专题七：函数与导数问题进阶(教师版)自己总结.doc

函数与导数问题进阶（教师版）常见题型及解法1. 常见题型一、 小题：1. 函数的图象2. 函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);3. 分段函数求函数值；4. 函数的定义域、值域（最值）；5. 函数的零点；6. 抽象函数；7. 定积分运算（求面积）二、大题：1. 求曲线在某点处的切线的方程； 2. 求函数的解析式3. 讨论函数的单调性，求单调区间； 4. 求函数的极值点和极值；5. 求函数的最值或值域； 6. 求参数的取值范围7. 证明不等式； 8. 函数应用问题2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。(2)若可导函数在 处取得极值，则。反之，不成立。(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（ 不恒为0）.(5)函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。(6) 在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，则; 若，恒成立，则(8)若，使得，则；若，使得，则.(9)设与的定义域的交集为D，若D 恒成立，则有.(10)若对、 ，恒成立，则.若对，使得,则. 若对，使得，则.（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式: 3. 解题方法规律总结1. 关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。要结合函数图象，考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。2. 已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：子区间法；分离参数法；构造函数法。3. 注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解，含参数的方程在某区间上有实根（包括根的个数）等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最值，后者是求函数的值域。4. 关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13），确定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关），再对自变量x赋值，令x分别等于1、2、.、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。）5. 关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值，结合函数图象， 确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。 小题讲解：【例1】（山东高考题）已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间0,2上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则【答案】 -8-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【解析】因为定义在R上的奇函数，满足，所以，所以, 由为奇函数，所以函数图象关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间0,2上 是增函数，所以在区间-2,0上也是增函数如图所示，那么方程f(x)=m(m0) 在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，所以【点评】本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题【例2】若是方程的解，是 的解，则的值为（ ）A B C3 D【解析】作出的图象，交点横坐标为，而 【答案】C 【点评】该题考查了指数函数、对数函数的图象及性质综合了函数的图象、方程的解及曲线的交点等问题指数函数、对数函数是两类重要的基本初等函数， 高考中以它们为载体的函数综合题既考查双基， 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用 【例3】若函数有两个零点，则实数的取值范围是 【解析】设函数和函数，则函数有两个零点， 就是函数与函数有两个交点，由图象可知：当时两函数只有一个交点，不符合，当时，因为函数的图象过点(0，1)，而直线所过的点一定在点(0，1)的上方，所以一定有两个交点所以实数a的取值范围是 【答案】【点评】本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性质的考查，根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答体现了对分类讨论思想的考查，分类讨论时，要注意该分类时才分类，务必要全面【例4】已知偶函数在区间单调递增，则满足的x 取值范围是（ ）（A）（，） (B) ，） (C)（，） (D) ，）【解析】由于f(x)是偶函数，故f(x)f(|x|)， 得f(|2x1|)f()，再根据f(x)的单调性，得|2x1|，解得x 【答案】B【点评】该题的关键是将含有函数符号的不等式转化为普通的不等式，体现的对转化思想的考查，同时还综合考查了函数的性质，而该题的转化的依据就是函数的奇偶性和单调性考题中通过这种形式来考查函数的性质与方程、不等式等的综合不但是一个热点，而且成了一个固定的必考题型【例5】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x（x10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x（单位：元）为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）【解析】设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得：则，令，即，解得当时，；当时，因此，当时，取得最小值，元【答】 为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层【点评】这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法一、（单调性，用到二阶导数的技巧）例一、已知函数若，求的极大值；若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.解：定义域为 令 由由即上单调递增，在上单调递减时，F(x)取得极大值 的定义域为(0，+)，由G (x)在定义域内单调递减知：在(0，+)内恒成立令，则 由当时为增函数当时，为减函数当x = e时，H(x)取最大值故只需恒成立，又当时，只有一点x = e使得不影响其单调性 二、交点与根的分布例二、已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：解：（1）在点处的切线方程为，即（2）如果有一条切线过点，则存在，使若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即例三、已知，函数（其中）（I）求函数在区间上的最小值；（II）是否存在实数，使曲线在点处的切线与y轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。三、不等式证明作差证明不等式1. （2010湖南，最值、作差构造函数）已知函数(1)求函数的单调递减区间；(2)若，求证：x解：(1)函数f (x)的定义域为(1，+),，由 得：，x0,f (x)的单调递减区间为(0，+).(2)证明：由(1)得x(1，0)时，当x(0，+)时，且x1时，f (x)f (0)，0，x 令，则，1x0时，x0时，且x1时，g (x)g (0)，即0，x1时，x2. （2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易）已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同用表示，并求的最大值；求证：当时，解：设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，变形构造证明不等式3. 已知函数，（）求的极值（）若在上恒成立，求的取值范围（）已知，且，求证解：（1），令得 ，为增函数，为减函数有极大值 4分（2）欲使在上恒成立， 只需 在上恒成立设，为增函数,，为减函数时，是最大值 只需，即8分 （3）由（2）可知在上单调增， ，那，同理相加得 ， 得： .4. （2010辽宁文21，构造变形，二次）已知函数.讨论函数的单调性； KS*5U.C#设，证明：对任意，.解： f(x)的定义域为(0,+)，.当a0时，0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0时，令0,解得x=.当x(0, )时, 0；x(，+)时，0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,则+4.设，1，对称轴为，结合图象知0，于是0.从而g(x)在（0,+）单调减少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2(0,+) ，四、不等式恒成立求字母范围恒成立之最值的直接应用已知函数。求的单调区间；若对于任意的，都有，求的取值范围.解：，令，当时，与的情况如下：+00+0所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：0+00所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是。当时，因为，所以不会有当时，由（）知在上的最大值是，所以等价于,解综上：故当时，的取值范围是，0.5. （2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧）已知函数，其中.若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式；讨论函数的单调性；若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.解：，由导数的几何意义得，于是由切点在直线上可得，解得所以函数的解析式为当时，显然(),这时在，上内是增函数当时，令，解得当变化时，的变化情况如下表：00极大值极小值在，内是增函数，在，内是减函数由知，在上的最大值为与的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，即，对任意的成立从而得，所以满足条件的的取值范围是恒成立之分离常数6. （2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数）已知函数,（其中R,为自然对数的底数）.(1)当时,求曲线在处的切线方程；(2)当1时,若关于的不等式0恒成立,求实数的取值范围.（改x0时，0恒成立.1）解：（1）当时，,切线方程为（2）方法一1,12)(2-=axxexfxa0xxex122-, 设xxexgx12)(2-=,则2212)1()(xxexxgx+-=, 设,则, 在上为增函数,在上为增函数,方法二,设, 0,0,在上为增函数,.又0恒成立,0,在上为增函数, 此时0恒成立,（改x0时，0恒成立.1）解：先证明在上是增函数，再由洛比达法则，1.（正常的讨论进行不了，除非系数调到二次项上，分两种情况讨论可得1）已知函数 （）若函数在区间其中a 0，上存在极值，求实数a的取值范围；（）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；解：（）因为， x 0，则， 当时，；当时，所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值 因为函数在区间（其中）上存在极值，所以 解得 （）不等式即为 记所以 令，则， ， 在上单调递增， ，从而，故在上也单调递增， 所以，所以 设函数.若函数在处与直线相切：求实数的值；求函数在上的最大值；当时，若不等式对所有的都成立，求实数的取值范围.解：（1）。函数在处与直线相切解得.当时，令得；令，得，上单调递增，在1，e上单调递减，. （2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，则对所有的都成立，即对所有的都成立，令为一次函数， .上单调递增，对所有的都成立.（注：也可令所有的都成立，分类讨论得对所有的都成立，请根据过程酌情给分）恒成立之讨论字母范围7. （2007全国I，利用均值，不常见）设函数证明：的导数；若对所有都有，求的取值范围解：的导数由于，故（当且仅当时，等号成立）令，则，若，当时，故在上为增函数，所以，时，即若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数所以，时，即，与题设相矛盾综上，满足条件的的取值范围是设函数.若，求的最小值；若当时，求实数的取值范围.解：（1）时，.当时，；当时，.所以在上单调减小，在上单调增加故的最小值为（2），当时，所以在上递增，而，所以，所以在上递增，而，于是当时， .当时，由得当时，所以在上递减，而，于是当时，所以在上递减，而，所以当时，.综上得的取值范围为.近三年新课标导数高考试题 2011 1、（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是B（A） (B) （C） (D) 2、（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为C（A） （B）4 （C） （D）64、（21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（）求、的值；（）如果当，且时，求的取值范围。（21）解：（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设0k0,故 (x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0,与题设矛盾。 综合得，k的取值范围为（-，020125、（12）设点P在曲线y=ex 上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为B（A） 1-ln2 （B） （C）1+ln2 （D）6、已知函数f（x）满足（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若求（a+1）b的最大值。【解析】（1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为 （2）得 当时，在上单调递增 时，与矛盾 当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为【2013年】7、16、若函数f(x)=(1x2)(x2axb)的图像关于直线x=2对称，则f(x)的最大值是_.【解析】由图像关于直线=2对称，则0=，0=，解得=8，=15，=，=当(,)(2, )时，0，当(,2)(,+)时，0，在（，）单调递增，在（，2）单调递减，在（2，）单调递增，在（，+）单调递减，故当=和=时取极大值，=16.8、（21）（本小题满分共12分）已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y4x+2（）求a，b，c，d的值（）若x2时, ，求k的取值范围。【解析】（）由已知得，而=，=，=4，=2，=2，=2；4分（）由（）知，设函数=（），=，有题设可得0，即，令=0得，=，=2，（1）若，则20，当时，0，当时， 0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值， 而=0，当2时，0，即恒成立，(2)若，则=，当2时，0，在(2,+)单调递增，而=0，当2时，0，即恒成立，(3) 若，则=0，当2时，不可能恒成立，(4) 综上所述，的取值范围为1,.