（浙江专用）2019年中考数学总复习 第三章 变量与函数 3.3 反比例函数（试卷部分）课件.ppt

第三章变量与函数 3 3反比例函数 中考数学 浙江专用 1 2015温州 8 4分 如图 点A的坐标是 2 0 ABO是等边三角形 点B在第一象限 若反比例函数y 的图象经过点B 则k的值是 A 1B 2C D 2 考点一确定反比例函数 A组2014 2018年浙江中考题组 五年中考 答案C如图 过点B作BD x轴于点D 点A的坐标是 2 0 ABO是等边三角形 OB OA 2 OD 1 由勾股定理得BD 点B在第一象限 点B的坐标是 1 反比例函数y 的图象经过点B k 故选C 关键提示确定反比例函数的解析式只需要确定图象上一个点的坐标 解决本题的关键就是确定B的坐标 这可以利用等边三角形的性质求得 2 2016衢州 16 4分 如图 正方形ABCD的顶点A B在函数y x 0 的图象上 点C D分别在x轴 y轴的正半轴上 当k的值改变时 正方形ABCD的大小也随之改变 1 当k 2时 正方形A B C D 的边长等于 2 当变化的正方形ABCD与 1 中的正方形A B C D 有重叠部分时 k的取值范围是 答案 1 2 k 18 解析 1 如图 过点A 作A E y轴于点E 过点B 作B F x轴于点F 则 A ED 90 B FC 90 四边形A B C D 为正方形 A D D C A D C 90 OD C ED A 90 OD C OC D 90 ED A OC D 在 A ED 和 D OC 中 A ED D OC OD EA OC ED 同理可证得 B FC C OD OD FC OC FB 设OD a OC b 则EA FC OD a ED FB OC b 点A a a b 点B a b b 点A B 在反比例函数y 的图象上 解得或 舍去 在Rt C OD 中 C OD 90 OD OC 1 C D 故答案为 2 设直线A B 解析式为y k1x b1 k1 0 直线C D 解析式为y k2x b2 k2 0 A 1 2 B 2 1 C 1 0 D 0 1 解得 直线A B 解析式为y x 3 直线C D 解析式为y x 1 设OD m OC n 同 1 可知A m m n B m n n m n 点A的坐标为 m 2m 当A点在直线C D 上时 有2m m 1 解得m 此时点A的坐标为 k 当点D 0 m 在直线A B 上时 有m 3 此时点A的坐标为 3 6 k 3 6 18 综上可知 当变化的正方形ABCD与 1 中的正方形A B C D 有重叠部分时 k的取值范围为 k 18 关键提示本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征 正方形的性质以及全等三角形的判定及性质 解题的关键 1 求出线段OD OC 的长度 2 找出两正方形有重叠部分的临界条件 解析 点P 1 t 在反比例函数y 的图象上 t 2 P 1 2 OP 过点P作直线l与x轴平行 点Q在直线l上 满足QP OP Q点坐标为 1 2 或 1 2 反比例函数y 的图象经过点Q 当Q点坐标为 1 2 时 k 1 2 2 2 当Q点坐标为 1 2 时 k 1 2 2 2 关键提示本题的难点在于点Q的坐标的确定 点P在反比例函数图象上 因而点P的坐标满足函数解析式 由此即可求得点P的坐标 由PQ平行于x轴可知点P与点Q的纵坐标相等 根据勾股定理求出OP的长度后 结合QP OP可得Q点的横坐标 解决此类问题的关键是找未知点与已知点的联系 3 2015杭州 15 4分 在平面直角坐标系中 O为坐标原点 设点P 1 t 在反比例函数y 的图象上 过点P作直线l与x轴平行 点Q在直线l上 满足QP OP 若反比例函数y 的图象经过点Q 则k 答案2 2或2 2 4 2018杭州 17 6分 已知一艘轮船上装有100吨货物 轮船到达目的地后开始卸货 设平均卸货速度为v 单位 吨 时 卸完这批货物所需的时间为t 单位 小时 1 求v关于t的函数表达式 2 若要求不超过5小时卸完船上的这批货物 那么平均每小时至少要卸货多少吨 解析 1 根据题意 得vt 100 t 0 所以v t 0 2 因为v 00 所以当t 0时 v随着t的增大而减小 当0 t 5时 v 20 所以平均每小时至少要卸货20吨 1 2018温州 9 4分 如图 点A B在反比例函数y x 0 的图象上 点C D在反比例函数y k 0 x 0 的图象上 AC BD y轴 已知点A B的横坐标分别为1 2 OAC与 ABD的面积之和为 则k的值为 A 4B 3C 2D 考点二反比例函数的图象与性质 答案B 点A B在反比例函数y x 0 的图象上 且点A B的横坐标分别是1 2 A 1 1 B AC BD y轴 点C与点A的横坐标相同 点D与点B的横坐标相同 点C D在反比例函数y k 0 x 0 的图象上 C 1 k D 延长CA DB分别与x轴交于点E 点F 则S OAC S OCE S OAE 易知S ABD 2 1 S OAC S ABD k 3 思路分析根据点A B C D的坐标 代入求面积 考查内容考查反比例函数k的几何意义 图形面积的转化求解 2 2015台州 4 4分 若反比例函数y 的图象经过点 2 1 则该反比例函数的图象在 A 第一 二象限B 第一 三象限C 第二 三象限D 第二 四象限 答案D k 2 1 2 0 图象在第二 四象限 故选D 3 2018宁波 10 4分 如图 平行于x轴的直线与函数y k1 0 x 0 y k2 0 x 0 的图象分别相交于A B两点 点A在点B的右侧 C为x轴上的一个动点 若 ABC的面积为4 则k1 k2的值为 A 8B 8C 4D 4 答案A设点A的坐标为 x1 y1 则B点的坐标为 S ABC y1 AB y1 4 x1y1 k2 8 又 x1y1 k1 k1 k2 8 故选A 4 2016金华 10 3分 在四边形ABCD中 B 90 AC 4 AB CD DH垂直平分AC 点H为垂足 设AB x AD y 则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为 答案D如图 过点D作DE AB 垂足为E 在Rt ABC中 BC2 AC2 AB2 16 x2 易得四边形DE BC是矩形 BE CD BC DE DE2 BC2 16 x2 又 DH垂直平分AC CD AD y AE x y 在Rt ADE中 AE2 DE2 AD2 x y 2 16 x2 y2 化简得xy 8 y 0 x 4 对照选项知D正确 思路分析只要求出y关于x的函数解析式即可解决问题 求y关于x的函数关系式本质上就是求x与y之间的关系 也就是寻找含有x和y的等式 而勾股定理是解决这类问题常用的方法 于是过点D作AB的垂线 构造直角三角形求解 5 2014杭州 6 3分 函数的自变量x满足 x 2时 函数值y满足 y 1 则这个函数可以是 A y B y C y D y 答案A对于A选项 当x 时 y 1 当x 2时 y 并且函数y 在x 0时 y随x的增大而减小 符合题意 故选A 6 2014温州 10 4分 如图 矩形ABCD的顶点A在第一象限 AB x轴 AD y轴 且对角线的交点与原点O重合 在AB从小于AD到大于AD的变化过程中 若矩形ABCD的周长始终保持不变 则经过动点A的反比例函数图象对应的解析式y k 0 中k的值的变化情况是 A 一直增大B 一直减小C 先增大后减小D 先减小后增大 答案C在矩形ABCD中 设AB 2a AD 2b 矩形ABCD的周长始终保持不变 2 2a 2b 4 a b 为定值 a b为定值 设a b t 则b t a 矩形ABCD的对角线的交点与原点O重合 k AB AD ab a t a a2 ta k关于a的函数图象是开口向下的抛物线 且当a 即a b时 k最大 在AB从小于AD到大于AD的变化过程中 k的值先增大后减小 故选C 7 2017温州 15 5分 如图 矩形OABC的边OA OC分别在x轴 y轴上 点B在第一象限 点D在边BC上 且 AOD 30 四边形OA B D与四边形OABD关于直线OD对称 点A 和A B 和B分别对应 若AB 1 反比例函数y k 0 的图象恰好经过点A B 则k的值为 答案 解析 四边形ABCO是矩形 AB 1 可设B m 1 m 0 OA BC m 四边形OA B D与四边形OABD关于直线OD对称 OA OA m A OD AOD 30 A OA 60 过A 作A E OA于E OE m A E m A 反比例函数y k 0 的图象恰好经过点A B m m m m k 解析因为点A 2 2 在函数y x 0 的图象上 所以k 2 2 4 则反比例函数的解析式为y 因为AC x轴 AC 2 所以C 4 2 在Rt ABC中 ACB 90 所以B的横坐标与C的横坐标相同 为4 当x 4时 y 1 则B的坐标为 4 1 答案 4 1 8 2017绍兴 13 4分 如图 Rt ABC的两个锐角顶点A B在函数y x 0 的图象上 AC x轴 AC 2 若点A的坐标为 2 2 则点B的坐标为 9 2016绍兴 15 5分 如图 已知直线l y x 双曲线y 在l上取一点A a a a 0 过A作x轴的垂线交双曲线于点B 过B作y轴的垂线交l于点C 过C作x轴的垂线交双曲线于点D 过D作y轴的垂线交l于点E 此时E与A重合 并得到一个正方形ABCD 若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1 2的两条线段 则a的值为 答案或 解析如图 点A的坐标为 a a a 0 B C D OA a OC 原点O分对角线AC为1 2的两条线段 OA 2OC或OC 2OA 即a 2 或 2a 其中a 0 整理得a2 2或a2 解得a1 a2 舍去 a3 a4 舍去 a 或 关键提示本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题 解题的关键是用含a的代数式表示线段OA OC的长度 10 2016丽水 16 4分 如图 一次函数y x b的图象与反比例函数y x 0 的图象交于A B两点 与x轴 y轴分别交于C D两点 连接OA OB 过A作AE x轴于点E 交OB于点F 设点A的横坐标为m 1 b 用含m的代数式表示 2 若S OAF S四边形EFBC 4 则m的值是 答案 1 m 2 解析 1 点A在反比例函数y x 0 的图象上 点A的横坐标为m A的坐标为 m 0 A点是y x b与y 的图象的交点 m b b m 2 如图 作AM OD于M BN OC于N 反比例函数y 一次函数y x b的图象都关于直线y x对称 AD BC OD OC DM AM BN CN 设S AOF S 则S OEF 2 S S AOF S四边形EFBC 4 S四边形EFBC 4 S S OBC 4 S 2 S 6 2S S BCN 6 2S 2 4 2S 2 2 S 即S BCN 2S OEF 又CN AM OE BN 2EF ON 2OE B 代入直线y x m 得 2m m 整理得m2 2 m 0 m 关键提示本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的相交问题及对称问题 解第 2 题的关键是得到相等的线段 11 2016温州 16 4分 如图 点A B在反比例函数y k 0 的图象上 AC x轴 BD x轴 垂足C D分别在x轴的正 负半轴上 CD k 已知AB 2AC E是AB的中点 且 BCE的面积是 ADE的面积的2倍 则k的值是 答案 解析作BF AC的延长线于点F BF CD k E是AB的中点 AE BE AB S AED S BED S AEC S BEC S BEC 2S ADE S ABC 2S ABD ABD与 ABC的边BD AC上的高相等 且等于CD AC 2BD 设BD a 则AC 2a CF a 又AB 2AC AB 4a 在Rt AFB中 由勾股定理可得BF a a k 点B在反比例函数y 的图象上 BD a OD OC k 点A在反比例函数y 的图象上 2a k 解得a 经检验 a 为分式方程的根 k a 解后反思本题是反比例函数的综合题 其中涉及三角形中线平分三角形面积 三角形面积公式 构造直角三角形 解方程等 综合性很强 属于难题 设参数是解决此类问题的常用方法 12 2015绍兴 15 5分 在平面直角坐标系的第一象限内 边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴 A点的坐标为 a a 如图 若曲线y x 0 与此正方形的边有交点 则a的取值范围是 答案 1 a 解析由A a a 及正方形ABCD的边长为1可得C a 1 a 1 当点A在曲线上时 a a 负值舍去 当点C在曲线上时 a 1 a 1 负值舍去 若曲线y x 0 与正方形ABCD的边有交点 则a的取值范围是 1 a 13 2015宁波 18 4分 如图 已知点A C在反比例函数y a 0 的图象上 点B D在反比例函数y b 0 的图象上 AB CD x轴 AB CD在x轴的两侧 AB 3 CD 2 AB与CD的距离为5 则a b的值是 答案6 解析设点C的纵坐标为m 则B的纵坐标为 5 m 连接OA OB OC OD 则S OCD S OAB a b 则 2 m 3 5 m 解得m 3 a b 2 3 a b 6 14 2014丽水 衢州 16 4分 如图 点E F在函数y 的图象上 直线EF分别与x轴 y轴交于点A B 且BE BF 1 m 过点E作EP y轴于点P 已知 OEP的面积为1 则k值是 OEF的面积是 用含m的式子表示 答案2 解析作EC x轴于点C FD x轴于点D FH y轴于点H OEP的面积为1 k 1 又由题图知k 0 k 2 反比例函数的解析式为y EP y轴 FH y轴 EP FH BPE BHF 即HF mPE 设点E的坐标为 则点F的坐标为 S OEF S OFD S OEC S梯形ECDF S OFD S OEC 1 S OEF S梯形ECDF tm t m 1 15 2018金华 23 10分 如图 四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y 与y x 0 0 m n 的图象上 对角线BD y轴 且BD AC于点P 已知点B的横坐标为4 1 当m 4 n 20时 若点P的纵坐标为2 求直线AB的函数表达式 若点P是BD的中点 试判断四边形ABCD的形状 并说明理由 2 四边形ABCD能否为正方形 若能 求此时m n之间的数量关系 若不能 试说明理由 解析 1 当x 4时 y 1 点B的坐标是 4 1 当y 2时 由y 得x 2 点A的坐标是 2 2 设直线AB的函数表达式为y kx b k 0 解得 直线AB的函数表达式为y x 3 四边形ABCD为菱形 理由如下 由 得点B 4 1 点D 4 5 点P为线段BD的中点 点P的坐标为 4 3 当y 3时 由y 得x 由y 得x PA 4 PC 4 PA PC 又 PB PD 四边形ABCD为平行四边形 又 BD AC 四边形ABCD为菱形 2 四边形ABCD能为正方形 当四边形ABCD是正方形时 PA PB PC PD 设为t t 0 当x 4时 y 点B的坐标为 则点A的坐标是 4 t m 化简得t 4 点D的纵坐标为 2t 2 8 即点D的坐标为 所以4 n 整理得m n 32 16 2015嘉兴 舟山 21 8分 如图 直线y 2x与反比例函数y k 0 x 0 的图象交于点A 1 a B是反比例函数图象上一点 直线OB与x轴的夹角为 tan 1 求k的值 2 求点B的坐标 3 若存在点P m 0 使 PAB的面积为2 求m的值 解析 1 把点A 1 a 代入y 2x 得a 2 A 1 2 把A 1 2 代入y 得k 2 2 过B作BC x轴于点C 在Rt BOC中 tan 可设B 2h h 又点B在y x 0 的图象上 2h2 2 h 1 又 h 0 h 1 B 2 1 3 A 1 2 B 2 1 直线AB y x 3 设直线AB与x轴交于点D 则D 3 0 易知AB BD ABP与 BDP的面积相等 PAB的面积 2 BDP的面积 3 m 1 0 2 m1 1 m2 7 1 2017金华 15 4分 如图 已知点A 2 3 和点B 0 2 点A在反比例函数y 的图象上 作射线AB 再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45 交反比例函数图象于点C 则点C的坐标为 考点三反比例函数的应用 答案 1 6 解析如图所示 设AC与x轴交于点D 过A作AE x轴于E 以AE为边在AE的左侧作正方形AE FG 交射线AB于P 根据点A 2 3 和点B 0 2 可得直线AB的解析式为y x 2 由A 2 3 知k 2 3 6 反比例函数的解析式为y 易得OF 1 F 1 0 对于y x 2 当x 1时 y 2 即P PF 设将 AGP绕点A逆时针旋转90 得 AEH 则EH PG 易得 ADP ADH PD HD 设DE x 则DH DP x FD 3 x 在Rt PDF中 有PF2 DF2 PD2 即 3 x 2 解得x 1 OD 2 1 1 即D 1 0 根据点A 2 3 和点D 1 0 可得直线AD的解析式为y 3x 3 解方程组可得或 C 1 6 故答案为 1 6 关键提示本题主要考查了反比例函数与一次函数图象交点问题 以及反比例函数图象上点的坐标特征的运用 解决问题的关键是作辅助线构造正方形以及全等三角形 进而依据勾股定理列方程求解 2 2016宁波 18 4分 如图 点A为函数y x 0 图象上一点 连接OA 交函数y x 0 的图象于点B 点C是x轴上一点 且AO AC 则 ABC的面积为 答案6 解析如图 作AD OC于点D BE OC于点E 则BE AD OBE OAD 则 S ABC S AOC AO AC OD CD S AOC 2S AOD 2 9 S ABC S AOC 9 6 关键提示本题涉及反比例函数中k的几何意义 相似三角形的面积关系 解题的关键是找到OB和OA的比例关系 3 2018湖州 24 12分 如图1 在平面直角坐标系xOy中 已知 ABC ABC 90 顶点A在第一象限 B C在x轴的正半轴上 C在B的右侧 BC 2 AB 2 ADC与 ABC关于AC所在的直线对称 1 当OB 2时 求点D的坐标 2 若点A和点D在同一个反比例函数的图象上 求OB的长 3 如图2 将第 2 题中的四边形ABCD向右平移 记平移后的四边形为A1B1C1D1 过点D1的反比例函数y k 0 的图象与BA的延长线交于点P 问 在平移过程中 是否存在这样的k 使得以点P A1 D为顶点的三角形是直角三角形 若存在 请直接写出所有符合题意的k的值 若不存在 请说明理由 解析如图 过点D作DE x轴于点E ABC 90 tan ACB ACB 60 易知DC BC 2 ACD ACB 60 DCE 60 CDE 90 60 30 2分 CE 1 DE OE OB BC CE 5 点D的坐标是 5 4分 2 设OB a 则点A的坐标是 a 2 由题意 得CE 1 DE 点D的坐标是 3 a 6分 点A和点D在同一个反比例函数的图象上 2a 3 a 解得a 3 即OB的长为3 8分 3 存在 k的值为10或12 12分 4 2017杭州 20 10分 在面积都相等的所有矩形中 当其中一个矩形的一边长为1时 与该边相邻的边长为3 1 设矩形的相邻两边长分别为x y 求y关于x的函数表达式 当y 3时 求x的取值范围 2 圆圆说其中有一个矩形的周长为6 方方说有一个矩形的周长为10 你认为圆圆和方方的说法对吗 为什么 解析 1 由题意知xy 3 所以y 即y关于x的函数表达式为y x 0 当y 3时 x 1 由函数图象可知当y 3时 x的取值范围是00 此时 矩形的相邻两边长分别为 所以存在面积为3 周长为10的矩形 所以方方的说法对 关键提示第 2 问可以通过列方程 检验方程的解是否存在来解决 5 2016湖州 19 6分 湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘 1 求鱼塘的长y 米 关于宽x 米 的函数表达式 2 受场地的限制 鱼塘的宽最多只能挖20米 当鱼塘的宽是20米时 鱼塘的长为多少米 解析 1 由长方形鱼塘的面积为2000平方米 得xy 2000 即y 3分 2 当x 20时 y 100 答 当鱼塘的宽是20米时 鱼塘的长为100米 6分 6 2016金华 21 8分 如图 直线y x 与x y轴分别交于点A B 与反比例函数y k 0 图象交于点C D 过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E 1 求点A的坐标 2 若AE AC 求k的值 试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称 并说明理由 解析 1 对于y x 当y 0时 得0 x 解得x 3 点A的坐标为 3 0 2 过点C作CF x轴于点F 对于y x 当x 0时 得y OB 设AE AC t 则点E的坐标是 3 t 在Rt AOB中 tan OAB OAB 30 在Rt ACF中 CAF 30 CF t AF ACcos30 t 点C的坐标是 t 3t 解得t1 0 舍去 t2 2 k 3t 6 点E与点D关于原点O成中心对称 理由 由 得点E的坐标为 3 2 设点D的坐标是 x 6 解得x1 6 x2 3 x 0 x 3 点D的坐标是 3 2 点E与点D关于原点O成中心对称 思路分析 1 对于直线y x 令y 0 解出x即可 2 设AE AC t 用含t的式子表示出CF与AF 进而用t表示出点C的坐标 然后根据反比例函数图象上点的坐标特征列方程求t 进而得k 求出E D的坐标即可判断 7 2016嘉兴 21 10分 如图 已知一次函数y1 kx b的图象与反比例函数y2 的图象交于点A 4 m 且与y轴交于点B 第一象限内点C在反比例函数y2 的图象上 且以点C为圆心的圆与x轴 y轴分别相切于点D B 1 求m的值 2 求一次函数的表达式 3 根据图象 当y1 y2 0时 写出x的取值范围 解析 1 把点A 4 m 的坐标代入y2 得m 1 2 连接CB CD C与x轴 y轴相切于点D B CBO CDO 90 BC CD 设C a a 代入y2 得a2 4 a 0 a 2 C 2 2 B 0 2 把A 4 1 和B 0 2 的坐标代入y1 kx b中 得解得 一次函数表达式为y1 x 2 3 x 4 8 2014宁波 22 10分 如图 点A B分别在x y轴上 点D在第一象限内 DC x轴于点C AO CD 2 AB DA 反比例函数y k 0 的图象过CD的中点E 1 求证 AOB DCA 2 求k的值 3 BFG和 DCA关于某点成中心对称 其中点F在y轴上 试判断点G是否在反比例函数的图象上 并说明理由 解析 1 证明 点A B分别在x轴 y轴上 DC x轴于点C AOB DCA 90 2分 AO CD 2 AB DA AOB DCA 4分 2 DCA 90 DA CD 2 AC 1 5分 OC OA AC 2 1 3 E是CD的中点 CE DE 1 E 3 1 6分 反比例函数y k 0 的图象过点E k 3 7分 3 点G在反比例函数的图象上 理由如下 BFG和 DCA关于某点成中心对称 BF DC 2 FG AC 1 8分 点F在y轴上 OF OB BF 1 2 3 G 1 3 9分 把x 1代入y 中 得y 3 点G在反比例函数y 的图象上 10分 1 2016辽宁本溪 10 3分 如图 点A C为反比例函数y x 0 的图象上的点 过点A C分别作AB x轴 CD x轴 垂足分别为B D 连接OA AC OC 线段OC交AB于点E 点E恰好为OC的中点 当 AEC的面积为时 k的值为 A 4B 6C 4D 6 B组2014 2018年全国中考题组 考点一确定反比例函数 答案C设点C的坐标为 m 0 则E A S AEC BD AE k k 4 故选C 2 2016湖北十堰 10 3分 如图 将边长为10的正三角形OAB放置于平面直角坐标系xOy中 C是AB边上的动点 不与端点A B重合 作CD OB于点D 若点C D都在反比例函数y k 0 x 0 的图象上 则k的值为 A 25B 18C 9D 9 答案C过点A作AE OB于点E 如图所示 OAB是边长为10的正三角形 点A的坐标为 10 0 点B的坐标为 5 5 点E的坐标为 CD OB AE OB CD AE 设 n 0 n 1 则点D的坐标为 点C的坐标为 5 5n 5 5n 点C D均在反比例函数y 图象上 解得故选C 3 2014北京 11 4分 如图 在平面直角坐标系xOy中 正方形OABC的边长为2 写出一个函数y k 0 使它的图象与正方形OABC有公共点 这个函数的表达式为 答案y 答案不唯一 满足0 k 4即可 解析当反比例函数的图象经过点B时 由点B的坐标为 2 2 得k的值为4 由反比例函数的图象可知 要满足题意 只需0 k 4 1 2015重庆 12 4分 如图 在平面直角坐标系中 菱形ABCD在第一象限内 边BC与x轴平行 A B两点的纵坐标分别为3 1 反比例函数y 的图象经过A B两点 则菱形ABCD的面积为 A 2B 4C 2D 4 考点二反比例函数的图象与性质 答案D由题意可得A 1 3 B 3 1 底边BC AB 2 菱形BC边上的高为3 1 2 所以菱形ABCD的面积是4 故选D 评析本题重点考查反比例函数的图象与性质 平面直角坐标系内线段长度的计算方法 试题新颖别致 属于中等难度题 2 2014河北 14 3分 定义新运算 a b 例如 4 5 4 5 则函数y 2 x x 0 的图象大致是 答案D由新运算的定义可得当x 0时 y 2 x 图象是反比例函数y 在第一象限内的一支 当x 0时 y 2 x 图象是反比例函数y 在第二象限内的一支 故选D 3 2018内蒙古包头 19 3分 以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点 以平行于两边的直线为坐标轴 建立如图所示的平面直角坐标系 BE AC 垂足为E 若双曲线y x 0 经过点D 则OB BE的值为 答案3 解析根据题意得 矩形ABCD的顶点B在双曲线y 上 顶点A C在双曲线y 上 设AB与x轴交于点M BC与y轴交于点N 则S AMO S CNO S矩形BMON S ABC 3 OB BD AC BE AC S ABC BE AC BE 2OB 3 即OB BE 3 思路分析根据图形的对称性可得点A C在双曲线y 上 点B在双曲线y 上 由反比例函数y 中k的几何意义得S ABC 2 k 3 即S ABC BE AC BE 2OB BE OB 3 解后反思本题主要考查矩形的性质 反比例函数中比例系数k的几何意义 要根据k的几何意义求得S ABC S ABC可以表示为BE AC 又因为OB AC 进而求得OB BE的值 4 2016重庆 22 10分 在平面直角坐标系中 一次函数y ax b a 0 的图象与反比例函数y k 0 的图象交于第二 第四象限内的A B两点 与y轴交于C点 过点A作AH y轴 垂足为H OH 3 tan AOH 点B的坐标为 m 2 1 求 AHO的周长 2 求该反比例函数和一次函数的解析式 解析 1 AH y轴于H AHO 90 tan AOH OH 3 AH 4 2分 在Rt AHO中 OA 5 4分 AHO的周长为3 4 5 12 5分 2 由 1 知 点A的坐标为 4 3 点A在反比例函数y k 0 的图象上 3 k 12 反比例函数的解析式为y 7分 点B m 2 在反比例函数y 的图象上 2 m 6 点B的坐标为 6 2 8分 点A 4 3 B 6 2 在一次函数y ax b a 0 的图象上 解这个方程组 得 一次函数的解析式为y x 1 10分 1 2016海南 9 4分 某村耕地总面积为50公顷 且该村人均耕地面积y 单位 公顷 与总人口x 单位 人 的函数图象如图所示 则下列说法正确的是 A 该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B 该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C 若该村人均耕地面积为2公顷 则总人口为100人D 当该村总人口为50人时 人均耕地面积为1公顷 考点三反比例函数的应用 答案D由题图可知 人均耕地面积y与总人口x成反比例关系 图象在第一象限 y随x的增大而减少 A B错误 设y x 0 k 0 把x 50 y 1代入 得k 50 y 把y 2代入 式得 x 25 C错误 把x 50代入 式得 y 1 D正确 故选D 2 2018四川成都 25 4分 设双曲线y k 0 与直线y x交于A B两点 点A在第三象限 将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移 使其经过点A 将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移 使其经过点B 平移后的两条曲线相交于P Q两点 此时我们称平移后的两条曲线所围部分 如图中阴影部分 为双曲线的 眸 PQ为双曲线的 眸径 当双曲线y k 0 的眸径为6时 k的值为 答案 解析如图所示 以PQ为边 作矩形PQQ P 交双曲线在第一象限的一支于点P 点Q 联立得得x2 k x B点坐标为 A点坐标为 PQ 6 OP 3 由双曲线的对称性 得P的坐标为 A点平移到B点与P点平移到P 的距离相同 A点向右平移2个单位 向上平移2个单位得到B P 的坐标为 点P 在反比例函数y 的图象上 xy k 代入得 k 解得k 思路分析以PQ为边 作矩形PQQ P 交双曲线在第一象限的一支于点P 点Q 联立直线AB及双曲线解析式得方程组 即可求出点A 点B的坐标 由PQ的长度以及对称性可得点P的坐标 根据平移的性质得AB PP 求出点P 的坐标 代入y 得出关于k的方程 解之得k值 疑难突破本题考查了反比例函数与一次函数的图象交点问题 反比例函数图象上点的坐标特征 矩形的性质 难点是P 点的坐标的确定 关键是根据平移的性质判断AB PP 由A B两点的坐标确定平移方向和距离是突破点 再把点P进行相同的平移可以求出点P 的坐标 3 2017内蒙古包头 19 3分 如图 一次函数y x 1的图象与反比例函数y 的图象在第一象限相交于点A 与x轴相交于点B 点C在y轴上 若AC BC 则点C的坐标为 答案 0 2 解析 过点A向y轴引垂线 垂足为D 由解得或 A在第一象限 A 2 1 在y x 1中 令y 0 得x 1 B 1 0 在Rt OBC中 CB2 OC2 OB2 在Rt CAD中 CA2 CD2 AD2 设C 0 m CB CA m2 12 m 1 2 22 解得m 2 C 0 2 4 2016内蒙古呼伦贝尔 25 10分 某药品研究所开发一种抗菌新药 经多年动物实验 首次用于临床人体试验 测得成人服药后血液中药物浓度y 微克 毫升 与服药时间x 小时 之间函数关系如图所示 当4 x 10时 y与x成反比例关系 1 根据图象求出y与x之间的函数关系式 2 问血液中药物浓度不低于4微克 毫升的持续时间为多少小时 解析 1 当0 x 4时 设y与x的函数关系式为y k1x k1 0 将点 4 8 代入y k1x中 可得k1 2 所以y 2x 当4 x 10时 设y与x的函数关系式为y k2 0 将点 4 8 代入y 中 可得k2 32 所以y 综上 y与x之间的函数关系式为y 2 将y 4代入y 2x中 得x 2 将y 4代入y 中 得x 8 则血液中的药物浓度不低于4微克 毫升的持续时间为8 2 6小时 1 2016河南 5 3分 如图 过反比例函数y x 0 的图象上一点A作AB x轴于点B 连接AO 若S AOB 2 则k的值为 A 2B 3C 4D 5 C组教师专用题组 考点一确定反比例函数 答案C由题意得k 0 S AOB k 2 所以k 4 故选C 2 2015江苏连云港 7 3分 如图 O为坐标原点 菱形OABC的顶点A的坐标为 3 4 顶点C在x轴的负半轴上 函数y x 0 的图象经过顶点B 则k的值为 A 12B 27C 32D 36 答案C过点A作菱形ABCO的高AE 在Rt AEO中 AE 4 EO 3 由勾股定理得AO 5 所以AB 5 所以B点坐标为 8 4 又点B在y x 0 的图象上 所以4 得k 32 故选C 3 2015江苏南京 16 2分 如图 过原点O的直线与反比例函数y1 y2的图象在第一象限内分别交于点A B 且A为OB的中点 若函数y1 则y2与x的函数表达式是 答案y2 解析设点A的坐标为 m n 因为点A为OB的中点 所以点B的坐标为 2m 2n 又点A m n 在函数y1 的图象上 所以mn 1 则4mn 4 所以y2 4 2015广西南宁 17 3分 如图 点A在函数y x 0 的图象上 点B在函数y x 0 的图象上 点B在点A的右侧 且AB x轴 若四边形OABC是菱形 且 AOC 60 则k 答案6 解析作AD x轴交x轴于点D AOC 60 AD OD 可设A x x 点A在函数y x 0 的图象上 x x 2 x2 2 x 0 x A OA 2 四边形OABC是菱形 AB OA 2 AB x轴 B 3 点B在函数y x 0 的图象上 k xy 3 6 评析本题考查了反比例函数与菱形的综合应用 需要借助反比例函数关系式求出菱形的边长 再利用菱形的性质求出反比例函数图象上的点的坐标 属中档题 5 2014陕西 15 3分 已知P1 x1 y1 P2 x2 y2 是同一个反比例函数图象上的两点 若x2 x1 2 且 则这个反比例函数的表达式为 答案y 解析已知P1 x1 y1 P2 x2 y2 是同一个反比例函数图象上的两点 设这个反比例函数为y k 0 所以x1 x2 又因为x2 x1 2 所以 2 等式两边同时除以k得 因为 所以 所以k 4 故这个反比例函数的表达式为y 6 2015湖南郴州 19 6分 如图 已知点A 1 2 是正比例函数y1 kx k 0 与反比例函数y2 m 0 图象的一个交点 1 求正比例函数及反比例函数的表达式 2 根据图象直接回答 在第一象限内 当x取何值时 y1 y2 解析 1 把点A 1 2 代入y1 kx 得k 2 1分 所以正比例函数的表达式为y1 2x 2分 把点A 1 2 代入y2 得m 2 3分 所以反比例函数的表达式为y2 4分 2 0 x 1 6分 7 2015上海 21 10分 已知 如图 在平面直角坐标系xOy中 正比例函数y x的图象经过点A 点A的纵坐标为4 反比例函数y 的图象也经过点A 第一象限内的点B在这个反比例函数的图象上 过点B作BC x轴 交y轴于点C 且AC AB 求 1 这个反比例函数的解析式 2 直线AB的表达式 解析 1 正比例函数y x的图象经过点A 点A的纵坐标为4 点A的坐标是 3 4 反比例函数的图象经过点A m 12 反比例函数的解析式为y 2 AC AB 点A在线段BC的中垂线上 BC x轴 点C在y轴上 点A的坐标是 3 4 点B的横坐标为6 点B在反比例函数的图象上 点B的坐标是 6 2 设直线AB的表达式为y kx b k 0 直线AB的表达式为y x 6 1 2015福建龙岩 9 4分 已知点P a b 是反比例函数y 图象上异于点 1 1 的一个动点 则 A 2B 1C D 考点二反比例函数的图象与性质 答案B把点P的坐标代入函数解析式得ab 1 因为a 1 b 1 所以 1 故选B 2 2014黑龙江哈尔滨 5 3分 在反比例函数y 的图象的每一条曲线上 y都随x的增大而减小 则k的取值范围是 A k 1B k 0C k 1D k 1 答案A 在反比例函数y 的图象的每一条曲线上 y都随x的增大而减小 k 1 0 k 1 故选A 3 2018湖北武汉 22 10分 已知点A a m 在双曲线y 上且m0 沿y轴折叠得到双曲线y x 0 将线段OA绕点O旋转 点A刚好落在双曲线y x 0 上的点D d n 处 求m和n的数量关系 解析 1 C 1 3 依题意 得点C的坐标是 t t 2 双曲线y 经过点C t t 2 8 解得t 2或 4 2 点A D分别在双曲线y 和y 上 m n 即a d OA OD a2 m2 d2 n2 m2 n2 m n m n mn 8 mn 8 0 m0 m n 0 mn 8 0 m n 0或mn 8 m和n的数量关系是m n 0或mn 8 思路分析 1 当t 1时 求出PB的长即可得出点C的坐标 由题意可知点C的坐标为 t t 2 把点C的坐标代入y 即可得解 2 由题意可得a 和d 由OA OD可得 m2 n2 最后可知mn 8或m n 0 方法归纳解答反比例函数与几何图形相结合问题的最常用的方法是由点的坐标求相关线段的长度 用相关线段的长度表示点的坐标 4 2014四川成都 19 10分 如图 一次函数y kx 5 k为常数 且k 0 的图象与反比例函数y 的图象交于A 2 b B两点 1 求一次函数的表达式 2 若将直线AB向下平移m m 0 个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点 求m的值 解析 1 点A 2 b 在反比例函数y 的图象上 b 4 即点A的坐标为 2 4 2分 将点A的坐标代入y kx 5 得 2k 5 4 解得k 一次函数的表达式是y x 5 4分 2 直线AB向下平移m个单位长度后的表达式为y x 5 m 5分 联立消去y 整理得x2 2 5 m x 16 0 7分 平移后的直线与反比例函数的图象有且只有一个公共点 4 5 m 2 64 0 解得m 1或m 9 10分 5 2014江苏苏州 26 8分 如图 已知函数y x 0 的图象经过点A B 点A的坐标为 1 2 过点A作AC y轴 AC 1 点C位于点A的下方 过点C作CD x轴 与函数的图象交于点D 过点B作BE CD 垂足E在线段CD上 连接OC OD 1 求 OCD的面积 2 当BE AC时 求CE的长 解析 1 反比例函数y 的图象经过点A 1 2 k 2 AC y轴 AC 1 点C位于点A的下方 点C的坐标为 1 1 CD x轴 点D在函数图象上 点D的坐标为 2 1 S OCD 1 1 2 BE AC BE BE CD 点B的纵坐标为 点B的横坐标为 CE 1 6 2014湖北黄冈 22 9分 如图 已知双曲线y 与两直线y x y kx分别相交于A B C D四点 1 当点C的坐标为 1 1 时 A B D三点坐标分别是A B D 2 证明 以点A D B C为顶点的四边形是平行四边形 3 当k为何值时 ADBC是矩形 解析 1 1 1 2 证法一 反比例函数y 的图象关于原点对称 过原点的直线y x也关于原点对称 OA OB 同理 OC OD 四边形ADBC是平行四边形 证法二 y x与y 交于A B两点 A B 由勾股定理知 OA2 2 2 OB2 22 OA2 OB2 OA OB y kx与y 交于C D两点 C D OC2 k OD2 k OC2 OD2 OC OD 四边形ADBC是平行四边形 3 当k 4时 ADBC为矩形 理由 当OA OC时 AB 2OA 2OC CD ADBC为矩形 此时由OA2 OC2得 k k2 k 1 0 k1 4 k2 又 k k 4 当k 4时 ADBC为矩形 7 2013江苏连云港 24 10分 如图 已知一次函数y 2x 2的图象与y轴交于点B 与反比例函数y 的图象的一个交点为A 1 m 过点B作AB的垂线BD 与反比例函数y x 0 的图象交于点D n 2 1 求k1和k2的值 2 若直线AB BD分别交x轴于点C E 试问在y轴上是否存在一点F 使得 BDF ACE 若存在 求出点F的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 因为点A 1 m 在直线y 2x 2上 所以m 4 即A 1 4 将A点坐标代入y 得k1 4 2分 过点A D分别作y轴的垂线 垂足分别为点M N 由题可得B 0 2 又D n 2 则BN 4 BM 2 AM 1 又因为AB BD 所以易得 ABM BDN 则 即 DN 8 所以D 8 2 将D点坐标代入y 得k2 16 6分 2 存在符合条件的点F 理由如下 由y 2x 2 得C 1 0 因为OB ON 2 DN 8 所以OE 4 易知AE 5 CE 5 AC 2 BD 4 若 BDF ACE 则 即 所以BF 10 所以F 0 8 10分 8 2017江西 20 8分 如图 射线y k1x x 0 与双曲线y x 0 相交于点P 2 4 已知点A 4 0 B 0 3 连接AB 将Rt AOB沿OP方向平移 使点O移动到点P 得到 A PB 过点A 作A C y轴交双曲线于点C 1 求k1与k2的值 2 求直线PC的表达式 3 直接写出线段AB扫过的面积 解析 1 点P 2 4 在射线y k1x x 0 与双曲线y x 0 上 4 2k1 4 解得k1 2 k2 8 2分 2 点O 0 0 经过平移得到对应点P 2 4 Rt AOB先向右平移2个单位 再向上平移4个单位可得Rt A PB A 4 0 经平移得A 6 4 4分 A C y轴 交双曲线于点C 点C的横坐标为6 当x 6时 y C 5分 设直线PC的表达式为y kx b k 0 则有解得 直线PC的表达式为y x 6分 3 22 8分 以下解法供参考 解法一 连接BB AA 由平移得 A PB AOB 则有S ABB A S OBB P S OAA P 3 2 4 4 22 线段AB扫过的面积是22 解法二 连接BB AA A B 延长A C与x轴交于点D 则有S ABB A 2 S梯形OBA D S OAB S AA D 2 22 线段AB扫过的面积是22 9 2017湖北黄冈 21 7分 已知 如图 一次函数y 2x 1与反比例函数y 的图象有两个交点A 1 m 和B 过点A作AE x轴 垂足为点E 过点B作BD y轴 垂足为点D 且点D的坐标为 0 2 连接DE 1 求k的值 2 求四边形AEDB的面积 解析 1 将A 1 m 代入y 2x 1 得 2 1 1 m m 3 1分 点A的坐标为 1 3 2分 将A 1 3 代入y 得k 1 3 3 3分 2 解法一 延长AE BD 交于点H BD x轴 yB yD 又 点D 0 2 yB 2 将y 2代入y 中 可得x B 4分 易知H 1 2 E 1 0 HE 2 DH 1 AH 3 2 5 BH 1 5分 S四边形AEDB S AHB S DHE AH BH EH DH 5 2 1 7分 解法二 设直线AB与y轴相交于点M 则点M的坐标为 0 1 点D 0 2 MD 3 又 A 1 3 AE y轴 E 1 0 AE 3 4分 AE MD 四边形AEDM为平行四边形 5分 S四边形AEDB S AEDM S MDB 3 1 3 7分 10 2017甘肃兰州 24 7分 如图 在平面直角坐标系xOy中 直线y x 3交y轴于点A 交反比例函数y x 0 的图象于点D y x 0 的图象过矩形OABC的顶点B 矩形OABC的面积为4 连接OD 1 求反比例函数y 的表达式 2 求 AOD的面积 解析 1 由题意知S矩形OABC k 4 k 4 1分 又 反比例函数的图象位于第二象限 k 4 2分 反比例函数的表达式为y 3分 2 y x 3的图象交y轴于点A A 0 3 OA 3 联立又 x 0 即D 1 4 5分 S AOD AO xD 3 1 7分 方法规律 1 求反比例函数的解析式 一般是将已知点的坐标代入 如果题目中涉及面积 那么也可以利用整体思想求解 2 在平面直角坐标系中 求某两条线的交点时 一般的做法是先求出直线或曲线的解析式 然后联立得方程组 解这个方程组 则方程组的解就是交点的横 纵坐标 3 对于求几何图形的面积问题 如果是规则图形 则根据面积公式直接求解 如果图形不规则 则一般运用割补法解决 1 2017河南 20 9分 如图 一次函数y x b与反比例函数y x 0 的图象交于点A m 3 和B 3 1 1 填空 一次函数的解析式为 反比例函数的解析式为 2 点P是线段AB上一点 过点P作PD x轴于点D 连接OP 若 POD的面积为S 求S的取值范围 考点三反比例函数的应用 解析 1 y x 4 y 4分 2 点A m 3 在y 的图象上 3 m 1 A 1 3 5分 而点P在线段AB上 设点P n n 4 则1 n 3 S OD PD n n 4 n 2 2 2 7分 0 且1 n 3 当n 2时 S最大 2 当n 1或3时 S最小 8分 S的取值范围是 S 2 9分 2 2014江苏镇江 25 6分 六一儿童节 小文到公园游玩 看到公园的一段人行弯道MN 不计宽度 如图 该人行弯道与两面互相垂直的围墙OP OQ之间有一块空地MPOQN MP OP NQ OQ 他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等 比如 A B C是弯道MN上三点 矩形ADOG 矩形BEOH 矩形CFOI的面积相等 爱好数学的他建立了平面直角坐标系 图中三块阴影部分的面积分别记为S1 S2 S3 并测得S2 6 单位 平方米 OG GH HI 1 求S1和S3的值 2 设T x y 是弯道MN上的任一点 写出y关于x的函数关系式 3 公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造 在横坐标 纵坐标都是偶数的点处种植花木 区域边界上的点除外 已知MP 2米 NQ 3米 问一共能种植多少棵花木 解析 1 根据题意 S1 S2 S3 2S2 2S3 3S3 1分 又 S2 6 平方米 S1 18 平方米 S3 12 平方米 3分 2 点T x y 是弯道MN上任一点 根据弯道MN上任一点到围墙两边的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等 得xy 3S3 36 y 4分 3 一共能种植17棵花木 6分 3 2014嘉兴 22 12分 实验数据显示 一般成人喝半斤低度白酒后 1 5小时内其血液中酒精含量y 毫克 百毫升 与时间x 小时 的关系可近似地用二次函数y 200 x2 400 x刻画 1 5小时后 包括1 5小时 y与x的关系可近似地用反比例函数y k 0 刻画 如图 1 根据上述数学模型计算 喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为多少 当x 5时 y 45 求k的值 2 按国家规定 车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克 百毫升时属于 酒后驾驶 不能驾车上路 参照上述数学模型 假设某驾驶员晚上20 00在家喝完半斤低度白酒 第二天早上7 00能否驾车去上班 请说明理由 解析 1 1 5小时内 y 200 x2 400 x 200 x 1 2 200 又1 5小时后 包括1 5小时 y随x的增大而减小 则喝酒后1小时血液中的酒精含量达到最大值 最大值为200毫克 百毫升 当x 5时 y 45 且此时y k 0 k xy 5 45 225 2 不能驾车去上班 理由 晚上20 00到第二天早上7 00一共有11个小时 将x 11代入y 中 得y 20 第二天早上7 00不能驾车去上班 4 2016江苏连云港 24 10分 环保局对某企业排污情况进行检测 结果显示 所排污水中硫化物的浓度超标 即硫化物的浓度超过最高允许的1 0mg L 环保局要求该企业立即整改 在15天以内 含15天 排污达标 整改过程中 所排污水中硫化物的浓度y mg L 与时间x 天 的变化规律如图所示 其中线段AB表示前3天的变化规律 从第3天起 所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系 1 求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式 2 该企业所排污水中硫化物的浓度 能否在15天以内达标 为什么 解析 1 当0 x 3时 设线段AB对应的函数表达式为y kx b k 0 1分 把A 0 10 B 3 4 代入得解得 3分 所以y 2x 10 4分 当x 3时 设y m 0 5分 把B 3 4 代