一个向量，存在唯一的实数组x、y、z. x+y j+z k. 记为A（x、y、z）,叫空间直角坐标系中的坐标。其中x叫点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标2向量的直角坐标运算（1）设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则a+b=( a1 +b1 ，a2 +b2，a3+b3) a-b=( a1 -b1 ，a2 -b2，a3-b3)a=（a1，a2，a3）（R） ab=a1b1+a2b2+a3b3ab a1 =b1 ，a2=b2，a3=b3（R） ab a1b1+ a2b2 +a3b3=0（2）设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则（b1，b2，b3）-（a1，a2，a3）=( b1 -a1 ，b2-a2，b3-a3)。即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。3夹角和距离公式设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则 ab= a1b1+a2 b2+a3b3 已知，则 为空间两点间距离公式4如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记为如果，那么向量a叫做平面的法向量5. 设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则AB中点坐标为6.向量位置与立体几何中位置对照:AB/CD 证A、B、C、D四点共面可通过证 线线角即为两向量的夹角或其补角线面角即为线所在向量与面的法向量的夹角的余角或再减900面面角即为两面的法向量的夹角或其补角 距离可通过求在法向量上投影的长度得到（二）例题分析：例1（1） 已知直角坐标系内三点A（2，4，1），B（3，7，5），C（4，10，9），判断A、B、C三点是否共线？ （2）已知直角坐标系内四点A（2，3，1），B（4，1，-2），C（6，3，7），D（-5，4，8），判断A、B、C、D四点是否共线？解：（1）可见共线，即A,B,C三点共线。（2）则 由（1）（2）解得x=代入（3）式不成立，故方程组无解，即不存在x,y使成立，故A、B、C、D四点为共面。例2 已知=（cos,1,sin）,=(sin,1,cos),则向量+与-的夹角是（ ）A900 B600 C300 D00解1： =，故（+）（-）=2-2=2-2=0，故（+）（-） 选A解2：+=（sin+cos,2,sin+cos）-=(cos-sin,0,sin-cos) 故+，-=900 选A例3 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为。求AC1与侧面ABB1A1所成角。解1：以A为坐标原点O，以AB所在直线为Oy轴，以AA1所在直线为Oz轴，以经过原点且与平面ABB1A1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系，由已知条件，得A（0，0，0），B（0,a,0）,A1(0,0,取A1B1的中点M，得M（，所以=，=（0,a,0）,= (，因为。=0，。=0，所以MC1面ABB1A1，所以AC1与AM所成角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角。因为=，=，。=0+，所以，所以，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为300解2：设面侧面ABB1A1的法向量为，则=（1，0，0），又=，与的夹角余弦值为，故与的夹角为1200，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为300例4 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，设AB=a,BC=b,PA=c.(1)求证：MNAB。（2）平面PDC和平面ABCD所成的二面角为，当为何值时（与a,b,c无关），MN是直线AB与PC的公垂线段。解：（1）建立如图空间直角坐标系，由已知条件得A（0，0，0），B（a,0,0）,M(a/2,0,0),N(a/2,a/2,a/2).所以，=（a,0,0），=（0,b/2,c/2）, 。=0，因此ABMN。（2）因为PA面ABCD，CDAD，所以PDCD，PDA是平面PDC与平面ABCD所成角，即PDA=。由（1）知，P（0，0，c）,C(a,b,0),=(a,b,-c).由于MNAB，因此MN是AB、PC公垂线MNPC。=0+，所以当且仅当=450时，MN是直线AB与PC的公垂线段。例5 在直三棱柱ABC-A1B1C1K 中，ABC=900，BC=2，CC1=4,点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。（1）求证B1D平面ABD。（2）求证：面EGF/面ABD。（3）面EGF与面ABD的距离。解：（1）建立如图空间直角坐标系，由已知条件得B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4）。设BA=a,则A（a,0,0）.所以=（a,0,0）,=(0,2,2),=(0,2,-2). .=0.=0+4-4=0,所以，B1DBA，B1DBD，因此B1D平面ABD。（2）由E、F、G的定义知，E（0，0，3），G（a/2，1，4），F（0，1，4）.所以=（a/2，1，1），=（0，1，1），。=0+2-2=0，。=0+2-2=0。所以B1DEG，B1DEF，B1D平面EFG，结合（1）可知面EGF/面ABD。（3）由（1）（2）知=（0，1，4），=(0,2,-2)是平面ABD的法向量，所以在上的射影长=。所以F到平面ABD的距离为。由（2）知，面EFG与面ABD的距离=点F到面ABD的距离=。（三）巩固练习：1、已知a=（2，-3，5），b=（-3，1，-4）求a+b, a-b ,8 a ,ab.解：a+b=(-1,-2,1) , a-b =(5,-4,9), 8 a =(16,-24,40), ab= -29.2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1，E,F分别是BB1、CD的中点，求证D1F平面ADE证明：设正方体的棱长为1，设以，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系D-xyz，则ABDzyxEA1B1C1D1FC ADAE=Axyoz, ,ABzcxyED4、（2000高考，上海）在四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角大小为arccos,求四面体ABCD的体积.解：建立坐标系如图，有又z0，四、小结：运用空间向量的坐标运算解决几何问题时，首先要恰当建立空间直角坐标系，订算出相关的点的坐标，进而写出向量的坐标，再结合公式进行论证、计算，最后转化为几何结论。五、作业：