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第一章 事件与概率一 事件间的关系(利用图与几何概型作解释比较方便) : 1则有; .2对偶律: .34与互相对立(互斥) 由事件定义 与互不相容 5与相互独立 相互独立 由概率定义 两两独立 附: 零概率事件亦可发生. 时, “与互不相容” 与 “与相互独立” 不可能同时出现. “与独立” , “与独立” , “与独立” , “与独立” 四个命题等价.二 概率计算中的基本公式及综合运用 (首先应认清事件所在的试验与样本空间):1 (去否律) 2 (条件概率公式)附：对两事件而言,虽都 “发生” 了,但.3 (乘法公式) 4 (加法公式) 56有利于事件之基本事件数(事件包含的样本点数) / 基本事件总数(样本点总数), (古概公式)7(独立试验序列(概型，二项分布)公式 ) 8 (随机抽样模型(超几何分布)公式)9前提某一事件由诸多事件引发而发生, 且此诸多事件构成一个互不相容事件的完备群时, 极应考虑. 辨析由时属于概问题.附: 例1已知则下列选项成立的是 (B) (A) (B) (C) (D) 解: 左=右= 选择 (B) 例2 (99.一)设两两相互独立的三事件满足条件：且已知则 (1 / 4)解: .例3(03.三) 将一枚硬币独立地掷两次,定义事件：掷第一次出现正面,掷第二次出现正面,正、反面各出现一次,正面出现两次, 则事件 ( C)(A) 相互独立; (B)相互独立;(C)两两独立; (D)两两独立. 解: 可看出应选（C）.例4(06.三) 设A, B 为随机事件，且P(B)0,P(A|B)=1，则必有 （C）(A) P(AB)P(A). (B) P(AB)P(B). (C)P(AB)=P(A). (D) P(AB)=P(B).解: 由P(B)0,P(A|B)=1,有故选（C）.三基本问题选讲:1随机抽球问题：例5在5红3黄2白的十只球中任取6只, 求取到的恰好是3红2黄1白的概率.解：.2盒子问题： 例6将个球等可能地全部放入到个盒子之中(每个盒子中放入的球数不限),求以下事件的概率： 某个指定的盒子中各有1个球; 恰有盒子中各有1个球; 个球落到某个指定的盒子中; 指定的个盒子中共放入了个球(这个盒子中放入的球数不限) .解： ; (从个盒中任取个盒每盒一个地装这个球) ; 从个球中随意取出个(有种取法),剩余的个球随意地放入到剩余的个盒子中(有种放法) ,故很像二项分布; 从个球中随意取出个(有种取法),随意地放入到指定的个盒子中(有种放法),剩余的个球随意地放入到剩余的个盒子中(有种放法) ,故.3随机取数问题：例7从十个数字中任取三个不同的数字，试求以下事件的概率： 三个数字中不含0和5; 三个数字中不含0或不含5; 三个数字中含0但不含5 .解： ; ; .4配对问题：关键: 只有编号的球置于个有号的盒中(每盒各置一只球),若第号球恰被置于第号盒,则称第号盒配对. 则(将两号盒藏着,专等两号球来接, 则其余的个球有种放置法), 例8个客人来时都把雨伞放在门边, 走时每人任取一把。求： 至少有一人选中自己的雨伞的概率; 指定的某个客人未选中的概率; 恰有个客人选中自己的雨伞的概率.解： 设第个客人选中自己的雨伞,则 ; “个客人都未选中雨伞的概率”为 ,则类似的“指定的某个客人未选中的概率”为 ; 可以看出之“和式”中第项应为有个客人选中自己的雨伞的概率; 而“恰有个客人选中”还隐有“另有个客人未选中”, 这一概率已由所给出, 所以 . 5几何概型问题： . 例9设实数满足求的概率.解：, .例10(07.一)在区间随机地取出两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率是 3/4 .解:,画图可知.6条件概率问题：例11从一批废品率为的产品中, 重复抽取件产品, 初步已发现有件废品, 问(在此条件下)这件产品中废品不少与件的概率.解：设这件产品中废品不少于件,这件产品中废品不少于件(显然), 则 7独立试验序列(概型)问题： 例12设某公汽车站每5分钟有一辆车到达(每辆到站公汽都能将站上候车的乘客全载走) , 而每位乘客在5分钟内的任意时刻到达车站是等可能的.求正在车站候车的10位乘客中, 恰有一位候车的时间超过4分钟的概率.解：。8独立性的应用问题： 例13若甲,乙,丙三个小组在一天内独自能将某密谋破译的概率分别为1/ 2, 1/ 3与1/ 4。让这三个小组独立地去破译, 求一天内这三个小组中至少有一个小组能将此秘码破译的概率. 解：分设为甲,乙,丙三个小组独自能将此密谋破译的事件，则 .9全概与逆概问题： 例14一道单选题共列出四个答案, 假设某学生知道正确答案的概率为0.5, 乱猜的概率也是0.5(设他乱猜而猜对的概率为0.25) .如果已知他答对了, 问他确实知道哪个是正确答案的概率为. 解：设他知道正确答案,他乱猜,他答对了,则 故 .第二章 随机变量及其分布一 一元随机变量: 1 . 几个重要分布: ;: ;: ;: ;: ;: ; (注意用表记的另一种形式): .附： 注意分布律,概率密度,分布函数的性质. 正态分布曲线的性态中高边低、左右对称、倒扣的钟形。从渐近线、对称轴、极大值、拐点、陡缓趋势等角度分析。 正态分布的分布函数为以为中心的对称图形. 标准正态分布：其分布函数为函数, 且。 命题：设，则。 分位点：设称满足的为标准正态分布的上(双侧)分位点。例1.设连续型的密度为偶函数是的分布函数,证明对任意实数有1.证: .例2(07.一) 某人向同一目标独立重复射击,其命中率为,则此人的第四次射击恰好是第二次命中的概率是 .解: 第四次射击恰好是第二次命中,说明前三次射击仅命中一次且第四次又命中,故应选( ).例3 设随机变量服从正态分布则随的增大, 概率 ( )(A) 单调增大， (B) 单调减小， (C) 保持不变， (D) 非单调变化。 解：保持不变 (C) 2连续型随机变量函数的分布:设随机变量的密度为 确定 确定 在内; 在内.例4设求的密度.解: 二二元随机变量实际上是随机向量的分布:1离散型随机变量: 联合分布律: 非负性规范性. 分布函数:实际上为点含直线与之左下各取值点概率的累加, 为分段函数. 边缘分布律,条件分布律:若离散型随机变量的联合分布律为 称为关于的边缘分布律; 称为关于的边缘分布律. 附: 随机变量与相互独立 . 若对固定的则称为在的条件下随机变量的条件分布律; 若对固定的则称为在的条件下随机变量的条件分布律 . X Y1/241/81/61/83/81/21/121/41/31/43/41例5 (99.一) 设随机变量和相互独立, 右表列出了二维随机变量的联合分布律及关于和关于的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.再求出各条件分布律. 2 连续型随机变量: 概率密度:非负性规范性. 分布函数:为连续函数. 附:分布函数具有非负, 单调不减, 规范与对各变元右连续等性质. 对连续型随机变量而言,且在的连续点处 . 边缘概率密度与边缘分布函数: 若连续型随机变量的联合概率密度为则 关于的边缘概率密度为; 关于的边缘概率密度为; 关于的边缘分布函数为; 关于的边缘分布函数为. 附: 随机变量与相互独立 . 条件概率密度与条件分布函数: 若连续型随机变量的联合概率密度为则有 若对固定的称为在下的条件概率密度; 若对固定的称为在下的条件概率密度; 若对固定的称为在下的条件分布函数;若对固定的称为在下的条件分布函数 . 例6 设二维随机变量的联合密度为 确定常数; 求的联合分布函数; 求边缘概率密度; 判别与是否相互独立; 求条件概率密度函数.解： . 当或时当时, 当时 当时 当时 由于所以与不相互独立 ; 对每个固定的 对每个固定的.例7(07.一)设随机变量服从二维正态分布,且与互不相关,分别表示与的概率密度,则在的条件下,的条件概率密度是 ( ) .解: 二维正态分布中与互不相关与互相独立故,故选()例8设随机变量的绝对值不大于1; ;在事件出现的条件下, 在(-1, 1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比. 试求： 的分布函数; 取负值的概率. 解：显然, 时，;而 由在事件出现的条件下,在(-1, 1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比, 有时，故在时， 此时, 另外时, .三二维随机变量函数的分布: 应掌握和的分布, 差的分布, 积的分布与最大最小分布 .1求函数分布的一般思路:设随机变量的联合密度为且求的概率密度.先由分段求出的分布函数,再由依上述分段求出的概率密度. 这里区域. 例9设随机变量在以点为顶点的三角形上服从均匀分布,求的概率密度.解：由图知:时;时,都有;而时,;且时.例10(01.三) 设随机变量和的联合分布是正方形上的均匀分布, 试求随机变量的概率密度.解：由图知时时都有;而时: .例11设随机变量在均匀分布, 试求随机变量的概率密度.解：落入两对称的等轴双曲线之间的事件.当时，覆盖了的整个非零区域, 此时;当时，等轴双曲线在一,三象限, 将它们之间的非零域用表示, 则 类似地, 当时, 例12设随机变量在均匀分布, 求边长为之正方形面积的概率密度.解：落入两对称的等轴双曲线之间的事件.当时,覆盖了的整个非零区域,此时;而当时,为不可能事件,此时;当时, 将等轴双曲线之左下的非零域用表示, 则 例13设随机变量都服从参数为的指数分布且互相独立, 求的概率密度.解：可知当在第一象限时否则落入的事件(当时) . 当时在象限, 不含非零域, 此时; 而当时, 附：极大极小分布, 设互相独立且服从同分布, 其分布函数与概率密度分别为和, 则常用于联的有与. 例14. 将两封信投入编号为, 的三个邮筒中, 设分别表示投入到第号, 第号邮筒中信的数目.求: 的联合分布; 与是否相互独立？ 时的条件分布律; 与的分布. 解: 01201 / 92 / 91 / 912 / 92 / 9021 / 900. 显然与相互不独立. . 的分布为 ;的分布为 . 2相互独立的两随机变量之和的分布：设随机变量的联合密度为且和相互独立, 则的概率密度为. 例15. 设某种商品一周的需求量是一个随机变量,其概率密度为并设各周对该商品的需求量是相互独立的.以表示周的需求量,求和的概率密度和;以表示三周中各周需求量的最大值,求的概率密度;以表示三周中各周需求量的最小值,求的概率密度. 解： 设第二周的需求量为, 其概率密度与相同且相互独立, 故为两独立随机变量之和. 当时当时, 设第三周的需求量为, 其概率密度与相同且相互独立, 故为两独立随机变量之和. 当时当时, .四. 试题选讲:1(02.三)设随机变量,随机变量.试求：(1)和的联合概率分布; (2).解: (1) 随机变量(X ,Y)有四个可能值： (1,1), (1,1), (1,1), (1,1) . 于是可得和的联合概率分布为 .(2)和的概率分布相应为得.2 (02.三) (13 分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布,平均无故障工作的时间(EX)为5小时. 设备定时开机, 出现故障时自动关机, 而在无故障的情况下工作2 小时也关机. 试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F(y). 解: 设X的分布参数为. 由 有.而当时,; 当时,; 而当时, .故Y 的分布函数如右.3(03.三)设随机变量的概率密度为是的分布函数. 求随机变量的分布函数 . 解:当时,;当时,当时,.设是的分布函数. 显然, 时, 时, 时, 故的分布函数如右.4(03.三)设随机变量与独立,其中的概率分布为,而的概率密度为,求随机变量的概率密度. 解:设是的分布函数,则由全概率公式,知的分布函数为 的概率密度为:.5(04.三) (13 分)设为两个随机事件,且 令. 求 () 二维随机变量的概率分布; () 与的相关系数; ()的概率分布.解: () 由 有 于是故的概率分布为 () 由此很易算出, . 从而 .() Z 的可能取值为： 故. 的概率分布为6(05.三)设二维随机变量的概率密度为, 求:(1) 的边缘概率密度; (2)的概率密度; (3).解1：(1)如右图(2) 记为Z的分布函数, 并定义区域由于(X ,Y)服从区域D上均匀分布,且,故当时 ；当时, 当时.因此的概率密度为(3) 再记且.则故 解2：(1)同解1. (2)仍记为,当与时,仍同解1;当时, 故仍有分布函数与概率密度如解1. 7(06.三)(9 分)随机变量X 的概率密度为,令且为二维随机变量的分布函数. 求(1) Y 的概率密度； 解:(I)时时故. (II) 8. (07.一) 设二维随机变量的概率密度如右,求:(); ()的概率密度.解: () () 解1 解2: 第三章 数字特征应熟悉各数字特征的内含.一(数学)期望: 1. 定义: 设离散型随机变量的分布律为随机变量, 则分别称与为与的期望.设连续型随机变量的概率密度随机变量, 则分别称与)为与的期望.设二元离散型(连续型)随机变量的联合分布律(概率密度)为 ()随机变量则称()为的期望.2性质:线性(;(积的期望).例1设随机变量服从分布(即概率密度为), 求.解：不存在 与都不存在.X Y例2设随机变量否则,且求的值. 建立联立方程组解之.例3.(03三)设随机变量X和Y的联合概率分布如右,则 与的协方差_0.02 _ . 解:有 , 故 例4.(03三)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若Z = X 0.4 ,则Y与Z 的相关系数为_ .解: 因为 cov(Y, Z)=cov(Y, X 0.4) =Cov(Y, X) cov(Y, 0.4)= cov(Y, X)= cov (X , Y)且D(Z) =D(X). 于是例5某路公汽全线共有11个车站, 公汽开出后车上的20个乘客中每人在每个车站下车的可能性是相同的. 若在某站无人下车, 则公汽不停车, 求此公汽的平均停车次数.解：设站的停车次数, 则,再设10个站的总共停车次数, 则. 例6 在长为的线段上任取两点,求两点间的距离的数学期望. 解: 两点在x轴上的坐标分为由任取知X与Y独立,故的联合密度为设为两点间的距离,则. 例7设随机变量相互独立且在(0, a)内服从均匀分布, 求. 解：的联合密度同上，则. 二 方差: 对随机变量, 若存在, 则称的方差. (以下为常数)附: 性质: 简便公式; ; 和的方差(); ; 不等式:若随机变量的期望与方差都存在,则. 例8 随机变量在区间服从均匀分布；随机变量如右,求方差. 解： . 例9 设是一随机变量, 则对任意常数, (B) (A) ; (B) ; (C) . 解：为期望其含义为“平均数” , 而为方差其含义为对平均数之差方的加权平均,当然比对任意数之差方的加权平均都不大，因此选“B” . 三协方差:称(若存在的话)为随机变量与的协方差. 附: 性质: 简便公式(); 对称性(); 线性(. 例10(00.一) 设随机变量服从二维正态分布,随机变量与不相关的充要条件是 (A) ; (B) ; (C) ; (D) .解:不相关 (B) , 故选(B) .四 相关系数:称(若存在的话)为随机变量与的相关系数.附: ;与间存在线性相关关系(即存在常数,使); 当时,称与为完全正(负)相关, 即以和的相应取值为横,纵坐标的点, 以概率1落在一条斜率为)的直线上. 例11(01.一) 将一枚硬币重复掷次,和分别表示正面和反面向上的次数, 则和的相关系数等于 (A) -1; (B) 0; (C) 0.5; (D) 1. (可见以一对取值作横纵坐标描在平面上恰为直线, 故选 (A) ) 附：二维正态分布 其概率密度为 其分量和都服从正态分布,即两个边缘概率密度分为,而为和的相关系数，可以证明与相互独立。 例12 设某种商品每周的需求量在区间上服从均匀分布,而经销商店进货量为区间中的某一整数.商店每销售一件商品可获利500元;若供大于求,则销价处理,每处理一件商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时一件商品仅获利300元.为使商店所获利润的期望值不少于9280元,试确定最少进货量. 解: 设进货量为则此时的利润 ,期望利润为依题意 即得解得. 例13设随机变量在以点为顶点的三角形上服从均匀分布,求的方差. 解: 的联合密度为 解法:由第二章之例7，可知则. 解法: . 解法: ; 类似的. 辨析：在随机变量的分布(主要是概率密度)与函数关系已知的条件下:求的概率密度,是从的分布函数入手,而将满足 (为某任意指定的常数) 的区域作为积分域对的概率密度积分, 即 ; 然后再对求关于的导数. 显然其结果是一个关于的函数. 求随机变量的期望,是直接从计算公式入手, 将“并入”被积函数与的概率密度一道,在全平面上积分, 即.其结果是一个常数. 例14(00.三) 设和为而随机事件, 随机变量; .试证明随机变量和不相关的充要条件是和相互独立 . 解：设则 再令 而随机变量仅两个取值, 则且则, 于是和不相关 和相互独立 . 附：此题涉及面较广, 不相关,相互独立的充要条件,函数的期望,对偶律,求逆公式,和的概率，很综合. 例15(00.四) 设二维随机变量的密度函数为其中和都是二维正态密度函数, 且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为和它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零, 方差都是1. 求随机变量和的密度函数和及和的相关系数 (可以直接利用二维正态密度的性质) ; 问和是否独立？为什么？ 解： 是二维正态密度函数, 且它的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望是零,方差是1,再由二维正态密度的两边缘密度都为正态密度，同理,所以由式有 再由式, 显然 所以和不独立。第四章 大数定律与中心极限定理一不等式: 若随机变量的期望与方差都存在, 则. 内含: 对 “随机变量在其期望附近取值的概率很大” 这一事实, 给出了一个粗略的量化标准. 例1(01.一) 设随机变量的方差为2, 则根据切比雪夫不等式有估计 ( ) 解: 例2(01.三) 设随机变量和的数学期望分别为-2和2, 方差分别为1和4, 而相关系数为-0.5, 则根据切比雪夫不等式 ( ) 解: 二大数定律: 内含: 描述 “大量测量值的算术平均值(或随机事件发生的频率)具有稳定性” 这一客观规律的一批定律 . 1大数定律:设随机变量相互独立, 且具有相同的期望与方差(与), 则 . 此称依概率收敛 . 2大数定律: 设是次独立重复试验中事件发生的次数. 是事件在每次试验中发生的概率, 则或 . 三中心极限定理: 内含: 描述 “大量相互独立的随机因素的综合影响下所得到的随机变量(而每个因素在总的影响中所起的作用都很微小) , 往往服从或近似服从正态分布” 这一客观事实的一批定理 .1 独立同分布的中心极限定理: 设随机变量相互独立, 服从同一分布, 且期望与方差(与)存在, 则随机变量的分布函数满足, 这里, 为函数. 附：当充分大时 (为的标准化) .2中心极限定理: 设随机变量服从参数为的二项分布, 则这里, 为标准正态的分布函数.例3(03三).设为来自总体的样本,则当n 时,依概率收敛于 .解:这里满足大数定律的条件,且,故由辛钦大数定律有依概率收敛于 . 例4 设系统由100个相互独立的部件组成, 运行期间每个部件损坏的概率都为0.1. 至少有85个部件是完好的时系统才能正常工作. 求系统正常工作的概率. 如果上述系统由个部件组成, 至少有80%的部件完好时系统才能正常工作. 问至少多大才能使系统正常工作的概率不少于0.95 .解: 以表示第个部件完好,表示第个部件损坏, . 再以表示完好的部件数,则.由独立同分布的中心极限定理, 近似的有 以表示第个部件完好,表示第个部件损坏, . 再以表示完好的部件数, 则. 则由独立同分布中心极限定理, 近似的有 再由 查标准正态数值表有 即因此至少为25时才能使系统正常工作的概率不少于0.95 . 例5 某人寿保险公司有10000个同一年龄的人参加人寿保险, 在一年里这些人的死亡率为0.1%, 参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元, 死亡时家属可以从保险公司领取2000元抚恤金. 求: 保险公司一年中获利不小于40000元的概率; 保险公司亏本的概率. 解: 以表示第个人死亡,表示第个人未死亡, .再以表示死亡的人数,则.而且保险公司一年收入1000010=100000元，付出2000元.由独立同分布的中心极限定理, 近似的有 即保险公司一年中获利不小于40000元的概率为99.93% . 保险公司亏本的概率为 .
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