数值积分上机报告.docx

计算方法数值积分上机习题报告一、 问题数学上已经证明：0141+x2dx=成立，所以可以通过数值积分来计算的近似值（1）分别使用矩形、梯形和Simpson复合求积公式计算的近似值.选择不同的h，对每种求积公式，是将误差刻画成h的函数，并比较各方法精度.是否存在某个h值，当低于这个值后再继续减小h的值，计算不再有所改进？为什么？（2）实现Romberg求积方法，并重复上面的计算.（3）使用自适应求积方法重复上面的计算.二、解决问题的算法1、各求积方法的实现先将a, b区间分割为小区间，引入等距分点xi=a+ih, h=b-an, i=0,1,n并记xi+12=a+i+12h（1）矩形求积方法公式：IfMf,h=hi=0n-1f(xi+12)（2）梯形求积方法公式：IfTf,h=h2i=0n-1(fxi+fxi+1)（3）Simpson复合求积公式：IfSf,h=h6i=0n-1(fxi+4fxi+12+fxi+1)（4）Romberg求积方法：记T1h=T(f,h)为复合梯形求积公式，则有递推定义的求积序列：Tk+1h=Tkh/2-4-kTkh1-4-k, k=1,2,3（5）自适应求积方法：a设给定的精度要求为，取初始步长为h=b-a；b计算T(h)；c将h/2赋予h，计算T(h/2)；d若|T(h/2) - T(h)| ，则输出T(h/2)，否则将h/2赋予h，转到b，再继续计算.2、计算精度的方法因为是一个数学常数，在各大主流程序语言中均有定义，所以可以计算得到的数值积分值I与的差值：|-I|来得到各方法的精度三、使用的工具C语言四、数值结果1、矩形求积公式结果及误差：2、梯形求积公式结果及误差：3、Simpson复合求积公式结果及误差：4、自适应求积方法结果及误差：5、Romberg求积方法结果及误差：五、数值结果分析1、对于以上五种不同的算法，均可以得到的近似值为3.141592654.2、C+中储存的的值为M_PI=3.14159265358979310862，精度达到10-20，而上表中表明各方法所计算出来的最高误差精度集中在10-1310-16，并未达到10-20的精度，所以以下对精度的讨论是有效的.3、下面对矩形、梯形、Simpson复合求积公式的精度做一个简单的比较方法h矩形复合求积梯形复合求积Simpson复合求积0.110-410-510-100.0210-510-610-140.0110-610-710-200.00510-610-710-160.00210-710-810-15由此可见，在h不是非常小时，每种方法的精度均随着h的减小而提高。而且从上表可以看出，上面三种方法中Simpson复合求积公式的精度最高，当h=0.1时精度就达到了非常高的10-10；矩形、梯形复合求积公式精度相当，均比较低，其中梯形求积公式精度略高于矩形求积公式。4、使用矩形、梯形复合求积公式h的精度达到10-6、Simpson复合求积公式h的精度达到10-2后精度便不再提高，反而有所降低，并在10-1310-16附近震荡。所以存在某一个h值，当低于这个值后再继续减小h的值，精度不再有所改进。这是因为随着h的缩小，进行数值积分时数据的截断误差会增大，当其与积分公式的误差相比拟甚至高得多后，精度便不再提高。最重要的是，由于计算时使用的数据类型为double型，C语言中double型可以完全保证的有效位数是小数点后15位，16位只是部分数值有保证，所以精度基本都低于10-16。随着h的减小，精度仍能达到10-10以上，说明数值积分的数值稳定性比较好。5、使用Romberg求积方法，精度取决于h和k. 求积精度比Simpson复合求积公式还要好。不过对于h减小到某个值、k增大到某个值后，精度不再有所改进，原因与上一条分析的原因相同。6、使用自适应方法，结果的精度与h无关，只与选择的有关，而且随着的减小精度不断提高，与积分得到的误差相当。