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第七章不等式高考导航考试要求重难点击命题展望1.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3.二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；(2)了解二元一次不等式组的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4.基本不等式： (a，b0)(1)了解基本不等式的证明过程；(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.本章重点：1.用不等式的性质比较大小；2.简单不等式的解法；3.二元一次不等式组与简单的线性规划问题；4.基本不等式的应用.本章难点：1.含有参数不等式的解法；2.不等式的应用；3.线性规划的应用.不等式具有应用广泛、知识综合、能力复合等特点.高考考查时更多的是与函数、方程、数列、三角函数、解析几何、立体几何及实际应用问题相互交叉和综合，将不等式及其性质的运用渗透到这些问题的求解过程中进行考查.线性规划是数学应用的重要内容，高考中除考查线性规划问题的求解与应用外，也考查线性规划方法的迁移.知识网络7.1不等式的性质典例精析题型一比较大小【例1】已知a0，a1，Ploga(a3a1)，Qloga(a2a1)，试比较P与Q的大小.【解析】因为a3a1(a2a1)a2(a1)，当a1时，a3a1a2a1，PQ；当0a1时，a3a1a2a1，PQ；综上所述，a0，a1时，PQ.【点拨】作差比较法是比较两个实数大小的重要方法之一，其解题步骤为：作差；变形；判断符号；得出结论.【变式训练1】已知ma(a2)，nx2(x)，则m，n之间的大小关系为()A.mnB.mnC.mn D.mn【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.maa22224，而nx2()24.题型二确定取值范围【例2】已知，求，的取值范围.【解析】因为，所以，两式相加得.又，所以，又因为，所以0，所以0，综上，0为所求范围.【点拨】求含字母的数(式)的取值范围，一定要注意题设的条件，否则易出错，同时在变换过程中，要注意准确利用不等式的性质.【变式训练2】已知函数f(x)ax2c，且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范围.【解析】由已知4f(1)ac1，1f(2)4ac5.令f(3)9ac(ac)(4ac)，所以故f(3)(ac)(4ac)1,20.题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：ab0； ；bcad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式作等价变形:0.(1)由ab0，bcad0，即；(2)由ab0，0bcad0bcad，即；(3)由bcad0，0ab0，即.故可组成3个正确命题.【点拨】这是一类开放性问题，要求熟练掌握不等式的相关性质，并能对题目条件进行恰当的等价变形.【变式训练3】a、b、c、d均为实数，使不等式0和adbc都成立的一组值(a，b，c，d)是_(只要写出符合条件的一组即可).【解析】写出一个等比式子，如0.此时内项的积和外项的积相等，减小的分子，把上式变成不等式0，此时不符合adbc的条件，进行变换可得0，此时2(2)1(3).故(2,1，3，2)是符合要求的一组值.总结提高1.不等式中有关判断性命题，主要依据是不等式的概念和性质.一般地，要判断一个命题是真命题，必须严格证明.要判断一个命题是假命题，只要举出反例，或者由题设条件推出与结论相反的结果.在不等式证明和推理过程中，关键是要弄清每个性质的条件与结论及其逻辑关系，要注意条件的弱化与加强，不可想当然.如在应用ab0，ab这一性质时，不可弱化为ab，也不可强化为ab0.2.题设条件含有字母，而结论唯一确定的选择题，采用赋值法解答可事半功倍.3.比较大小的常用方法是作差比较法和作商比较法，变形是关键.7.2简单不等式的解法典例精析题型一一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)x22x30；(2)已知Ax|3x27x20，Bx|2x2x10，求AB，(RA)B.【解析】(1)方程两根为x11，x23，所以原不等式解集为x|x1或x3.(2)因为Ax|x2，RAx|x或x2，Bx|x或x1，所以ABx|x或x，(RA)Bx|x或x2.【点拨】一元二次不等式、一元二次方程及一元二次函数联系非常紧密，要注意转化，同时要熟练掌握一元二次不等式恒成立与对应方程的判别式的关系.对于0的不等式解集简称“大于取两端，小于取中间”.【变式训练1】设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，则关于x的不等式f(x)1的解集为()A.(，31，)B.3，1C.3，1(0，)D.3，)【解析】选C.由已知对x0时f(x)x2bxc，且f(4)f(0)，知其对称轴为x2，故2b4.又f(2)0，代入得c4，故f(x)分别解之取并集即得不等式解集为3，1(0，).题型二解含参数的一元二次不等式问题【例2】解关于x的不等式mx2(m2)x20 (mR).【解析】当m0时，原不等式可化为2x20，即x1；当m0时，可分为两种情况：(1)m0 时，方程mx2(m2)x20有两个根，x11，x2.所以不等式的解集为x|x1或x；(2)m0时，原不等式可化为mx2(2m)x20，其对应方程两根为x11，x2，x2x1(1).m2时，m20，m0，所以x2x10，x2x1，不等式的解集为x|1x；m2时，x2x11，原不等式可化为(x1)20，解集为；2m0时，x2x10，即x2x1，不等式解集为x|x1.综上所述：当m2时，解集为x|1x；当m2时，解集为；当2m0时，解集为x|x1；当m0时，解集为x|x1；当m0时，解集为x|x1或x.【点拨】解含参数的一元二次不等式，首先要判断二次项系数的符号，其次讨论根的情况，然后讨论根的大小，最后依据二次项系数的符号和根的大小写出解集.【变式训练2】解关于x的不等式0.【解析】原不等式等价于(ax1)(x1)0.当a0时，不等式的解集为x|x1；当a0时，不等式的解集为x|x或x1；当1a0时，不等式的解集为x|x1；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为x|1x.题型三一元二次不等式与一元二次方程之间的联系【例3】已知ax2bxc0的解集为x|1x3，求不等式cx2bxa0的解集.【解析】由于ax2bxc0的解集为x|1x3，因此a0，且ax2bxc0的两根为1、3，则13，13，即4，3.又a0，不等式cx2bxa0可以化为x2x10，即3x24x10，解得x或x1.【点拨】解一元二次不等式时，要注意联系相应的一元二次方程与一元二次函数，明确一元二次不等式的解区间的端点就是相应一元二次方程的根.【变式训练3】(2009江西)若不等式k(x2)的解集为区间a，b，且ba2，则k.【解析】.作出函数y和yk(x2)的图象，函数y的图象是一个半圆，函数yk(x2)的图象是过定点(2，)的一条动直线.依题意，半圆在直线下方的区间长度为2，则必有a1，即1是方程k(x2)的根，代入得k.总结提高1.解一元二次不等式的一般步骤:(1)对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；(2)计算相应的判别式；(3)当0时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据一元二次不等式的结构，写出其解集.2.当含有参数时，需分类讨论.分类标准往往根据需要而设定.如：是一元一次不等式还是一元二次不等式；开口方向如何；根的判别式的正负；根的大小等.3.要注意三个“二次”之间的联系，重视数形结合思想的应用.7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析题型一平面区域【例1】已知函数f(x)的定义域为2，)，且f(4)f(2)1，f(x)为f(x)的导函数，函数yf(x)的图象如图所示，则平面区域所围成的面积是() A.2B.4C.5D.8【解析】选B.由f(x)的图象可知，f(x)在2,0上是减函数，在0，)上是增函数.因为f(2)f(4)1，所以当且仅当x(2,4)时，有f(x)f(2)f(4)1.作出可行域如图所示，其围成的图形面积为4.【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【变式训练1】若a0，b0，且当时，恒有axby1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是()A.B.C.1D.【解析】选C.当ab1时，满足xy1，且可知0a1，0b1，所以点P(a，b)所形成的平面区域为边长为1的正方形，所以面积为1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二利用线性规划求最值(1)zx2y4的最大值；(2)zx2y210y25的最小值；(3)z的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x2y4z过点C时，z最大.所以x7，y9时，z取最大值21.(2)zx2(y5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是()2.(3)z2表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(1，)连线斜率的2倍.因为kQA，kQB，所以z的取值范围为，.【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.【变式训练2】已知函数f(x)x3ax2bx1(a，bR)在区间1,3上是减函数，求ab的最小值.【解析】因为f(x)x22axb，f(x)在区间1,3上是减函数.所以f(x)0在1,3上恒成立.则作出点(a，b)表示的平面区域.令zab，求出直线2ab10与6ab90的交点A的坐标为(1,3).当直线zab过点A(1,3)时，zab取最小值2.题型三线性规划的实际应用【例3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72 m3，第二种有56 m3.假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需要用第一种木料0.18 m3，第二种木料0.08m3，可获利润6元，生产一个衣柜需要用第一种木料0.09 m3，第二种木料0.28 m3，可获利润10元.木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少时才能使所获利润最大？最大利润是多少？【解析】设圆桌生产的张数为x，衣柜生产的个数为y，所获利润为z，则z6x10y，当直线l：6x10y0平移到经过点M(350,100)时，z6x10y最大.zmax6350101003 100，所以生产圆桌350张，衣柜100个可获得最大利润3 100元.【点拨】解实际线性规划问题，首先设出变量，建立不等式模型表示出约束条件，一定要注意问题的实际意义(如本题中x0，y0)，然后画出可行域，利用图形求解.【变式训练3】某实验室需购某种化工原料至少106千克，现在市场上该原料有两种包装：一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费元.【解析】500.设需35千克的x袋，24千克的y袋，则目标函数z140x120y，约束条件为当x1时，y，即y3，这时zmin1401203500.总结提高1.用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知，找出约束条件和目标函数是关键.2.可行域是二元一次不等式组所表示的平面区域，可行域可以是封闭的多边形，亦可是一侧开放的无限大的平面区域.3.若可行域是一个多边形，那么一般在顶点处，使目标函数值取得最值，最优解一般是多边形的某个顶点.4.实际问题的最优解要求是整数解时，这时要对最优解(非整数解)进行适当调整，其方法是在边界直线的附近寻求与目标函数直线距离最近的整点，而不要在最优解的附近寻找.7.4基本不等式及应用典例精析题型一利用基本不等式比较大小【例1】(1)设x，yR，且xy(xy)1，则()A.xy2(1) B.xy2(1)C.xy2(1)2 D.xy(1)2(2)已知a，bR，则，的大小顺序是.【解析】(1)选A.由已知得xy1(xy)，又xy()2，所以()21(xy).解得xy2(1)或xy2(1).因为xy0，所以xy2(1).(2)由有ab2，即ab，所以.又，所以，所以.【点拨】本题(2)中的结论由基本不等式简单推导而来，可作为结论使用.【变式训练1】设abc，不等式恒成立，则的取值范围是.【解析】(，4).因为abc，所以ab0，bc0，ac0.而(ac)()(ab)(bc)()4，所以4.题型二利用基本不等式求最值【例2】(1)已知x，则函数y4x2的最大值为；(2)已知二次函数f(x)ax2bxc的导数f(x)，f(0)0，对任意实数x，有f(x)0，则的最小值为()A.3 B. C.2 D.【解析】(1)因为x，所以54x0.所以y4x2(54x)3231.当且仅当54x，即x1时，等号成立.所以x1时，ymax1.(2)选C.因为f(x)0，所以所以c.又f(x)2axb，所以f(0)b0，1112，当且仅当c且4a2b2时等号成立.【点拨】应用基本不等式求最值时，常见的技巧是“拆或凑”，同时注意“一正、二定、三相等”这三个条件，避免出现错误.【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得abxy，cdxy，所以2，当0时，4；当0时，0，故的取值范围是(，04，).题型三应用基本不等式解实际应用问题【例3】某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(所购面粉第二天才能使用)；(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否可以利用此优惠条件？请说明理由.【解析】(1)设该厂x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)62619x(x1).设平均每天所支付的总费用为y1，则y19x(x1)90061 8009x10 809210 80910 989，当且仅当9x，即x10时，取等号.即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少应35天购买一次面粉，设该厂利用此优惠条件后，每x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y29x(x1)90061 8000.99x9 729(x35).因为y29，当x35时，y20.所以y29x9 729在35，)上是增函数.所以x35时，y2取最小值.由10 989知，该厂可以利用此优惠条件.【点拨】解决这类应用题，首先要依题意构造出相应的数学模型，并通过适当的变形使所得到的模型符合基本不等式的结构，再求最值.当等号不能成立时，常利用函数的单调性来处理.【变式训练3】已知a0，b0，且2ab1，求S24a2b2的最大值.【解析】因为a0，b0,2ab1，所以4a2b2(2ab)24ab14ab，且12ab2，即，ab.所以S24a2b22(14ab)24ab1，当且仅当a，b时，等号成立.总结提高1.基本不等式的几种常见变形公式：ab()2(a，bR)；(a0，b0).注意不等式成立的条件及等号成立的条件.2.合理拆分或配凑因子是常用的技巧，配、凑的目的在于使几个数的积为定值或和为定值，且等号能够成立.3.多次使用基本不等式求最值时，要特别注意等号能否同时成立.7.5不等式的综合应用典例精析题型一含参数的不等式问题【例1】若不等式组的解集中所含整数解只有2，求k的取值范围.【解析】由x2x20有x1或x2，由2x2(52k)x5k0有(2x5)(xk)0.因为2是原不等式组的解，所以k2.由(2x5)(xk)0有xk.因为原不等式组的整数解只有2，所以2k3，即3k2，故k的取值范围是3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练1】不等式(1)na2对任意nN*恒成立，求实数a的取值范围.【解析】当n为奇数时，a2，即a(2).而(2)2，则a2；当n为偶数时，a2，而22，所以a.综上可得2a.【点拨】不等式中出现了(1)n的时候，常常分n为奇数和偶数进行分类讨论.题型二不等式在函数中的应用【例2】已知函数f(x)在区间1,1上是增函数.(1)求实数a的值组成的集合A；(2)设x1，x2是关于x的方程f(x)的两个相异实根，若对任意aA及t1,1，不等式m2tm1|x1x2|恒成立，求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)，因为f(x)在1,1上是增函数，所以当x1,1时，f(x)0恒成立，令(x)x2ax2，即x2ax20恒成立.所以Aa|1a1.(2)由f(x)得x2ax20.设x1，x2是方程x2ax20的两个根，所以x1x2a，x1x22.从而|x1x2|，因为a1,1，所以3，即|x1x2|max3.不等式对任意aA及t1,1不等式恒成立，即m2tm20恒成立.设g(t)m2tm2mtm22，则解得m2或m2.故m的取值范围是(，22，).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.【变式训练2】设a，b0，且ab1，不等式恒成立，则的取值范围是.【解析】1，).因为ab1，所以1，所以1.题型三不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x名消防队员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，则t，y灭火劳务津贴车辆、器械装备费森林损失费125xt100x60(500100t)125x100x30 000100(x2)31 450231 45036 450，当且仅当100(x2)，即x27时，y有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S，则半圆的周长为，因为操场周长为400，所以2x2400，即2xy400(0x200,0y)，所以Sxy(2x)(y)2，由解得所以当且仅当时等号成立，即把矩形的长和宽分别设计为100 m和m时，矩形区域面积最大.总结提高1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.- 12 -用心 爱心 专心
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