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2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1已知，那么的大小关系是 （ C ）A. B. C. D.解答：，由显然：2方程的整数解的组数为 （ B ）A3. B4. C5. D6.解答：由0、1、2、3、4、5、6的平分别是0、1、4、9、16、25、36知唯有16+29=34故得共4组解。3已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ D ）A B C D解答：如图，做GHBE于H，易证RtABERtGHB，设GH=a，则HE=a，BH=2-a，由，故BG=。4已知实数满足，则的最小值为 （ B ）A. B0. C1. D.解答：考查以ab整体为自变量的函数的图像为抛物线其对称轴为由知又，故当时，函数取最小值0。5若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为 （ B ）A0. B. C. D.解答：方程两个不相等的实数根故。满足故=由得即=4 整理得 解得 .6由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有 （ C ）A36个. B40个. C44个. D48个.解答：分为4类：1）由同一个数字组成 如1111 共4个数2）由两个不同数字组成 如1221 1122 2112 2211 而从4个数里面取2个共六种取法故此类 可构成46=24个数3）由三个不同数字组成 如1232 3212 2123 2321 此类只有两种组合即1+3=2+2和2+4=3+3故可构成24=8个数4）由四个不同数字组成 如1243 1342 4213 4312 2134 2431 3124 3421共8个综上所有的数共4+24+8+8=44个二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1已知互不相等的实数满足，则解答：由得， 整理得即同理得：若，则为二次方程的解这与互不相等矛盾，不满足题意，故即2使得是完全平方数的整数的个数为 1 解答：=，由题知为完全平方数，故设1）若得2）不合题意。综上符合题意的只有一个。3在ABC中，已知ABAC，A40，P为AB上一点，ACP20，则解答：如上图，作ADBC于点D，交CP于点F，在AD上找点D，使ECD30，如上图，12=BAC=20，3=204=70-20-30=20AF=FC,APFCEF.在RtDEC中，故4已知实数满足，则解答：同理：故化简得：解得：由得：第二试 （A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以. 根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以，因为均为整数且，所以只可能是解得所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为. 二（本题满分25分）如图，PA为O的切线，PBC为O的割线，ADOP于点D.证明：.证明：连接OA，OB，OC. OAAP，ADOP，由射影定理可得，. 又由切割线定理可得，D、B、C、O四点共圆，PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD，. 三（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是ABC的外接圆的切线.设M，若AM/BC，求抛物线的解析式.解 易求得点P，点C.设ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，又AB的中点E的坐标为，所以AE.因为PA为D的切线，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 又由DADC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）. 又因为AM/BC，所以，即. 把代入解得（另一解舍去）.因此，抛物线的解析式为. 第二试 （B）一（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以. 根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以， 因为均为整数且，所以只可能是或解得或 当时，三角形的外接圆的面积为；当时，三角形的外接圆的面积为. 二（本题满分25分）如图，PA为O的切线，PBC为O的割线，ADOP于点D，ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：BAEACB. 证明：连接OA，OB，OC，BD.OAAP，ADOP，由射影定理可得，.又由切割线定理可得，D、B、C、O四点共圆，PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD， ，. 又BDABDP90ODC90ADC，BDAADC， BADACD，AB是ADC的外接圆的切线，BAEACB.三（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试 （C）一（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同. 二（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同.三（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且QBOOBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即，所以点P，点C.设ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，又AB的中点E的坐标为，所以AE. 因为PA为D的切线，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 又由DADC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）. 将抛物线向左平移个单位后，得到的新抛物线为.易求得两抛物线的交点为Q. 由QBOOBC可得QBOOBC.作QNAB，垂足为N，则N，又，所以QBO.又OBC，所以.解得（另一解，舍去）.因此，抛物线的解析式为.