十年高考立体几何.doc

立体几何1.（江苏2004年5分）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】C。【考点】球的体积。【分析】利用条件：球心到这个平面的距离是4cm、截面圆的半径、球的半径、求出球的半径，然后求出球的体积：一平面截一球得到直径是6cm的圆面，就是小圆的直径为6，又球心到这个平面的距离是4cm，球的半径是：5cm。球的体积是：（cm3）。故选C。2.（江苏2005年5分）在正三棱柱中，若AB=2，则点A到平面的距离为【 】A B C D【答案】B。【考点】棱柱的结构特征，点到平面的距离。【分析】过点A作ADBC于点D，连接A1D，过点A作AD面A1BC于点E，则点E在A1D上，AE即为点A到平面的距离。 在RtACD中，AC=2，CD=1，AD=。 在RtA1DA中，AD=，tanA1DA=。A1DA=300。 在RtADE中，AE=ADsin300=。故选B。3.（江苏2005年5分）设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是 【 】A1 B2 C3 D4【答案】B。【考点】平面与平面之间的位置关系，空中间直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系。【分析】由空间中面面平面关系的判定方法，线面平等的判定方法及线面平行的性质定理，逐一对四个答案进行分析，即可得到答案：若，则与可能平行也可能相交，故错误；由于m，n不一定相交，故不一定成立，故错误；由面面平行的性质定理，易得正确；由线面平行的性质定理，我们易得正确。故选B。4.（江苏2006年5分）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有【 】（A）1个（B）2个（C）3个（D）无穷多个【答案】D。【考点】正四棱锥的体积。【分析】由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积.问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，易知无穷多个。故选D。5.（江苏2007年5分）正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为，则点A到侧面PBC的距离是.【答案】。【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角。【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段。如图所示：设P在底面ABC上的射影为O，则PO平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心。BCAM，BCPO，POAM=O。BC平面APM。又BC平面ABC，平面ABC平面APM。又平面ABC平面APM=PM，A到侧面PBC的距离即为APM中PM边上的高。设底面边长为，则AM=，由侧棱与底面所成角为和PO=2，得，。设侧棱为，则等腰直角三角形的性质，得。则在RtPBC中，BM=，PB=，由勾股定理，得PM=。由面积法得A到侧面PBC的距离 。6.（江苏2009年5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【答案】1：8。【考点】类比的方法。【分析】在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：22，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：23。7.（江苏2009年5分）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.【答案】(1)(2)。【考点】立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。【分析】由面面平行的判定定理可知，（1）正确；由线面平行的判定定理可知，（2）正确；对于（3）来说，内直线只垂直于和的交线，得不到其是的垂线，故也得不出；对于（4）来说，只有和内的两条相交直线垂直，才能得到，也就是说当垂直于内的两条平行直线的话，不一定垂直于。8. （2012年江苏省5分）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱锥的体积为。9、（2013江苏卷8）8如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 。答案： 8 1.（江苏2004年12分）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；B1PACDA1C1D1BOH()设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离.【答案】解：（I）连接BP。AB平面BCC1B1，AP与平面BCC1B1所成的角就是APB。CC1=4CP，CC1=4，CP=1。在RtPBC中，PCB为直角，BC=4，CP=1，BP=。在RtAPB中，ABP为直角，tanAPB=，APB=。()证明：由已知OH面APD1，OHAP。连接B1D1，由于O是上底面的中心，故OB1D1。由正方体的性质知B1D1面AA1C1C，又AP面AA1C1C，B1D1AP。又B1D1OH=O，AP面D1OH。D1HAP。() 点P到平面ABD1的距离，即点P到平面ABC1D1的距离，连接BC1，过点P作PQBC1于点Q， 则PQ即为点P到平面ABD1的距离。C1P=3，BC=4，BC1=，由C1PQC1BC，得，即。，即点P到面ABD1的距离为。【考点】直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算。【分析】（）由题设条件，连接BP，即可得出AP与平面BCC1B1所成的角为PAC，由勾股定理求出BP，即可求出tanAPB，从而求得APB。（）要证D1HAP，只要证AP垂直于D1H所在的平面D1OH。一方面OHAP，另一方面B1D1AP。从而得证。（）连接BC1，过点P作PQBC1于点Q， 则PQ即为点P到平面ABD1的距离。由勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求出PQ，即点P到平面ABD1的距离。2.（江苏2005年14分）如图，在五棱锥SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；（4分）证明：BC平面SAB；（4分）用反三角函数值表示二面角BSCD的大小（本小问不必写出解答过程）（4分）【答案】解：连接BE，延长BC、ED交于点F，则DCF=CDF=600，CDF为正三角形，CF=DF。又BC=DE，BF=EF。BFE为正三角形。FBE=FCD=600。BE/CD。SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角。SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=。同理SE=。又BAE=1200，BE=。cosSBE=。SBE=arccos。异面直线CD与SB所成的角是arccos。由题意，ABE为等腰三角形，BAE=1200，ABE=300。又FBE =600，ABC=900。BCBA。SA底面ABCDE，BC底面ABCDE，SABC，又SABA=A。BC平面SAB。二面角B-SC-D的大小。【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】（1）连接BE，延长BC、ED交于点F，根据线面所成角的定义可知SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角，然后在三角形SBE中求出此角即可。（2）欲证BC平面SAB，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面SAB内两相交直线垂直，而BCBA，SABC，又SABA=A，满足定理所需条件。（3）二面角，可利用空间向量法求解更方便。3.（江苏2006年14分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（4分）（）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（5分）（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）（5分）图1图2【答案】解：不妨设正三角形ABC的边长为3。 （）证：在图1中，取BE中点D，连结DF，则AE：EB=CF：FA=1：2。AF=AD=2。而A=600 ，ADF是正三角形。又AE=DE=1，EFAD。在图2中，A1EEF，BEEF, A1EB为二面角A1EFB的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE，又，A1E平面BEF，即A1E平面BEP。（）在图2中，A1E不垂直A1B，A1E是平面A1BP的垂线。又A1E平面BEP，A1EBE。从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）。设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q。则E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角，且BPA1Q。在EBP中，BE=EP=2而EBP=600 ，EBP是等边三角形。又 A1E平面BEP ，A1B=A1P,，Q为BP的中点，且。又A1E=1，在RtA1EQ中，EA1Q=60o。直线A1E与平面A1BP所成的角为600。（）在图3中，过F作FM A1P于M，连结QM，QF。CP=CF=1，C=600,FCP是正三角形。PF=1。有，PF=PQ。A1E平面BEP， ，A1E=A1Q。A1FPA1QPA1PF=A1PQ。 由及MP为公共边知FMPQMP，QMP=FMP=90o，且MF=MQ。 FMQ为二面角BA1PF的平面角。 在RtA1QP中,A1Q=A1F=2，PQ=1，。又 MQA1P，。在FCQ中，FC=1，QC=2，C=600，由余弦定理得。在FMQ中，。 二面角BA1PF的大小为。【考点】直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，与二面角有关的立体几何综合题。【分析】本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。4.（江苏2007年12分）如图，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，且，（1）求证：E，B，F, 四点共面；（4分）（2）若点G在上，点M在上，垂足为H，求证：面；（4分）（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。（4分）【答案】解：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN是平行四边形，DF/CN。同理四边形DNEA是平行四边形，EN/AD，且EN=AD。又BC/AD，且AD=BC，EN/BC，EN=BC，四边形CNEB是平行四边形。CN/BE。DF/BE。E，B，F, 四点共面。（2），BCFMBG。，即。MB=1。AE=1，四边形ABME是矩形。EMBB。又平面ABBA平面BCCB，且EM在平面ABBA内，面。（3）面，BF，MH，。MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角。EMH=，ME=AB=3，BCFMHB。3：MH=BF：1。又BF=，MH=。=。【考点】平面的基本性质及推论，直线与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题。【分析】（1）四点共面问题通常我们将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理3的推论2、3可知它们共面。（2）求出MB的长度。在正方体中，易知AB面BCC1B1，所以欲证EM面BCC1B1，可以先证ABEM；或者也可以从平面ABB1A1平面BCC1B1入手去证明。（3）由第二问的证明可知，利用三垂线定理，MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角。6.（江苏2008年14分）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，点E，F分别是AB，BD的中点ABCDEF求证：（1）直线EF面ACD；（2）平面EFC面BCD【答案】证： （1）E，F分别是AB，BD的中点EF是ABD的中位线，EFAD。EF面ACD，AD面ACD，直线EF面ACD。（2）ADBD，EFAD，EFBD。CB=CD，F是BD的中点，CFBD。又EFCF=F，BD面EFC。BD面BCD，面EFC面BCD。【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定。【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EFAD，又EF面ACD，AD面ACD，满足定理条件。（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD面EFC，而BD面BCD，满足定理所需条件。8（江苏2009年14分）如图，在直三棱柱中，E，F分别是、的中点，点D在上，。求证：（1）EF平面ABC；（2）平面平面.【答案】证明：（1）E，F分别是A1B，A1C的中点，EFBC。又EF面ABC，BC面ABC，EF平面ABC。（2）直三棱柱，BB1面A1B1C1。BB1A1D。又A1DB1C，A1D面BB1C1C。又A1D面A1FD，平面A1FD平面BB1C1。【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定。【分析】（1）要证明EF平面ABC，证明EFBC即可。（2）证明平面平面，证明A1D面即可。10.（江苏2010年14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。(1) 求证：PCBC；(2) 求点A到平面PBC的距离。【答案】解：（1）证明：PD平面ABCD，BC平面ABCD，PDBC。由BCD=900，得CDBC。又PDDC=D，PD、DC平面PCD，BC平面PCD。PC平面PCD，PCBC。（2）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC平面PCD，平面PBC平面PCD于PC。PD=DC，PF=FC，DFPC。DF平面PBC于F。易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积空间想象能力、推理论证能力和运算能力。【分析】（1）要证明PCBC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90，容易证明BC平面PCD，从而得证。（2）注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求。还可以用等体积法求解：连接AC，则三棱锥P-ACB与三棱锥A-PBC体积相等，而三棱锥P-ACB体积易求，三棱锥A-PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求。11.（江苏2011年14分）如图，在四棱锥中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF/平面PCD；（2）平面BEF平面PAD.【答案】证明：(1) 在中，分别是的中点，又平面，PD平面，直线平面。(2)连结。，为等边三角形。分别是的中点，。平面平面，又，。又，平面平面。【考点】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系。【分析】（1）要证直线平面，只需证明，不在平面中，PD平面即可。（2）连接，证明，说明，得出，从而证明平面平面。13.（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面； （2）直线平面【答案】证明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。 又平面，平面平面。 （2），为的中点，。 又平面，且平面，。 又平面，平面。 由（1）知，平面，。 又平面平面，直线平面【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。 （2）要证直线平面，只要证平面上的即可。