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151 概率论计算与证明题 第四章 数字特征与特征函数1、设是事件A在n次独立试验中的出现次数，在每次试验中，再设随机变量视取偶数或奇数而取数值0及1，试求及。2、袋中有k号的球k只，从中摸出一球，求所得号码的数学期望。3、随机变量取非负整数值的概率为，已知，试决定A与B。4、袋中有n张卡片，记号码1,2,n,从中有放回地抽出k张卡片来，求所得号码之和的数学期望及方差。5、试证：若取非负整数值的随机变量的数学期望存在，则。6、若随机变量服从拉普拉斯分布，其密度函数为 。试求，。7、若相互独立，均服从，试证。8、甲袋中有只白球只黑球，乙袋中装有只白球只黑球，现从甲袋中摸出只球放入乙袋中，求从乙袋中再摸一球而为白球的概率。9、现有n个袋子，各装有只白球只黑球，先从第一个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋子中，再从第二个袋子中摸出一球，记下颜色后就把它放入第三个袋子中，照这样办法依次摸下去，最后从第n个袋子中摸出一球并记下颜色，若在这n次摸球中所摸得的白球总数为，求。10、在物理实验中，为测量某物体的重量，通常要重复测量多次，最后再把测量记录的平均值作为该体质重量，试说明这样做的道理。11、若的密度函数是偶函数，且，试证与不相关，但它们不相互独立。12、若的密度函数为，试证：与不相关，但它们不独立。13、若与都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。14、若，试证的相关系数等于的相关系数。15、若是三个随机变量，试讨论（1）两两不相关；（2）；（3）之间的关系。16、若服从二元正态分布，。证明：与的相关系数，其中。17、设服从二元正态分布，试证：。18、设与独立，具有相同分布，试求与的相关系数。19、若服从，试求。20、若及分别记二进制信道的输入及输出，已知 ，试求输出中含有输入的信息量。21、在12只金属球中混有一只假球，并且不知道它比真球轻还是重，用没有砝码的天平来称这些球，试问至少需要称多少次才能查出这个假球，并确定它比真球轻或重。22、试用母函数法求巴斯卡分布的数学期望及方差。23、在贝努里试验中，若试验次数是随机变量，试证成功的次数与失败的次数这两个变量独立的充要条件，是服从普阿松分布。24、设是一串独立的整值随机变量序列，具有相同概率分布，考虑和，其中是随机变量，它与相互独立，试用（1）母函数法，（2）直接计算证明。25、若分布函数成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的特征函数是实的偶函数。26、试求均匀分布的特征函数。27、一般柯西分布的密度函数为。证它的特征函数为，利用这个结果证明柯西分布的再生性。28、若随机变量服从柯西分布，而，试证关于特征函数成立着，但是与并不独立。29、试求指数分布与分布的特征函数，并证明对于具有相同值的分布，关于参数有再生性。30、求证：对于任何实值特征函数，以下两个不等式成立：。31、求证：如果是相应于分布函数的特征函数，则对于任何值恒成立：。32、随机变量的特征函数为，且它的阶矩存在，令，称为随机变量的k阶半不变量，试证（是常数）的阶半不变量等于。33、试求出半不变量与原点矩之间的关系式。34、设相互独立，具有相同分布试求的分布，并写出它的数学期望及协方差阵，再求的分布密度。35、若服从二元正态分布，其中，试找出矩阵，使，且要求服从非退化的正态分布，并求的密度函数。36、证明：在正交变换下，多元正态分布的独立、同方差性不变。37、若为 ，（1）求随机变量的边际分布；（2）求。 38、若的取值是非负数，且,又，求39、设且二者独立，求 ,的相关系数40、某汽车站在时间t内发车的概率为P(t)=1-，求某人等候发车的平均匀时间。41、某厂生产的园盘的直径服从内的均匀分布，求园盘面积的数学期望。42、搜索沉船， 在时间t内发现沉船的概率为， 求为了发现沉船所需要的平均搜索时间。43、从数字中按有放回方式取数，设随机变量表示第一次选取的数字，随机变量表示第二次选取的不小于的数字. (1)写出的联合分布列; (2)求.44、如果互不相关,且方差分别为,求的相关系数.45、将三个球随机地放入三个盒子中去，设随机变量分别表示放入第一个、第二个盒子中的球的个数。1)求二维随机变量的联合分布列; 2)求46、设相互独立，且，求的相关系数。47、民航机场一送客汽车载有20个旅客从机场开出，旅客可从10个站下车，如果到站没人下车就不停车，假定乘客在每个车站下车是等可能的，求平均停车次数。48、据统计，一个40岁的健康者在5年内死亡的概率为，保险公司开办五年人寿保险，条件是参加者需要交保险费元，若五年内死亡，公司赔偿元，问应如何确定才能使公司可望受益？若有个人参加保险，公司可望收益多少?49、对敌人防御地段进行100次轰炸，每次命中目标的炸弹数是一个随机变量，其期望值是2，方差是1.69，求100次轰炸中有180220颗命中目标的概率。50、若有把看上去样子相同的钥匙，其中只有1把打开门上的锁。用它们去试开门上的锁，设取得每把钥匙是等可能的。若每把钥匙试开后除去，求试开次数的期望。51、对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间上。求球的体积的期望。52、设服从几何分布，它的概率分布列为：，其中，求，。53、设离散随机变量的分布列为，求的期望。54、有3只球，4只盒子，盒子的编号为。将球随机地放入4只盒子中去。记为其中至少有1只球的盒子的最小号码。求。55、随机地掷6个骰子，利用切比雪夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率。56、已知正常成人血液中，每亳升白细胞数平均是7300，标准差是700。利用切比雪夫不等式估计每亳升男性成人血液中含白细胞数在5200至9400之间的概率。57、一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，相互独立且服从同一分布、其期望是2，标准差是0.05。规定总长度为时产品合格，求产品合格的概率。58、根据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。59、证明Cuchy-Swchz不等式，若 存在 ,则60、设r0，则当 E 存在时， ,有。61、若 则。62、设与都只取两个数值，且与不相关，则与独立。63、叙述并证明契比雪夫大数定律。64、若是取非负整数的随机变量，均存在，则。65、设的联合密度函数是，求证: 66、证明：对取值于区间中的随机变量恒成立，。67、设随机变量的方差存在，为任一实数，证明：68、设随机变量的密度函数为： ， 其中为正整数， 证明：69、若相互独立且同分布，试证： 对任意的有70、如果随机变量序列，当时有，证明：服从大数定律.71、设的密度函数是 ，证明与不相关，且不独立。72、设连续型的密度函数为 (其中为正整数)，试利用契贝晓夫不等式证明.73、设是独立随机变量序列，的分布列为X 0 =1,2, 证明：74、若的密度函数是偶函数，且，试证与不相关，但它们不相互独立。75、若的密度函数为，试证：与不相关，但它们不独立。76、若与都是只能取两个值的随机变量，试证如果它们不相关，则独立。77、若，试证的相关系数等于的相关系数。78、Pareto分布的为密度函数为，这里，试指出这分布具有阶矩，当且仅当。79、若的密度函数为，试证对于任何，。80、记，若，试证， 。81、试用母函数法证明二项分布及普阿松分布的再生性。82、若分布函数成立，则称它是对称的。试证分布函数对称的充要条件，是它的特征函数是实的偶函数。83、若随机变量服从柯西分布，而，试证关于特征函数成立着，但是与并不独立。84、若相互独立且服从相同分布，试证服从参数为的分布，并说明分布也有再生性。85、求证：对于任何实值特征函数，以下两个不等式成立：。86、随机变量的特征函数为，且它的阶矩存在，令，称为随机变量的k阶半不变量，试证（是常数）的阶半不变量等于。87、求证，在时有不等式。88、若具有有限方差，服从同一分布，但各间，和有相关，而是独立的，证明这时对大数定律成立。第四章 解答1、解：服从两占分布，由第二章第29题得，事件A出现奇数次=P事件A出现偶数次，所以，.2、解：设表取一球的号码数。袋中球的总数为，所以.3、解：由于是分布，所以应有，即。又由已知，即，, 。4、解：设表示抽出k张卡片的号码和，表示第i次抽到卡片的号码，则，因为是放回抽取，所以诸独立。由此得，对。，；，。5、证： .6、解：. .7、证：的联合密度为， （利用密度函数的积分值为1，减a再加a）（在前一积分中交换积分次序，在后一积分中交换x与y的记号） .8、解：令B表“从乙袋摸一球为白球”，表从甲袋所摸个球中白球数，则取值，服从超几何分布，且，考虑到若，则当时；若，则当时；而在条件概率定义中要求 由此得 .9、解：令，则，。由此类推得， 。又，。10、解：以表第i次测量值，由于受测量过程中许多随机因素的影响，测量值和物体真实重量之间有偏差，是独立同分布的随机变量，并有。测量记录的平均值记为，则， 。平均值的均值仍为，但方差只有方差的，而方差是描述随机变量对于其数学期望的离散程度，所以以作为物体的重量，则更近于真值。11、证：设是的密度函数，则。由是奇函数可得，从而。又由于是奇函数，得故与不相关。由于的密度函数是偶函数，故可选使，亦有，其中等式成立是由于。由此得与不独立。12、证：，同理。即与不相关。但与不独立，事实上可求得，而当且时，。13、证：设。作两个随机变量。由与不相关即得，而， ，由上两式值相等，再由得此即。同理可证，从而与独立。14、证：，。欲，题中需补设与同号。15、解：（一）证(1)a(2)，设（1）成立，即两两不相关，则 ，（2）成立。（二）(1)(3)。设，并设与独立，则（记）：，由第三章25题知，两两独立，从而两两不相关，满足（1）。而，这时，（3）不成立。（三）(2)(1)。设，则。，满足（2）。但显然两两相关，事实上由得与相关，（1）不成立。（四）(2)(3)。事实上，由(1)a(2)，(1)(3)得必有(2)(3)。（五）(3)(2)。设则再设与独立，从而的函数与也独立，我们有，满足（3）。但。（2）成立。（六）(3)(1)。事实上，由(1)a(2)，(3)(2)得必有(3)(1)。（七）当相互独立时，(1)，(2)，(3)同时成立。16、证：由题设得（令）令，则由，而得，即，变形得， 或，所以 。注意到，且与同号，即与同号，故得（其中）。17、证：由题设得用部分积分法，令，余下部分为，得。18、解：记，则， ， ，。19、解：。当为偶数时当为奇数时。20、解：。，所以输出中含有输入的信息量H（入）H出（入）为H（入）H出（入）H（出）H入（出）。21、解：需要确定其结局的实验有24个可能结局，即12个是假球，且它比真的轻或重。若认为全部结局是等概的，则实验的熵，即需要得到个单位信息。由称一次（随便怎样的）所构成的实验，可以有3个结局（即天平可以向右斜或向左斜或保持平衡），进行次复合试验后，可得到不大于的信息，而，所以至少得称三次才可以称出假球，且判明它比真球轻或重。具体称法共有十几种，详见雅格洛姆著：“概率与信息”，这里仅取一法叙述如下：第一次称：天平两端分放1、2、3、4和5、6、7、8，下余I、II、III、IV。（A）若第一次称时平衡，则假球在I、II、III、IV中。第二次称：天平两端分放I、II和III、1，注意1是真球。（AA）若第二次称时平衡，则IV是假球；再把1和IV分放天平两端称第三次，可判别假球IV比真球1轻或重。（AB）若第二次称进I、II较重（或轻），第三次称：天平两端分放I和II。（ABA）若第三次称时平衡，则II是假球，且比真球较轻（或重）。（ABB）若第三次称时不平衡，则与（AB）中同重（或轻）的那球是假球，且它比真球较重（或轻）。（B）若长一资助称时1、2、3、4较重，则假球在天平上。第二次称：天平两端分放1、2、5和3、4、6。（BA）若第二次称时平衡，则7、8中之一为假球，由第一次称的结果知假球较轻，再把7和8分放天平两端称第三次，即可假球。（BB）若第二次称时1、2、5较重，则或1、2中之一为假球，且它比真球较重，或6是假球且它比真球较轻。第三次称：天平两端分放1和2。（BBA）若第三次称进平衡，则6是假球且比真球轻。（BBB）若第三次称时不平衡，则较重的一球是假球，且它比真球重。（C）若第一次称时5、6、7、8较重，则只需把（B）中编号1、2、3、4与5、6、7、8依次互换，即得称法。22、解：巴斯卡分布为。其母函数为。，。23、证：设，。则的母函数为。同理可得的母函数为，的母函数记为。以表示成功次数，则，本题认为与独立，得的母函数为。同理，以表示失败次数，则，其母函数为。必要性。设与独立，则由得。因为，所以若记上式左边的变量分别为，可得。令，则上式变成。利用教本P97引理可得。即的母函数，这是普阿松分布的母函数。由于母函数与分布列之间是相互唯一确定的，所以得是服从普阿松分布的随机变量。充分性。设服从普阿松分布，参数为，则。同理可得 。又有。再由的任意性即得证与独立。24、证：（1）设的母函数为，的母函数为。而，所。由此得其中。（2）直接计算。由题设得利用得 。记，利用及得最后，再利用得。25、证：必要性。由得，此即，所以对特征函数有，由此知是实函数。又有，所以又是偶函数。充分性。由于，又由题设知是实函数，所以。由唯一性定理知，与的分布函数相同，即，从而。26、解：。当时；当时。27、证： （1） 考虑复变函数的积分，当，取为上 y 半圆周和实轴上从到 c的围道（如图），若位于上半圆周上，则 x，有 -R 0 R （2）对有 。由及题设得，所以对有 （当时） （3）在上半平面上，仅有是被积函数的一阶极点，由复变函数中留数定理得，对任何有 （4）其中把（2），（3），（4）代入（1）式得 （5）由于 ，是的奇函数，它在上积分值为0；是的偶函数，当时，其积分值应与时积分值相等；再注意到（5）中右端，所以当时有 （6）当时有 （7）把（5）（7）代入（1）式得，对任意有。现证柯西分布具有再生性。设的特征函数为，再设与独立，则，所以仍服从柯西分布，且参数为。28、证：由上题得，所以由得。但与并不独立，事实上，可取使，则，这说明由与独立可推得，但反之不真。29、解：（1）指数分布。当时，其密度函数为，所以它的特征函数为，其中。（2）分布。当时，其密度函数为，为求其特征函数，我们指出，对复数，只要，就有如下等式成立：。利用此式可求得分布的特征函数为。现证分布具有再生性。设，则它们的特征函数分别为，再设与独立，则有，所以服从分布，分布具有献策性。30、证：是实值函数，复数部分为0，只需对实部计算。，其中利用柯西许瓦兹不等式（置）。31、证：。由于，所以关于乘积测度绝对可积，由富比尼定理知可交换上式中积分次序，得。记，则当时有 ，当时有 。由此得，且。由控制收敛定理得。32、证：由得，亦有。当时，等式两边同对求阶导数，一项导数为0所以由定义得的等于的。33、解：利用特征函数的原点矩之间的关系式，可把展成幂级数 （1）又利用上题中定义的，可把展成幂级数。 （2）再把（2）中的展成幂级数得。 （3）比较（1）与（3）式中的系数，可得半不变量与原点矩之间的关系式34、解：由诸独立得的密度函数为，数学期望和协方差阵为， 。由上题知，所以的分布密度为。35、解：取。令，其中，则与的特征函数分别为，且有，即。矩阵不唯一，取可解得，从而，这时满足题中的要求，由得非退化，且的密度函数为。36、证：设，独立同方差，其协方差矩阵和特征函数分别为，。再设，其中是正交矩阵，即满足， 。由此得，其特征函数为，即的协方差矩阵为，利用C的正交性计算得矩阵中都是对从1到求和的。由协方差矩阵知，的各分量间两两不相关且同方差，再由正态分布间相互独立的充要条件是它们两两不相关得，相互独立且同方差。37、解： (1) 的边际分布是: (2)同理 给定的条件密度 38、解: 由x 的取值特征有: ， 又 联立解得 39、.解: 独立 40、解：设旅客等车的时间为，它是随机变量 故服从参数是8的指数分布，即的密度为 平均等车时间为 41、解： 设园盘直径为 则 园盘面积 由于 42、解：设为所需时间，则，于是的密度函数 , 所以 , 所以发现沉船所需的平均搜索时间为 43、解:1) x12341203004000 2) 44、解： 互不相关 故 45、解： 1) x012301020030002） 46、解： (独立) ， 故 47、解：设表示送客汽车在站是否停车，则其分布为01p 故总停车次数为 48、解：设 为公司从一个参加者身上获得利益则 为一个分布列为 公司期望获益有 对个人公司获益为 49、解：设第次轰炸命中目标的次数为则100次轰炸命中目标的次数 为 50、解：设第次打开门，。的可能的取值为。，依次下去，有X1 2 3 因此，的分布列为 故 。51、解：设球的直径为，其概率密度为，球的体积，它的期望为52、解：53、解：的可能值为：，； ； 故.54、解：的可能值为1，2，3，4。，。又因，。故，。故知。55、解：设为第个骰子出现的点数，它们相互独立。为6个骰子出现的点数之和，即。则故 。由切比雪夫不等式 56、解：设每亳升正常男性成人血液中含白细胞数为，由题设知。由切比雪夫不等式57、解：设第第部分长度为。相互独立且服从同一分布。，故由中心极限定理，产品合格的概率为58、解：设第只元件的寿命为，则独立且服从指数分布，且故59、证明: 令，对于一切； 所以, 故即： 至多只有一个实根 从而 证毕 60、证: 设 的分布函数为，因为： 存在 故 61、证： 62、证： 设 由于不相关 即得 即 ，故独立。 63、证： 切比雪夫大数定律是: 若是两两互不相关的随机交量序列，且存在常数，使 ，则 证明: 由切比雪夫不等式知： (用到了 互不相关性) 证毕64、证： 设的分布列: 而 65、证： 66、证：设是的分布函数， 即: 67、证： 68、证： 因 故 69、证：因 ， 故 70、证：取 则 即 故服从大数定律 71、证：先求边际分布。 类似 再求 由于均为偶函数 与不相关 最后，由于 72、证： 73、证：，故。从而，由切比雪夫不等式74、证：设是的密度函数，则。由是奇函数可得，从而。又由于是奇函数，得故与不相关。由于的密度函数是偶函数，故可选使，亦有，其中等式成立是由于。由此得与不独立。75、证：，同理。即与不相关。但与不独立，事实上可求得，而当且时，。76、证：设。作两个随机变量。由与不相关即得，而 ， ，由上两式值相等，再由得此即。同理可证，从而与独立。77、证：，。欲，题中需补设与同号。78、证：。当且仅当，即时上式积分收敛，存在。当时，。79、证：对，由于，所以存在，使当时，此时 ，。80、证：即对任意成立。又，所以判别式，即，从而有。依次令得其中。把这些不等式中前个的左右两边分别相乘化简得，两边同开次方，即得 。81、证：（1）设，则它们的母函数分别为, 。再设与独立，则的母函数为二项分布的母函数为，由于母函数与分布列之间是相互唯一确定的，由此即得服从，即二项分布具有再生性。（2）设分别服从参数为的普阿松分布，其母函数分别为。再设与独立，则的母函数为 。所以服从参数为的普阿松分布，普阿松分布具有再生性。82、证：必要性。由得，此即，所以对特征函数有，由此知是实函数。又有，所以又是偶函数。充分性。由于，又由题设知是实函数，所以。由唯一性定理知，与的分布函数相同，即，从而。83、证：由上题得，所以由得。但与并不独立，事实上，可取使，则，这说明由与独立可推得，但反之不真。84、证：记的分布函数为，则当时；当时，利用对参变量积分求导法则，对求导可得的分布密度当时；当时 。把此式与分布密度比较可知，服从自由度为1的分布，也就是服从分布。由间独立得间也独立，利用上题结论可得服从分布，即自由度为的分布。再由上题中分布具有再生性可得，这里分布也具有再生性。85、证：是实值函数，复数部分为0，只需对实部计算。，其中利用柯西许瓦兹不等式（置）。86、证：由得，亦有。当时，等式两边同对求阶导数，一项导数为0所以由定义得的等于的。87、证：当时有所以不等式成立。88、证：因为是独立的，所以
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