正多边形和圆的计算.doc

圆和正多边形的有关计算(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2015凉山州期末)O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是()A.2B.11C.1D.【解析】选A.如图所示,连接CO,过点O作OECD于点E,四边形AMNB是O的外切正方形,O切AB于点C,CFD是O的内接正三角形,设圆的外切正方形的边长为a,则CO=,OCE=30,CE=cos30=,O的内接正三角形的边长为2EC=,a=2.2.(2015广州越秀区期末)如图,AB与O相切于点B,OA=2,OAB=30,弦BCOA,则劣弧的弧长是()A.B.C.D.【解析】选B.连接OB,OC,AB为O的切线,ABO=90,在RtABO中,OA=2,OAB=30,OB=1,AOB=60,BCOA,OBC=AOB=60,又OB=OC,BOC为等边三角形,BOC=60,则劣弧的长为=.3.如图,O为正五边形ABCDE的外接圆,O的半径为2,则的长为()A.B.C.D.【解析】选D.如图所示,O为正五边形ABCDE的外接圆,O的半径为2,AOB=72,的长为:=.【知识拓展】正n边形的有关计算(1)边长:an=2Rnsin.(2)周长:Pn=nan.(3)边心距:rn=Rncos.(4)面积:Sn=anrnn.(5)每一个内角的度数为.(6)每一个外角的度数为.(7)中心角的度数为.4.如图,正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为()A.aB.2aC.aD.3a【解析】选A.四边形ABCD是正方形,B=D=90.则扇形ABC的弧长为l=a,同理可求扇形ADC的弧长为a,树叶形图案的周长为a2=a.【一题多解】选A.由题意知树叶形图案的周长为以a为半径的圆周长的一半,树叶形图案的周长为2a=a.【互动探究】若求阴影部分的面积呢?提示:S阴影=2=a2.二、填空题(每小题4分,共12分)5.如图所示,正六边形ABCDEF内接于O,若O的半径为4,则阴影部分的面积等于_.【解析】正六边形的六条半径把正六边形分成六个全等的等边三角形,阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积,即为圆面积的.阴影部分的面积为=.答案:如图,在扇形OAB中,AOB=90,半径OA=6,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上点D处,折痕交OA于点C,求整个阴影部分的周长和面积.【解析】连接OD,将扇形OAB沿过点B的直线折叠,点O恰好落在上点D处,OB=BD,OC=CD.又OD=OB,OBD是等边三角形,C阴影部分=+AC+CD+BD=3+12.OBD是等边三角形,DBC=OBC=30.在RtOCB中,tanOBC=,OC=tan306=2.S阴影=S扇形OAB-2SOCB=-2=9-12.6.如图,在ABC中,AB=4cm,BC=2cm,ABC=30,把ABC以点B为中心按逆时针方向旋转,使点C旋转到AB边的延长线上的点C处,那么AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积是_cm2.【解析】根据旋转的性质和全等三角形的性质可知,AC边扫过的图形(图中阴影部分)的面积=扇形BAA与扇形BCC的面积差,为(42-22)=5(cm2).答案:57.(2015密云期末)如图,边长为1的正方形ABCD放置在平面直角坐标系中,顶点A与坐标原点O重合,点B在x轴上.将正方形ABCD沿x轴正方向作无滑动滚动,当点D第一次落在x轴上时,D点的坐标是_,D点经过的路径的总长度是_;当点D第2014次落在x轴上时,D点经过的路径的总长度是_.【解析】如图,正方形ABCD每滚动4次为一个周期,当点D第一次落在x轴上时,正方形ABCD滚动2次,D点的坐标是(3,0);D点经过的路径的总长度是+=.每一个周期中D点经过的路径的总长度是+2=,当点D第2014次落在x轴上时,D点经过的路径的总长度是:2013+=.答案:(3,0)三、解答题(共22分)8.(6分)(2015官渡期末)如图,已知O的半径为8cm,点A为半径OB延长线上一点,射线AC切O于点C,的长为.求AOC的度数和线段AC的长.【解析】设AOC=n;=,解得:n=60,AOC=60.AC切O于点C,ACO=90,A=90-AOC=30,AO=2OC=16,AC=8.9.(7分)(2015南昌期末)如图,边长为4cm的等边ABC与O等高(即高与直径相等),O与BC相切于点C,O与AC相交于点E.求:(1)CE的长.(2)阴影部分的面积.【解析】(1)连接OC,并过点O作OFCE于F,且ABC为等边三角形,边长为4,故高为2,即OC=,又ACB=60,O与BC相切,OCBC,故有OCF=30,在RtOFC中,可得OF=,FC=,即CE=3.(2)连接OE,S阴影=S扇形OCE-SOCE=-3=-.【知识拓展】与直角三角形有关的计算公式(1)直角三角形外接圆半径等于斜边的一半(R=).(2)直角三角形内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半(r=).(3)直角三角形两条直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积,即ab=ch.10.(9分)(2015龙岩期末)如图,ABC中,AB=AC,以AB为直径的O,交BC于点D,交AC于点F,过点D作DEAC,垂足为E.(1)求证:=.(2)求证:DE为O的切线.(3)若CE=2,BAC=60,求由DC,CF与所围成图形的面积S.【解析】(1)连接AD.AB为O的直径,ADB=90,即ADBC.AB=AC,CAD=BAD,=,(2)连接OD.AB为O的直径,AO=BO.ADBC,AB=AC,CD=DB.OD是ABC的中位线,ODAC,DEAC,ODDE.OD是半径,DE为O的切线.(3)连接OF.AB=AC,OF=OA,BAC=60,ABC,AFO都是等边三角形.AFO=C=60.OFCD.ODAC,四边形DCFO是平行四边形.OD=OF,四边形DCFO是菱形.C=FOD=60,OD=DC=CF.DEAC,DC=2CE=4=OD=CF,DE=2.S=S四边形DCFO-S扇形FOD=42-=8-.【备选习题】1.(2014内蒙古中考)如图,菱形ABCD的对角线BD,AC分别为2,2,以点B为圆心的弧与AD,DC相切,则阴影部分面积为()A.2-B.4-C.2-D.4-【解析】选A.如图,连接AC,BD,相交于点O,设以B为圆心的弧与AD相切于E点,连接BE,则BEAD,菱形ABCD的对角线BD,AC分别为2,2,S菱形ABCD=ACBD=22=2,在RtAOD中,tanDAO=,DAO=30,ABC=120,DAB=2DAO=60,ABD是等边三角形,BE=OA=,S扇形=()2=,阴影部分的面积是S菱形ABCD-S扇形=2-.2.(2014河北中考)如图,将长为8cm的铁丝AB首尾相接围成半径为2cm的扇形,则S扇形=_cm2.【解析】由题意可知扇形的弧长为:l=4cm,所以S扇形=lr=42=4cm2.答案:43.(2014荆门中考)如图,在ABCD中,以点A为圆心,AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C,交AD于点E,延长BA与A相交于点F.若的长为,则图中阴影部分的面积为_.【解析】连接AC,设A的半径为R,CD切A于点C,ACCD,即ACD=90,在ABCD中,ABCD,BAC=ACD=90,AB=AC,BAC是等腰直角三角形,B=45,ADBC,FAD=B=45,又的长为,=,解得R=2,D=B=45,ACD也是等腰直角三角形,即AC=CD=R=2,CAD=45,S阴影=SACD-S扇形ACE=22-=2-.答案:2-4.(2014抚顺中考)如图,在矩形ABCD中,E是CD边上的点,且BE=BA,以点A为圆心、AD长为半径作A交AB于点M,过点B作A的切线BF,切点为F.(1)请判断直线BE与A的位置关系,并说明理由.(2)如果AB=10,BC=5,求图中阴影部分的面积.【解析】(1)过点A作AGBE,垂足为G,连接AE.四边形ABCD是矩形,ABCD,BAE=AED.又BE=BA,BAE=AEB,即BAE=AEG.AEG=AED.又AGE=ADE=90,AE=AE,AEGAED(AAS).AG=AD.直线BE与A相切.(2)连接AF,BF与BG都是A的切线,由切线长定理得,ABFABG,BAF=BAG,于是S阴影=SABF-S扇形AMF=SABG-S扇形AMG.由(1)知,AG=AD,AG=AD=BC=5.在RtABG中,AG=5,AB=10,ABG=30,BAG=60.BG=ABcosABG=10=5.S阴影=SABG-S扇形AMG=55-=-.5.(2014昆明中考)如图,在ABC中,ABC=90,D是边AC上的一点,连接BD,使A=21,E是BC上的一点,以BE为直径的圆O经过点D.(1)求证:AC是O的切线.(2)若A=60,O的半径为2,求阴影部分的面积(结果保留根号和).【解析】(1)连接OD,OB=OD,则1=BDO,DOC=21=A,在RtABC中,A+C=90,即DOC+C=90ODC=90,即ODDC.AC为O的切线.(2)当A=60时,即在RtOCD中,C=30,OD=r=2.DOC=60,CD=2.SODC=ODDC=2,S扇形=,S阴影=SODC-S扇形=2-.1. 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2. 若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里，为自己留下一片纯静的心灵空间，不管是潮起潮落，也不管是阴晴圆缺，你都可以免去浮躁，义无反顾，勇往直前，轻松自如地走好人生路上的每一步3. 花一些时间，总会看清一些事。用一些事情，总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己，又打扰了别人。努力过后，才知道许多事情，坚持坚持，就过来了。4. 岁月是无情的，假如你丢给它的是一片空白，它还给你的也是一片空白。岁月是有情的，假如你奉献给她的是一些色彩，它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力，当有一天蓦然回首时，你的回忆里才会多一些色彩斑斓，少一些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。