立体几何导学案.doc

3. 2.1立体几何中的向量方法（线线角）教学目标：PP0dO1. 掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法2. 掌握向量作为工具解决立几问题的方法3. 向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法教学过程：设疑自探：两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，l1 ， l2，则l1与l2所成的角 =或= - （0）cos=或 cos= （0）例1.在棱长为1的正方体中，E、F分别是的中点，G在棱CD上，且，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。（1）求证：EFB1C；（2）求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长。例2.如图，在棱长为2的正方体中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。解疑合探：1、在正方体中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，（1）求证：平面ADE；（2）2.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，ABDCB1D1C1B1EHAA1=1，E、H分别是A1B1和BB1的中点.求：(1)EH与AD1所成的角；(2)AC1与B1C所成的角.ACDBFE3. 如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和AD的中点.求：AE与CF所成的角 质疑再探：请同学们踊跃发言提问，解除心中的疑问。课堂练习：1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 。2.正方体中，O是底面ABCD的中心，则OA1和BD1所成角的大小为 。3.已知为异面直线a与b的公垂线，点，若a、b间距离为2，点P到的距离为2，P到b的距离为 ，则异面直线a与b所成的角为 。4.如图正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与CN所成角为 。5.如图PD平面ABCD,四边形ABCD为矩形，AB=2AD=2DP，E为CD中点。（1）与BE所成的角为 （2）若直线PD，且AF与BE所成角为1. =30行吗？2. =75时；= 。（6）（5）6.空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，O为的重心，M是AC的中点，E是 AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角 。7.空间四边形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120，ABCD，M、N分别是中点（1）AC和BD所成的角为。（2）MN与BC所成的角为。8.已知正方体AC1中，（1）E、F分别是A1D1，A1C1的中点，则AE与CF所成的角为（2）M、N分别是AA1，BB1的中点，（8）则CM和D1N所成的角是。9、如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小； 10、如图，正四棱柱中， ，求异面直线与所成角的余弦值。11、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=，BC=,AA1=c，求异面直线D1B和AC所成的角的余弦值。12、 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点 （）证明：面面；（）求与所成的角；13、 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面， 为的中点 求直线与所成角的余弦值；3. 2. 2立体几何中的向量方法（线面角）一、基础知识1.定义： （斜线和平面所成的角垂线与平面所成的角）2.直线与平面所成角范围是。3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）4. 求法： 几何法公式法问量法（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要求的角，解三角形求出此角。（2）公式法：（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）（3）向量法：设直线与平面所成角为，直线的方向向量与面的法向量分别是, 则的余角或其补角的余角即为与所成的角，本节内容我们与学生主要讨论和学习向量法,其他方法只做补充,不做研究.设疑自探: 请同学们在规定时间内阅读课本,并掌握线面角的做法,在上一节求线线角的基础上,尝试建系,并求出线面角. 例题如下:(要求独立完成)例1、在长方体AC1中，AB=2，BC=CC1=1，求（1）CD与面ABC1D1所成的角（2）A1C与平面ABC1D1所成的角（3）A1C与平面BC1D所成的角例2AEB1D1DC1A1BC如图，在棱长为2的正方体中，是的中点。求直线与平面所成角的余弦值.解疑合探：（请同学们合作探究）ABCA1B1C1Exyz1 如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1；2.如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平面PBD；(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。3、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。（1）求证：EF/平面PAD；（2）求证：EFCD；（3）若，求EF与平面ABCD所成的角的大小。4、如图与平面ABCD所成的角为求与平面所成的角与面所成的角BACDEM 质疑再探：请同学们大胆提问，踊跃发言，把心中的疑惑讲出来，我们进一步探讨。课堂练习：（4）ABB1CA1C11. 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角是.ABCDA1B1C1D1（3）（1）2. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,则侧棱与底面所成角的余弦值等于.3. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为.4. 在如图所示的几何体中,EA平面ABC， DB平面ABC，ACBC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中点. 求DE与平面EMC所成角的正切值 PAEDCB（5）5. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD, ABC=60。,PA=AB=BC,E是PC的中点.求PB与平面PAD所成角的大小.SABCD6. 四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC底面ABCD.已知ABC=45。，AB=2，BC=22，SA=SB=3. 求直线SD与平面SBC所成角的大小.7.正方体-中，与平面所成角的余弦值为（A） （B） （C） （D）8.已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（A） (B) (C) (D) 9.直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于(A)30 (B)45 (C)60 (D)9010.正方体-中，与平面所成角的余弦值为（A） （B） （C） （D）11.已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为（A） (B) (C) (D) 3. 2. 3立体几何中的向量方法（面面角）一、基础知识1.定义：二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是 .注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成”AOB为所求二面角”，而应写成”AOB为二面角的平面角”。2.求法：几何法 向量法 公式法（1）几何法：作出二面角的平面角，再求解，常见的有作 法图 形定义法在棱CD上找一点O，在两个面内分别作棱的垂线AO,BOAOB为二面角的平面角垂面法过棱上一点O作棱的垂直平面与两个半平面的交线分别为AOBOAOB为的平面角三垂线法过B内一点A，作AB交于B，作BOCD于O，连结AO,AOB的平面角或其补角（2）向量法：分别求出和的法向量，则二面角的大小为或 用此法须知：1需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标2通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量3当为锐角时 （为锐角）或 （为钝角）在平面内 在平面内，BDEF，且BEF分别求出，则即为二面角的大小（3）公式法：设二面角的大小为令则注意：与所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是异面直线BA和CD所成角的大小。 面积法： 设二面角的平面内某一图形（一般取三角形）面积为S，该图形在平面上射影面积为，二面角的大小为，则 和上一节一样，其他方法都做为补充，我们与同学们只是一道研究向量法求面面角，其他方法不做深入研究。教学过程：设疑自探：（同学们可以先用定义求，然后尝试建系求角，比较优劣）例1、如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，为棱的中点，为线段的中点，（1）求证：面；（2）求面与面所成二面角的大小 ABCDA1B1C1D1FMOE 例2、如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE。（1）求证：AE平面BCE；（2）求二面角BACE的大小；解疑合探:1、如图所示的几何体中,平面， ,，是的中点.()求证:;zyxEDCBAAMAQONPEDCBAAMA()求二面角的余弦值.(给同学们两个图，有兴趣的同学都试试) 2、 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点 （）证明：面面；（）求面与面所成二面角的余弦值的大小 3、如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求二面角C-PA-B的大小4如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求：（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；ABCDA1D1C1B1（2）二面角C1BDC的正切值（3）二面角 5、过正方形ABCD的顶点A作，设PA=AB=a，(1)求二面角的大小;(2)求二面角C-PD-A质疑再探：请同学们大胆提问，踊跃发言，把心中的疑惑讲出来，我们进一步探讨。课堂练习：1.如图：三棱锥A-BCD中，AC=AB=BD=DA=2，BC=CD=，则二面角A-BD-C的余弦值为 。二面角B-AC-D的余弦值为 2.如图，四边形BCEF、AFED都是矩形，且平面AFED平面BCEF，则下列结论中正确的是ABCD3.如图，四棱锥P-ABCD中所有的棱长都相等。求：二面角C-PD-B大小设M、N分别为AD、PC中点，试求MN与底面AC及平面BDP所成的角平面PAB与平面PCD所成二面角的大小4. 如图，四边形ABCD为直角梯形，AD/BC BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点求证：PBDM求BD与平面ADMN所成角的大小求二面角A-PB-C5.如图所示多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，C C1=3，BE=1 求BF求二面角A-EF-B6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CC1上求证：AEBD当A1E与面BED所成角为多大时，面A1BD面EBD在（2）的结论下，求此时二面角A-A1D-E的大小7.如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体AC1中点E是平面BCC1B1上动点，点F是CD的中点试确定E的位置，使D1E平面AB1F求二面角B1-AF-B的大小8、 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面底面 （）证明：平面； （）求面与面所成的二面角的大小 ABCDP9、如图，在四棱锥中，底面是矩形已知，（）证明平面；（）求异面直线与所成的角的大小；（）求二面角的大小10、如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（）证明：AEPD; （）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角EAFC的余弦值.