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高数上册复习考试2009年12月15日第一章 函数与极限一、 函数1认识一些常用函数和初等函数。2求函数的自然定义域。二、 极限1极限的计算（1）善于恒等化简和极限的四则运算法则（2）常用的计算方法（a）常用极限， （）， （）， = 1 （）。（b）一些常用的处理方法(i)分子分母都除以n的最高次幂。例如： = ， = = (ii)根号差的消除。例如： = ， = (iii)指数函数的极限。 = (。(iv)利用指数函数的极限。当=1时， = = = (v)转化为函数的极限可以用洛必达法则。 = (vi)利用两边夹原理。把分别缩小、扩大一点点得简单的、，使容易求得，则。（c）当用递归式给出时（i）用数学归纳法证明是单调有界的，从而存在；（ii）对的递归式两边取极限得关于的方程，再解出。（d）记得一些等价关系当 = 0 时，1，（3）函数极限的计算（a）（2）中常用的计算方法对函数的六种极限都仍然适用。（b）如果已知在x0点连续，则 = 。（c）记得一些等价关系。（lim表示六种极限之一）当 = 0 时，1，（d）（lim表示六种极限之一）当=1时， = = = （e）利用两边夹原理。把分别缩小、扩大一点点得简单的、，使容易求得，则。（f）不定式的极限（lim表示六种极限之一）(i)当极限是或型的不定式时，可用洛必达法则： = （洛必达法则可以反复应用，但每次应用都要先检查类型。）(ii)对于0型的不定式，先变形，再用洛必达法则。= = = = (iii)对于00、0型的不定式。 = = = = (iv)对于型的不定式，先计算成一个式子再计算。（g）如果，则。2极限的证明（1）证明 = A 的格式证 ，（打草稿从不等式解出（必要时将放大一点点得一个简单的，再从解出） （*）取。当时，（由正确推出（一般是（*）的倒推）故 = A。证明 = A 的格式证 ，（打草稿从不等式解出（必要时将放大一点点得一个简单的，再从解出） （*）取。当时，（由正确推出（一般是（*）的倒推）故 = A。（其它类型极限的证明格式完全类似。）（2）证明 存在但不管它是什么。用数学归纳法证明单调并且有界，再根据单调有界原理得出结论。三、连续性和间断点1在点连续要证明在点连续就是要证明；如果是分段点，则要证明。2间断点。（1）找间断点如果在的两边都有定义但没有定义，则是的间断点；分段函数的分段点可能是它的间断点。（2）间断点分类（a）如果是的间断点并且和都存在，则是第一类间断点。（b）如果或至少有一个不存在，则是第二类间断点。（c）如果存在（即都存在），但没有定义或，则是可除间断点。重新定义可使变成连续点。3闭区间上连续函数的性质 （1）零点存在定理。（2）介值定理。（3）最值定理。第二章 导数与微分一、导数的计算1 用定义计算导数 当要求导的函数不是初等函数时，比如分段函数的分段点或函数没有具体表示式时，直接用定义计算它在点的导数。2 用求导公式计算导数 当要求导的函数是初等函数时，用求导公式和复合函数求导法求导数。要记熟用熟相关公式。3 复合函数求导（1）一次复合 如果，则（2）多次复合如果，则更多层次的复合函数的求导方法类推。4 隐函数求导（1）一阶导数的求导步骤：（a）把看成的函数时，是一个恒等式；（b）用复合函数求导方法对恒等式两边对求导（求导时记得中有）得新的恒等式； （c）从解出=。（2）要求二阶导数时，有两种方法：（a）用复合函数求导方法恒等式两边对求导（求导时记得和中都有）得新的恒等式，再从解出=，最后代入=得=。（b）用复合函数求导方法恒等式=两边对求导（求导时记得中有）得=，最后代入=得=。更高阶导数的求导方法类推。5 参数表示的函数求导（1）表示的函数在点的一阶导数（2）要求二阶导数时，可对表示的函数再次求导：更高阶导数的求导方法类推。6 对数求导法）二、高阶导数1 常用函数的高阶导数其中。2 莱布尼茨公式与二项式公式完全类似。 特别注意：当是低次多项式时，公式中的项数很少，非常简单。三、微分的计算1 函数在点的微分2当复合函数时，微分公式也是3，否则不可微。四、可导、可微、连续的关系可导可微连续但连续的函数不一定可导、可微。例如：y=|x|，x=0点。第三章 微分中值定理与导数的应用一、导数的意义是曲线在点切线的斜率；如果是路程函数，则是在时间时的速度；如果是速度函数，则是在时间时的加速度。二、中值定理1 费马定理如果是的极值点，并且存在，则= 0，即是驻点。 费马定理是中值定理的基础。2 罗尔定理条件：结论：至少存在一点使得=0。罗尔定理的三个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：；=；=。3 拉格朗日中值定理条件：结论：至少存在一点使得=。拉格朗日中值定理的两个条件，如果缺少一个，结论就得不到保证。例如：；=。 如果在内可导，则存在使得其中是的分比。这就是有限增量公式。4 柯西中值定理条件：结论：至少存在一点使得=。5 中值定理的证明题。方法是凑一个函数应用相应的中值定理。注意到：中有一项多一部分。三、泰勒公式1 泰勒公式其中余项的主要形式有（1） 拉格朗日余项，（在与之间）（2） 皮亚若余项。如果，则，用次泰勒多项式近似代替产生的误差估计为2 为备用，熟记一些常用函数的麦克劳琳公式（的泰勒公式）3 用间接法写函数的泰勒公式（1） 作变换：=；（2） 写出关于的麦克劳琳公式：（a） 适当恒等化简，把某组东西看成一个整体，使函数变成麦克劳琳公式已知的函数；（b） 利用已知写出麦克劳琳公式；（c） 整理。（3） 代回变量。4.用函数的泰勒公式求极限.四、求极值、最值1 极值问题（1） 极值点的范围 根据费马定理，极值点的范围：全部导数不存在的点和= 0的全部解。（2） 求极值的步骤（a） 求出不存在的全部点：； 求出= 0的全部解：。（b） 逐点用或判断是否极值点，是极大值点还是极小值点；逐点用或定义判断是否极值点，是极大值点还是极小值点。一定要有明确的结论。用判断：用判断：（c） 必要时求出极值。2 求最值（1）一般情况（a）最值点的范围 最值点的范围：全部导数不存在的点和= 0的全部解以及端点。（b）在上求最值的步骤（i）求出不存在的全部点：； 求出= 0的全部解：。（ii）相应的点为相应的最值点。（如果求最值的区间是、或，则没有的端点就不在考虑之内。）（2）特殊情况如果（i）根据问题的实际能判断得知的最大（小）值肯定在内取得；（ii）在内不存在或= 0只有一个点。则就是的最大（小）值点。五、单调区间，凸性、拐点，渐近线1单调区间求单调区间的步骤：（1）求出不存在和= 0的全部点：。以为分点分成个小区间；（2）在的小区间中（严格）单调上升；在的小区间中（严格）单调下降。2凸性、拐点求凸性区间、拐点的步骤：（1）求出不存在和= 0的全部点：。以为分点分成个小区间；（2）用判断每个小区间的凸性：（3）如果左右两边的凸性相反，则是拐点；如果左右两边的凸性相同，则不是拐点。3渐近线（1）垂直渐近线如果，则是的垂直渐近线。（可能不只一条。）（2）斜渐近线（包括水平渐近线）如果， 则是的渐近线。4曲率和曲率半径第四章 不定积分1 原函数如果，则称为的一个原函数。2 不定积分的概念固定的随便一个原函数，的全部原函数称为的不定积分其中是任意常数，称为积分常数。因此3 不定积分的计算（1） 概说计算就是要找到的随便一个原函数，然后就得（2） 初等函数不定积分的计算（a）首先要记熟用熟基本积分表和常用的积分表。（b）千方百计地把要做的积分化为积分表中的积分。（i）利用线性性计算不定积分（ii）第一换元法快速的第一换元法就是凑微分法：（iii）第二换元法找一个适当的变换，则换元法的意义在于右边的积分比左边的积分简单。第二换元法主要用来解决一些积分困难。比如根号等。困难分母指数大变换什么难住你，就用换元法除掉它！（iv）分步积分法原则：。如果经几次分步积分又出现左边的积分，就用代数方法解出。（v）当有时如果有实根，则拆开成两项如果没有实根，则先配方（vi）有理函数的积分假分式（）先用多项式除法其中是多项式，。真分式（）分解因式（设的最高次系数是1）待定系数分解把上式右边形式地加起来，比较两边系数得一个方程组，解此方程组得待定系数的值，代回上式即分解成功。变成几个简单积分 然后递推。有理函数的积分总可以积出来。但比较麻烦，应用作最后一招。（vii）万能变换，其中是有理式。由于麻烦，万能变换应用作最后一招。（viii）的计算a) 当是奇数时，；当是奇数时，；b) 当都是偶数时，。不定积分技巧性强，方法灵活。要一切方法综合运用，一切通过试！第五章 定积分一、 定积分的概念1 定积分定义的四步（1） 分割：。（2） “近似”：，。（3） 求和：。（4） 取极限：补充定义2 定积分的几何意义（1） 当时， = 由“”围成曲边梯形的面积。（2） 当时， = 由“”围成曲边梯形的面积的负值。（3） 当可正可负时， = 由“”围成曲边梯形面积的代数和。（4） 当是速度函数时， = 物体从时间到时间的运动路程。二、 定积分的性质1线性性2可加性不管哪个大哪个小，积分能做就行。3单调性，4积分估计 5积分中值定理其中在上连续。三、 上限的函数上限的函数是的一个原函数四、 定积分的计算1牛顿-莱布尼茨公式其中是的随便一个原函数。因此，先用不定积分算出的原函数，再用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分。2换元法其中是适当选好的变换，上下限跟踪。左右相等，哪个容易计算就计算哪个。定积分换元法也可解决一些积分困难。3分步积分法，原则：。如果经几次分步积分又出现左边的积分，就用代数方法解出。4当是奇函数时五、 反常积分1无穷限积分极限（都）存在时积分收敛；否则积分发散。完全没有关系。可以是0。2无界函数积分无界函数按通常意义积分都是发散的。如果在附近无界，则称为的一个瑕玷。，其中是在积分区间上唯一的瑕玷，上限大于下限。其中和是在积分区间上仅有的瑕玷，。极限（都）存在时积分收敛；否则积分发散。完全没有关系。当积分区间中有几个瑕玷时，以这些瑕玷为分点，分成几个小区间的积分。3反常积分也可换元或分部积分。4 ，。5反常积分审敛。（1）如果收敛，则必收敛，称为绝对收敛。以下设为非负函数。（2）收敛的充要条件是在有界。（3）如果在恒有，则（i）收敛则也收敛；（ii）发散则也发散。（4）设，则（i）如果，则和同敛散；（ii）如果且收敛，则也收敛；（iii）如果且发散，则也发散。（5）在（3）、（4）中使用并注意到4.。（6）无界函数的审敛与（1）-（5）类似。在（5）中用代替。第六章 定积分的应用1微元法定积分的应用就是用定积分计算某个量其中是的分布区间。微元法的步骤是：（1）找出的分布区间。在上任给和它的增量。在分布的部分量是的函数。（2）计算出在上的分布量所以微元与相差。（3）对两边积分2面积的计算（1）两曲线间曲边梯形的面积如下图，。面积 （2）极坐标情形如下图，“”围得图形的面积 如果图形由“” 围成，则其中是“” 的面积；是“” 的面积。如右图。 由直角坐标方程写极坐标方程的方法：把代入曲线的直角坐标方程得，再从后式解出即是曲线的极坐标方程。3体积的计算（1）旋转体的体积设旋转的曲边梯形为“”，如右图。（a）绕轴旋转 所在长方形转出的是一个半径为高为的圆柱体。所以（b）绕轴旋转所在长方形转出的是一 个内径为外径为高为的空心圆柱壳。所以（2）截面面积可计算的几何体的体积设几何体分布在轴的之间，点处垂直于轴的截面面积都可计算，则几何体的体积其中要首先计算出来。4曲线弧长的计算（1）设曲线(右图)方程为参数方程。 因此，弧长元素或说弧长微分弧长 （*）（2）设曲线方程为，则它的参数方程（为参数）为因此弧长（3）设曲线方程为极坐标方程，则它的参数方程为代入（*）得弧长5定积分的物理应用（1） 设曲线在点的线密度为，则曲线的质量。（2） 设物体从运动到，受到外力，则外力做的功。（3） 当长度为（液面为0）的面垂直放在液体中时，液体对面的压力，其中为面在点的宽度，为液体的密度。（4） 质量的线段对放在原点质量的引力为。（5） 设曲线在点的线密度为，则曲线的静力矩质心坐标。（6） 设曲线在点的线密度为，则曲线的转动惯量（7） 交流电的有效值。函数在的平均值，均方根值。第七章 微分方程一、 微分方程及有关概念1微分方程 含有未知函数一阶或高阶导数的等式称为微分方程。其中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶。阶微分方程的一般形式为 (*)2微分方程的解 一个函数，如果代入（*）成为恒等式则称为（*）的解。如果（*）的解不含有任意常数，则称它为（*）的一个特解。如果阶（*）的解含有个不可减少的任意常数，则称为（*）的通解。通解一定是微分方程的解，但不一定是全部解。3微分方程的核心问题：（1）求微分方程的通解，称为通解问题；（2）求微分方程满足一定条件（称为初值条件）的解，称为初值问题。 单独一个微分方程提出通解问题；初值问题的提法是 （*）(后个等式是初值条件）。 求微分方程的解（通解或特解）称为解微分方程。1 初值问题的解法（1） 求出微分方程的通解；（2）用个初值条件确定个任意常数的值，即解关于的方程组把这些的值代回即得满足初值条件的解（这步是代数问题）。 可见，不管是解通解问题还是解特解问题，都要求微分方程的通解。 记住：一般地说，解微分方程是世界难题。只有几种特殊类型的微分方程已有简单可行的解法。并且，不同类型的微分方程有自己独有的解法。我们的任务是：（1）辨认各种方程的类型；（2）熟练各种类型方程独有的解法。二、辨认类型，熟练解法1已分离变量的微分方程称为已分离变量的微分方程。解法：(注意：不定积分的结果有任意常数)2可分离变量的微分方程 如果一阶微分方程 （*1）能通过恒等变形化为 （*2）则称为可分离变量的微分方程。 解法：（1）分离变量（从（*1）到（*2）称为分离变量）；（2）隐式通解其中积分的任意常数已单独写出。 记住：分离变量解微分方程的方法是微分方程解法的总根。2 齐次方程如果方程能恒等地变为 (*3)则称为齐次方程。解法：作函数变换，则代入（*3）得方程分离变量再两边积分得其中，常数统一写在右边。代回得隐式通解3 一阶线性微分方程称为一阶线性微分方程。解法：通解公式其中的不定积分不再写任意常数。 注意：有的方程把看成的函数时不是线性方程，但把看成的函数时就成了线性方程。6贝努利方程称为贝努利方程。 解法：（1）变形（2）作变换，变为线性方程则即7不含的二阶方程 解法：（1）作变换，变为一阶方程（2）用一阶方程的解法解得（3）再用一阶方程的解法解8不含的二阶方程 解法：（1）作变换，用作新的自变量，变为一阶方程（2）用一阶方程的解法解得（3）再用一阶方程的解法解10二阶常系数线性方程 解法：（1）求出特征方程的两个根；（2）根据下表确定通解的情况通解都是实根是实根是复根 常系数线性方程有往高阶的推广。11常系数非齐次方程 （*4）其中是次多项式。 解法：（1）确定解的形式：，其中是次多项式，是特征多项式的重根，；（2）待定系数地设把代入（*4）并比较两边同次幂的系数得关于方程组，解出就得（*4）的一个解；（3）求出的通解；（4）（*4）的通解为12常系数非齐次方程 （*5） （*6） 解法：（1）利用欧拉公式，（*5）和（*6）的右边相加得（*4）型的方程 （*7）（2）用11法解之得（*7）的复通解其中和都是实函数；（3）是（*5）的通解，是的通解。13欧拉方程解法：作变换。三、线性微分方程解的结构1线性微分方程解的结构 设都是齐次方程 （*8）的解，则也是（*8）的解；如果不是常数，则是（*8）的通解。 如果是（*8）的通解并且是 （*9）的随便一个特解，则是（*9）的通解。2叠加原理 （1）如果是 的解，则是的解。把一个复杂的方程化为两个简单的方程。（2）如果是的解，则是 的解，j=1,2。把两个不会解的方程化为一个会解的方程。四、常数变异法1、设已知齐次方程（*8）的一个不恒为0的解。令以求非齐次方程（*9）的通解。2、设已知齐次方程（*8）的两个线性无关解和。令，解以求非齐次方程（*9）的特解。五、相关题目1根据题目的内容列出微分方程(和初始值条件)；2求二中各种类型微分方程的通解；3求二中各种类型微分方程的初值问题的解；4用三中的叠加原理把方程化为几个简单方程，再求总方程的一个特解；5用三中线性微分方程解的结构组成（*9）型方程的通解。6利用常数变异法求方程的特解。结束语拿出高考的干劲，100分没问题。祝你考得100分！