十年高考立体几何.doc

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立体几何1.(江苏2004年5分)一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】C。【考点】球的体积。【分析】利用条件:球心到这个平面的距离是4cm、截面圆的半径、球的半径、求出球的半径,然后求出球的体积:一平面截一球得到直径是6cm的圆面,就是小圆的直径为6,又球心到这个平面的距离是4cm,球的半径是:5cm。球的体积是:(cm3)。故选C。2.(江苏2005年5分)在正三棱柱中,若AB=2,则点A到平面的距离为【 】A B C D【答案】B。【考点】棱柱的结构特征,点到平面的距离。【分析】过点A作ADBC于点D,连接A1D,过点A作AD面A1BC于点E,则点E在A1D上,AE即为点A到平面的距离。 在RtACD中,AC=2,CD=1,AD=。 在RtA1DA中,AD=,tanA1DA=。A1DA=300。 在RtADE中,AE=ADsin300=。故选B。3.(江苏2005年5分)设为两两不重合的平面,为两两不重合的直线,给出下列四个命题:若,则;若,则;若,则;若,则其中真命题的个数是 【 】A1 B2 C3 D4【答案】B。【考点】平面与平面之间的位置关系,空中间直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置关系。【分析】由空间中面面平面关系的判定方法,线面平等的判定方法及线面平行的性质定理,逐一对四个答案进行分析,即可得到答案:若,则与可能平行也可能相交,故错误;由于m,n不一定相交,故不一定成立,故错误;由面面平行的性质定理,易得正确;由线面平行的性质定理,我们易得正确。故选B。4.(江苏2006年5分)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有【 】(A)1个(B)2个(C)3个(D)无穷多个【答案】D。【考点】正四棱锥的体积。【分析】由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心,由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半,影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积.问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种,易知无穷多个。故选D。5.(江苏2007年5分)正三棱锥PABC高为2,侧棱与底面所成角为,则点A到侧面PBC的距离是.【答案】。【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面所成的角。【分析】在立体几何中,求点到平面的距离是一个常见的题型,同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本题采用的是“找垂面法”:即找(作)出一个过该点的平面与已知平面垂直,然后过该点作其交线的垂线,则得点到平面的垂线段。如图所示:设P在底面ABC上的射影为O,则PO平面ABC,PO=2,且O是三角形ABC的中心。BCAM,BCPO,POAM=O。BC平面APM。又BC平面ABC,平面ABC平面APM。又平面ABC平面APM=PM,A到侧面PBC的距离即为APM中PM边上的高。设底面边长为,则AM=,由侧棱与底面所成角为和PO=2,得,。设侧棱为,则等腰直角三角形的性质,得。则在RtPBC中,BM=,PB=,由勾股定理,得PM=。由面积法得A到侧面PBC的距离 。6.(江苏2009年5分)在平面上,若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为 .【答案】1:8。【考点】类比的方法。【分析】在平面上,若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:22,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为1:2,则它们的体积比为1:23。7.(江苏2009年5分)设和为不重合的两个平面,给出下列命题:(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线,则平行于;(2)若外一条直线与内的一条直线平行,则和平行;(3)设和相交于直线,若内有一条直线垂直于,则和垂直;(4)直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中,真命题的序号 (写出所有真命题的序号).【答案】(1)(2)。【考点】立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。【分析】由面面平行的判定定理可知,(1)正确;由线面平行的判定定理可知,(2)正确;对于(3)来说,内直线只垂直于和的交线,得不到其是的垂线,故也得不出;对于(4)来说,只有和内的两条相交直线垂直,才能得到,也就是说当垂直于内的两条平行直线的话,不一定垂直于。8. (2012年江苏省5分)如图,在长方体中,则四棱锥的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质,棱锥的体积。【解析】长方体底面是正方形,中 cm,边上的高是cm(它也是中上的高)。 四棱锥的体积为。9、(2013江苏卷8)8如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则 。答案: 8 1.(江苏2004年12分)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中心,点P在棱CC1上,且CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示);B1PACDA1C1D1BOH()设O点在平面D1AP上的射影是H,求证:D1HAP;()求点P到平面ABD1的距离.【答案】解:(I)连接BP。AB平面BCC1B1,AP与平面BCC1B1所成的角就是APB。CC1=4CP,CC1=4,CP=1。在RtPBC中,PCB为直角,BC=4,CP=1,BP=。在RtAPB中,ABP为直角,tanAPB=,APB=。()证明:由已知OH面APD1,OHAP。连接B1D1,由于O是上底面的中心,故OB1D1。由正方体的性质知B1D1面AA1C1C,又AP面AA1C1C,B1D1AP。又B1D1OH=O,AP面D1OH。D1HAP。() 点P到平面ABD1的距离,即点P到平面ABC1D1的距离,连接BC1,过点P作PQBC1于点Q, 则PQ即为点P到平面ABD1的距离。C1P=3,BC=4,BC1=,由C1PQC1BC,得,即。,即点P到面ABD1的距离为。【考点】直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算。【分析】()由题设条件,连接BP,即可得出AP与平面BCC1B1所成的角为PAC,由勾股定理求出BP,即可求出tanAPB,从而求得APB。()要证D1HAP,只要证AP垂直于D1H所在的平面D1OH。一方面OHAP,另一方面B1D1AP。从而得证。()连接BC1,过点P作PQBC1于点Q, 则PQ即为点P到平面ABD1的距离。由勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求出PQ,即点P到平面ABD1的距离。2.(江苏2005年14分)如图,在五棱锥SABCDE中,SA底面ABCDE,SA=AB=AE=2,求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示);(4分)证明:BC平面SAB;(4分)用反三角函数值表示二面角BSCD的大小(本小问不必写出解答过程)(4分)【答案】解:连接BE,延长BC、ED交于点F,则DCF=CDF=600,CDF为正三角形,CF=DF。又BC=DE,BF=EF。BFE为正三角形。FBE=FCD=600。BE/CD。SBE(或其补角)就是异面直线CD与SB所成的角。SA底面ABCDE,SA=AB=AE=2,SB=。同理SE=。又BAE=1200,BE=。cosSBE=。SBE=arccos。异面直线CD与SB所成的角是arccos。由题意,ABE为等腰三角形,BAE=1200,ABE=300。又FBE =600,ABC=900。BCBA。SA底面ABCDE,BC底面ABCDE,SABC,又SABA=A。BC平面SAB。二面角B-SC-D的大小。【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】(1)连接BE,延长BC、ED交于点F,根据线面所成角的定义可知SBE(或其补角)就是异面直线CD与SB所成的角,然后在三角形SBE中求出此角即可。(2)欲证BC平面SAB,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面SAB内两相交直线垂直,而BCBA,SABC,又SABA=A,满足定理所需条件。(3)二面角,可利用空间向量法求解更方便。3.(江苏2006年14分)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EBCF:FACP:PB1:2(如图1)。将AEF沿EF折起到的位置,使二面角A1EFB成直二面角,连结A1B、A1P(如图2)()求证:A1E平面BEP;(4分)()求直线A1E与平面A1BP所成角的大小;(5分)()求二面角BA1PF的大小(用反三角函数表示)(5分)图1图2【答案】解:不妨设正三角形ABC的边长为3。 ()证:在图1中,取BE中点D,连结DF,则AE:EB=CF:FA=1:2。AF=AD=2。而A=600 ,ADF是正三角形。又AE=DE=1,EFAD。在图2中,A1EEF,BEEF, A1EB为二面角A1EFB的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角,A1EBE,又,A1E平面BEF,即A1E平面BEP。()在图2中,A1E不垂直A1B,A1E是平面A1BP的垂线。又A1E平面BEP,A1EBE。从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影(三垂线定理的逆定理)。设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q。则E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BPA1Q。在EBP中,BE=EP=2而EBP=600 ,EBP是等边三角形。又 A1E平面BEP ,A1B=A1P,,Q为BP的中点,且。又A1E=1,在RtA1EQ中,EA1Q=60o。直线A1E与平面A1BP所成的角为600。()在图3中,过F作FM A1P于M,连结QM,QF。CP=CF=1,C=600,FCP是正三角形。PF=1。有,PF=PQ。A1E平面BEP, ,A1E=A1Q。A1FPA1QPA1PF=A1PQ。 由及MP为公共边知FMPQMP,QMP=FMP=90o,且MF=MQ。 FMQ为二面角BA1PF的平面角。 在RtA1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,。又 MQA1P,。在FCQ中,FC=1,QC=2,C=600,由余弦定理得。在FMQ中,。 二面角BA1PF的大小为。【考点】直线与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角,与二面角有关的立体几何综合题。【分析】本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识,以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等,考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。4.(江苏2007年12分)如图,已知是棱长为3的正方体,点E在上,点F在上,且,(1)求证:E,B,F, 四点共面;(4分)(2)若点G在上,点M在上,垂足为H,求证:面;(4分)(3)用表示截面和面所成锐二面角大小,求。(4分)【答案】解:(1)证明:在DD上取一点N使得DN=1,连接CN,EN,显然四边形CFDN是平行四边形,DF/CN。同理四边形DNEA是平行四边形,EN/AD,且EN=AD。又BC/AD,且AD=BC,EN/BC,EN=BC,四边形CNEB是平行四边形。CN/BE。DF/BE。E,B,F, 四点共面。(2),BCFMBG。,即。MB=1。AE=1,四边形ABME是矩形。EMBB。又平面ABBA平面BCCB,且EM在平面ABBA内,面。(3)面,BF,MH,。MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角。EMH=,ME=AB=3,BCFMHB。3:MH=BF:1。又BF=,MH=。=。【考点】平面的基本性质及推论,直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题。【分析】(1)四点共面问题通常我们将它们变成两条直线,然后证明这两条直线平行或相交,根据公理3的推论2、3可知它们共面。(2)求出MB的长度。在正方体中,易知AB面BCC1B1,所以欲证EM面BCC1B1,可以先证ABEM;或者也可以从平面ABB1A1平面BCC1B1入手去证明。(3)由第二问的证明可知,利用三垂线定理,MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角。6.(江苏2008年14分)如图,在四面体ABCD中,CB=CD,ADBD,点E,F分别是AB,BD的中点ABCDEF求证:(1)直线EF面ACD;(2)平面EFC面BCD【答案】证: (1)E,F分别是AB,BD的中点EF是ABD的中位线,EFAD。EF面ACD,AD面ACD,直线EF面ACD。(2)ADBD,EFAD,EFBD。CB=CD,F是BD的中点,CFBD。又EFCF=F,BD面EFC。BD面BCD,面EFC面BCD。【考点】直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定。【分析】(1)根据线面平行关系的判定定理,在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可,根据中位线可知EFAD,又EF面ACD,AD面ACD,满足定理条件。(2)需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直,由线面垂直推出面面垂直,根据线面垂直的判定定理可知BD面EFC,而BD面BCD,满足定理所需条件。8(江苏2009年14分)如图,在直三棱柱中,E,F分别是、的中点,点D在上,。求证:(1)EF平面ABC;(2)平面平面.【答案】证明:(1)E,F分别是A1B,A1C的中点,EFBC。又EF面ABC,BC面ABC,EF平面ABC。(2)直三棱柱,BB1面A1B1C1。BB1A1D。又A1DB1C,A1D面BB1C1C。又A1D面A1FD,平面A1FD平面BB1C1。【考点】直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定。【分析】(1)要证明EF平面ABC,证明EFBC即可。(2)证明平面平面,证明A1D面即可。10.(江苏2010年14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=900。(1) 求证:PCBC;(2) 求点A到平面PBC的距离。【答案】解:(1)证明:PD平面ABCD,BC平面ABCD,PDBC。由BCD=900,得CDBC。又PDDC=D,PD、DC平面PCD,BC平面PCD。PC平面PCD,PCBC。(2)分别取AB、PC的中点E、F,连DE、DF,则:易证DECB,DE平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由(1)知:BC平面PCD,平面PBC平面PCD于PC。PD=DC,PF=FC,DFPC。DF平面PBC于F。易知DF=,故点A到平面PBC的距离等于。【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系,几何体的体积空间想象能力、推理论证能力和运算能力。【分析】(1)要证明PCBC,可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面,由PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=90,容易证明BC平面PCD,从而得证。(2)注意到第一问证明的结论,取AB的中点E,容易证明DE平面PBC,点D、E到平面PBC的距离相等,而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍,由第一问证明的结论知平面PBC平面PCD,交线是PC,所以只求D到PC的距离即可,在等腰直角三角形PDC中易求。还可以用等体积法求解:连接AC,则三棱锥P-ACB与三棱锥A-PBC体积相等,而三棱锥P-ACB体积易求,三棱锥A-PBC的地面PBC的面积易求,其高即为点A到平面PBC的距离,设为h,则利用体积相等即求。11.(江苏2011年14分)如图,在四棱锥中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E、F分别是AP、AD的中点求证:(1)直线EF/平面PCD;(2)平面BEF平面PAD.【答案】证明:(1) 在中,分别是的中点,又平面,PD平面,直线平面。(2)连结。,为等边三角形。分别是的中点,。平面平面,又,。又,平面平面。【考点】直线与平面的位置关系,平面与平面的位置关系。【分析】(1)要证直线平面,只需证明,不在平面中,PD平面即可。(2)连接,证明,说明,得出,从而证明平面平面。13.(2012年江苏省14分)如图,在直三棱柱中,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点求证:(1)平面平面; (2)直线平面【答案】证明:(1)是直三棱柱,平面。 又平面,。 又平面,平面。 又平面,平面平面。 (2),为的中点,。 又平面,且平面,。 又平面,平面。 由(1)知,平面,。 又平面平面,直线平面【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。【解析】(1)要证平面平面,只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。 (2)要证直线平面,只要证平面上的即可。
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