高数下总复习题解.doc

高等数学（下）总复习题解1. 给出下列方程的特解形式，不必解出结果： （1） （2） 解. （1） （2）设是的特解, 设是的特解, 则方程的特解设为:2. 求下列方程通解： （1） （2） （3）解 （1）原方程整理为： （2）原方程整理为： （3）特征方程：特征根为： 对应齐次方程的通解为 所给方程自由项 设是：的一个特解 是的一个特解可求得， 原方程的一个特解为 原方程的通解为=+3. 设可微，且。现已知，x轴，y轴及x轴上经过点的垂线所围成的图形的面积值与曲线在上一段弧长的值相等，求解. 由题设，得：求导：记为则有 ，通解：，由， 整理得： 4. 设z=arctg+ln(x2+y),求dz。解 其中 5. 设Z=(x2y,)有二阶连续偏导数，求 6. 设=ln求.解 原方程变形为： 方程两端求x导数,得: 方程两端求y的导数,得: 7. 求函数z=2x2+y2在点M(1,1)沿y=x的垂线方向的方向导数.解 直线的垂线方向可取：， 8. 求球面x2+y2+z2=9/4与椭球面3x2+(y-1)2+z2=17/4交线上对应于x=1的点处的切线与法平面方程。解 当时， 设对应的切线的切向量为 满足方程： 解得： 过的切线方程：, 法平面方程 类似可求处的切线，法平面方程。(略) 9. 证明：曲面()=0上任一点处的切平面过一定点。解 设，则过P点的切平面的法向量：整理后,可以取 =切平面: 可以看出,点在该切平面上。故结论成立.10. 求点P（2，8）到抛物线=4的距离。解 不妨设目标函数 条件为： 作辅助函数 解得：， 解得： 最小值点为（4，4） 注：本题中直接要求的距离函数是:与解法中的有相同的极值点，但的表达式更便于数学上的处理，比如求比d的导数要简单些。11. 求旋转椭球面x2+y2+=1在第一卦限部分上的点，使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小。解 设所求点为过P的切平面方程为： 切平面在三个坐标轴上的截距分别为: 目标函数 约束： 令： 解方程组 解得， ，所求点为. 12. 设M为椭球面: 上位于一卦限的点，其切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小，求M点。解 设， 过M的切平面方程为： 目标函数 条件： 令： 解方程组：(常数)得,将其代入条件方程，解得,当，时,即M为()13. 更换积分顺序：（1）I= （2）I=（3）I=解（1）如图示(图略,下同) （2）如图 （3）如图示 14. 计算二重积分I=D：以（0，0），（1，1）和（0，1）为顶点的三角形。解 15. 计算二重积分I=解 I 16 计算I=，其中：x2+y2z2,x2+y2+z2R2,z0.解 I 17. 求由曲面z=x2+2y2及z=3-2x2-y2所围立体的体积。解 该立体在yoz面的投影如图示，曲面和的交线（消z）在柱面：上 该立体在xoy面上的投影区域为D： = 18. 将三重积分I=分别用直角坐标、极坐标、球面坐标化为累次积分，其中：x2+y2+z24, z。解 积分立体在yoz平面上的投影如图示。曲面和的交线（消z）在（柱面）上： 在xoy平面上的投影区域为 I19. 求球体x2+y2+z2R2与x2+y2+z22Rz的公共部分体积.解 法1 = 法2 = 法3 20. 已知三次积分:I= (1).确定在柱面坐标下和球面坐标系下的三次积分; (2).任选一种计算I值.解 积分立体在xoy面和yoz面的投影区域，如图示 （1） （2） 21. 将I=（其中是由z2=x2+y2,z=1所围成的立体）分别表为直角坐标、柱面坐标、球面坐标系下的三次积分。解 22. 计算I= 其中是x2+y2+z2=a2与x=y相交的圆周。解 上任一点满足： 注：是半径为a的圆。 23. 计算I=，其中C是以O（0，0）、A（1，0）、B（0，1）为顶点的三角回路。解 24. 计算I=其中为立体的边界曲面。解 如图示 , :z=1 (,: 上 25. 计算I=，是由z=被x2+y2=2x所截部分。解 在xoy平面的投影区域 26. 求球面在柱面内部的表面积。解 球面 在xoy面的投影均为 且或上，由对称性27 用几种不同的方法计算I=，其中C是起点O（0，0），终点为A（2，0）的上半圆周: 直接计算法公式：设C的参数方程且起点、终点对应的参数值分别为，则： 解 法1 利用C的坐标方程：，可写出C的参数方程。 法2： 计算略 法3：计算略间接计算法格林公式： 注1：当沿着C的正向行进时，区域D在“行者”的左手，取“+”。 注2：当C不是闭曲线时，需增加辅助路径；通常选平行于坐标轴的直线段为辅助路径。 法4：注3 本题中由于因而还可选择以下的间接计算法 准备知识：单连通区域D上有一阶连续偏导数，以下四个结论等价：（） （） （）的值与路径无关（只与起、终点有关）。 （）存在，使 且 法5 可设，使 且 则28. 计算I=，其中C是摆线且参数增加的方向为积分路径的方向。解 如图 增加辅助路径：。 则： 29 计算I=，其中C是以（1，0）为中心，R为半径的圆周（R1），方向取逆时针方向。解 注R = 1圆周经过原点，积分无意义。 情形1 情形2 （原点在圆盘内） 设辅助积分路径 的大小满足包含在圆盘之内）正方向取为顺时针方向。 则： 注：C包含的区域内包含原点不满足Green公式条件 30. 设有连续的二阶导数，且满足其中C为平面第一象限内的闭曲线，已知求。解 由已知， 令 （一阶非齐次线性方程） 解得： 由，得 由得 31. 已知求使与路径无关，并求A为（0，0）、B为（1，1）时的积分值。解 由积分值与路径无关，得 解得： 由 32. 设函数二阶连续可导，且，试求的表达式，使微分方程是一个全微分方程。解 33. 计算I=，其中是球面的外側。解 34. 计算I=，其中是曲面的上側。解 如图(略)，增添辅助曲面 则 (注)35. 计算I=为的上側。解 辅助曲面 正侧为下侧：则 又注 这里用到了三重积分的对称性:是正园锥,它关于yoz平面对称，且被积函数，关于x变元”奇”对称， . 类似有36. 计算I=,其中为曲线绕轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与轴正向的夹角恒大于。解 增加辅助曲面，正侧为右侧。 又= 37. 判断或填空： （1）若（），且级数收敛，则级数也收敛。 （2）若级数发散，则级数也一定发散。 （3）级数的部分和有界，级数一定收敛。 （4）一般项趋于零是级数发散的_条件。 （5）若级数和级数发散，则一定发散。 （6）若级数和级数都发散，则一定发散。 （7）若级数绝对收敛，则若级数一定条件收敛。解（1）比较法则只对正项级数成立。（） （2）否则由收敛收敛。（） （3）正项级数的部分和Sn有界级数收敛（） （4）既非充分也非必要条件。 （5）（） （6）否则：而和收敛收敛。（） （7）绝对收敛与条件收敛是互斥的。（）。 38. 判断级数的敛散性（1）；(2）(3）（4）(5) 解 （1）收敛 （2）与同敛散收敛 （3） 而 收敛收敛收敛 （4）且时，级数发散。 当时，级数收敛。（5） 收敛 39. 判断级数（k为自然数）和的敛散性。解 (1) (2) 收敛 40. 将lnx展为的幂级数，并求其收敛域。解 41. 求幂级数的收敛域与和函数解 设 先求的表达式及收敛域 即 42. 将展为x的幂级数，并求其收敛域解 收敛域: 且即。 43. 求幂级数的收敛域与和函数。解 先令 则： 44. 求级数的和解 设 则： 记 则 所求级数的和 45. 设级数收敛，试证级数将收敛证明 而和收敛收敛也收敛。 46.设，它的正弦级数为，求等式成立的区间。解 , 47. 设是周期为2的函数，且在上，将展为付氏级数。解 设 显然 48. 试求在上的付氏级数并求出的级数表达式解 对作周期延拓后，设，则。 由在内连续， 49. 将在展为付氏级数，并作出和函数的图形解 设 且 和函数的图形略50 将解