高中数学数学思想方法汇总.doc

高中数学数学思想方法汇总目录（一）对高考中数学思想方法教学的思考.第2页（二）转化与化归的思想方法.第3页（三）函数与方程的思想方法.第22页（四）数形结合的思想方法.第27页（五）分类整合的思想方法.第36页（六）必然与或然的思想方法第61页（一） 对高考中的思想方法的思考一、高考复习中数学思想方法教学的必要性。高考试题重在考查对知识理解的准确性、深刻性，重在考查知识的综合灵活运用。它着眼于知识点新颖巧妙的组合，试题新而不偏，活而不过难；着眼于对数学思想方法、数学能力的考查。高考试题这种积极导向，决定了我们在教学中必须以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。只有加强数学思想方法的教学，优化学生的思维，全面提高数学能力，才能提高学生解题水平和应试能力。高考复习有别于新知识的教学。它是在学生基本掌握了中学数学知识体系、具备了一定的解题经验的基础上的复课数学，也是在学生基本认识了各种数学基本方法、思维方法及数学思想的基础上的复课数学。其目的在于深化学生对基础知识的理解，完善学生的知识结构，在综合性强的练习中进一步形成基本技能，优化思维品质，使学生在多次的练习中充分运用数学思想方法，提高数学能力。高考复习是学生发展数学思想，熟练掌握数学方法理想的难得的教学过程。二、高考复习中数学思想方法教学的原则。、把知识的复习与思想方法的培养同时纳入教学目的原则。各章应有明确的数学思想方法的教学目标，教案中要精心设计思想方法的教学过程。、寓思想方法的教学于完善学生的知识结构之中、于教学问题的解决之中的原则。知识是思想方法的载体，数学问题是在数学思想的指导下，运用知识、方法“加工”的对象。皮之不存，毛将焉附？离开具体的数学活动的思想方法的教学是不可能的。、适当章节的强化训练与贯通复课全程的反复运用相结合的原则。数学思想方法与数学知识的共存性、数学思想对数学活动的指导作用、被认知的思想方法只有在反复的运用中才能被真正掌握这一教学规律，都决定了成功的思想方法和教学只能是有意识的贯通复课全程的教学。特别是有广泛应用性的数学思想的教学更是如此。如数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。它的运用，往往展现出“柳暗花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。在某种思想方法应用频繁的章节，应适当强化这种思想方法的训练。如在数学归纳法一节，应精心设计循序渐进的组题，在问题解决中提炼并明确总结联合运用不完全归纳法、数学归纳法解题这一思想方法，在学生能熟练运用的基础上，通过反复运用，才能形成自觉运用的意识。三、高考复习中数学思想方法教学的途径。、用数学思想指导基础复习，在基础复习中培养思想方法。基础知识的复习中要充分展现知识形成发展过程，揭示其中蕴涵的丰富的数学思想方法。如几何体体积公式的推导体系，集公理化思想、转化思想、等积类比思想及割补转换方法之大成，就是这些思想方法灵活运用的完美范例。只有通过展现体积问题解决的思路分析，并同时形成系统的条理的体积公式的推导线索，才能把这些思想方法明确地呈现在学生的眼前。学生才能从中领悟到当初数学家的创造思维进程，这对激发学生的创造思维，形成数学思想，掌握数学方法的作用是不可低估的。注重知识在教学整体结构中的内在联系，揭示思想方法在知识互相联系、互相沟通中的纽带作用。如函数、方程、不等式的关系，当函数值等于、大于或小于一常数时，分别可得方程，不等式，联想函数图象可提供方程，不等式的解的几何意义。运用转化、数形结合的思想，这三块知识可相互为用。注意总结建构数学知识体系中的教学思想方法，揭示思想方法对形成科学的系统的知识结构，把握知识的运用，深化对知识的理解等数学活动中指导作用。如函数图象变换的复习中，我把散见于二次函数、反函数、正弦型函数等知识中的平移、伸缩、对称变换，引导学生运用化曲线间的关系为对应动点之间的关系的转化思想及求相关动点轨迹的方法统一处理，得出图象变换的一般结论。深化学生图象变换的认识，提高了学生解决问题的能力及观点。、用数学思想方法指导解题练习，在问题解决中运用思想方法，提高学生自觉运用数学思想方法的意识。注意分析探求解题思路时数学思想方法的运用。解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与题断间的差异的过程。也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。注意数学思想方法在解决典型问题中的运用。如解题中求二面角大小最常用的方法之一就是：根据已知条件，在二面角内寻找或作出过一个面内一点到另一个面上的垂线，过这点再作二面角的棱的垂线，然后连结二垂足。这样平面角即为所得的直角三角形的一锐角。这个通法就是在化立体问题为平面问题的转化思想的指导下求得的。其中三垂线定理在构图中的运用，也是分析，联想等数学思维方法运用之所得。调整思路，克服思维障碍时，注意数学思想方法的运用。通过认真观察，以产生新的联想；分类讨论，使条件确切，结论易求；化一般为特殊，化抽象为具体，使问题简化等都值得我们一试。分析、归纳、类比等数学思维方法，数形结合、分类讨论、转化等数学思想是走出思维困境的武器与指南。用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，培养思维的发散性，灵活性，敏捷性；对习题灵活变通，引伸推广，培养思维的深刻性，抽象性；组织引导对解法的简捷性的反思评估，不断优化思维品质，培养思维的严谨性，批判性。对同一数学问题的多角度的审视引发的不同联想，是一题多解的思维本源。丰富的合理的联想，是对知识的深刻理解，及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。数学方法、数学思想的自觉运用往往使我们运算简捷、推理机敏，是提高数学能力的必由之路。“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终生。（二）转化与化归的思想方法化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题，将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等等。化归灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。在高考中，对化归思想的考查，总是结合对演绎证明，运算推理，模式构建等理性思维能力的考查进行，因此可以说高考中的每一道试题，都在考查化归意识和转化能力。高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。1. 转化运算例1.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为（ ）A1BCD2分析: 动直线与函数和的图像分别交于两点, 横坐标相同，那么就是纵坐标之差，即求最值。解: 最大值为评注:审题要审准，读懂题意，将问题学会转化。例2（2008湖北卷，理14）已知函数,等差数列的公差为.若,则 .分析：题目中的已知条件很容易求得，而所求的为可以转化为等差数列的前10项之和，根据公差，可以把前10项之和转化为用表示出来，从而求得。解：由和知，=评注：仔细分析题目，把运算进行转化，可以大大地节省时间，提高做题的效率。本题中把等差数列的前10项之和转化为用表示出来，比较快捷，减少计算量。2新定义运算转化为普通运算例3（2008山东省泰安市）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合若， 则A#B为（ ）A BC D分析：根据图形语言可知定义的A#B转化为原有的运算应该是表示为，所以需要求出和，借助数轴求出并集与交集。0 1 2 x解：，则，根据新运算，得A#B=故选D答案：D评注：本题是集合中的新定义运算题，综合考查了图形语言、集合的描述法表示，函数的定义域和值域，以及集合的交并补的运算。解题的关键是由图形语言把新定义运算转化为原有的普通运算解出。例4（2008山东省郓城一中）定义一种运算，令，且，则函数的最大值是（ ）A B1 C D分析：根据新定义，知要确定函数的解析式，需要比较与的大小关系，即需要求的取值范围，另外，还要注意自变量的取值范围，再确定的解析式，从而求出函数的最大值。解：设，即，根据新定义的运算可知，（）函数的最大值是，故选A答案：A评注：解决新定义问题，首先要把定义读懂理解透，把陌生的新内容转化为熟悉的已知的内容，在此基础上进一步研究熟悉的问题。3转化函数关系例5（2008山东卷，文15）已知，则的值等于 分析：本题中的函数不是以为整体，而是以为整体给出的解析式，所以要求函数值，需要先求关于的解析式，再代入求值。解：，则评注：有些题目中往往所给的解析式不是关于的解析式，这时需要我们把解析式进行转化，本题中先把函数进行转化，然后进行运算。4函数与导函数之间的转化例6（2008湖北卷，理7）若上是减函数，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 分析：把已知条件函数在某区间上是单调减函数需要转化为函数的导函数在此区间上是恒负，再分化出，转化为函数研究最值问题解决。解：上是减函数，在上恒成立，即在上恒成立，设在上单调递增，当时，在上恒成立，即上是减函数。故选C答案：C评注：函数的单调性通常转化为导函数的正负判断，而不等式恒成立又常常转化为函数研究最值问题，本题中还要注意做题的严密性，等号不能丢掉。例7（2008福建卷，理12）已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ）分析：注意观察导函数的图象以及原函数的图象，并把所得到的信息转化为原函数的信息，加以排除选择。解：令，则，当时，由图象知，即，是增函数，则答案，错，当时，即，是减函数，则答案错，故选答案：评注：对于由图形给出的信息要从中提炼出来，并适当地用数学语言表述准确，本题中的两个函数可以转化为一个函数，进行构造，导函数的正负转化为原函数的增减。5.三视图转化为立体图例8（2009莱阳模拟）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形若该几何体的体积为V，并且可以用n这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（ ） A BC D 分析：由三视图转化为立体图，再做解答。解：根据三视图，可知此几何体为一个如图所示的四棱锥，其体积为，故选B 答案：B 评注：高考题注重对立体几何中的三视图的考查，一般是给出几何体的三视图，让我们还原为立体图，然后求出一些几何量。例9（2008山东淄博市模拟）一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（ ） BCDEFMNO 正视图 侧视图 俯视图 A B CD分析：先把三视图还原为立体图，再由立体图进行解答。解：有三视图可知，此几何体为正六棱锥，如图，其中正视图为，是正三角形，则，底面边长为1，侧棱长为2，则高为，设分别为的中点，则为侧视图，侧视图的面积为，故选。答案：评注：正确对待三视图，要会还原为立体图，找出相应的量解出，注意对应的量不能出错。6极坐标与参数方程转化为普通方程例10（2008南通四县）（坐标系与参数方程）已知曲线C的极坐标方程是以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长分析：本题既有参数方程又有极坐标方程，用极坐标方程和参数方程研究弦长问题很难解决，可以转化为普通方程求出。解：曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为，即 直线l的参数方程，化为普通方程为xy1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为 所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长= 评注：研究极坐标与参数方程问题可以直接研究，也可以转化为普通方程研究，特别是在研究直线与圆锥曲线的位置关系时常常转化为普通方程求出。7函数、方程、不等式之间的转化例11（2009山东省济宁市）若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是A BC D分析:本题为三次函数有三个不同的零点，则函数应该有两个极值点，一个极值为正，一个极值为负，所以要先求出其导数，再求其极值。解: 由函数有三个不同的零点,则函数有两个极值点,且有,得,所以函数的两个极值为和,结合图象,应该有,故选A答案:A评注:一般地对于高次函数来说，要转化为导函数研究问题，特别是在研究函数的单调性、最值等性质时要用导数解决。例12设函数为实数。（）已知函数在处取得极值，求的值； （）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围。分析：（）中不等式对任意都成立，可以转化为的不等式在都成立，从而变为的一次函数由单调性来解答；也可以将分化出来，转化为的不等式在恒成立，研究右边函数的最值。解: (1)，由于函数在时取得极值，所以 即 (2) 方法一： 由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 设 , 则对任意，为单调递增函数 所以对任意，恒成立的充分必要条件是 即 ， 于是的取值范围是 方法二：由题设知：对任意都成立 即对任意都成立 于是对任意都成立，即， 于是的取值范围是评注：对于不等式恒成立问题，一般来说是要分化出参数，转化为求右边函数的最值问题；但有的也不容易分化，我们也可以转换主变量，把二次函数转化为一次函数，根据一次函数的单调性即可容易完成。（湖北理）已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求证：（）本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为（）设，则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，8数列问题的转化例13（2009莱阳高三理）若数列满足，则称数列为调和数列。已知数列为调和数列，且，则 。分析：根据调和数列的定义，可以看出其倒数数列符合等差数列的定义，由此可以转化，利用等差数列的定义求出前项和。解：根据调和数列的定义知：数列为调和数列，则，也就是数列为等差数列，现在数列为调和数列，则数列为等差数列，那么由，得，20答案：20评注：本题为新定义题，但也不要被表象所迷惑，通过现象看本质，转化为我们熟悉的特殊数列等差数列进一步解答，此题中注意角色的变化，数列为调和数列，数列为等差数列是解题的关键。例14（2008陕西卷，文20）已知数列的首项，（）证明：数列是等比数列；（）数列的前项和分析：对于证明数列为等比数列，要按定义证明，但证明完后也提示我们下一步要用等比数列求出数列的通项公式，然后进一步判断数列的类型，从而求出其前项和。解：（） ， ， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列（）由（）知，即，设， 则，由得，又数列的前项和 评注：解决数列问题就要判断是否为等差、等比数列，如果不是，那么能否构造新数列为特殊数列，注意转换角色，把数列问题转化为我们熟悉的特殊数列问题和研究方法解答。9平面向量、解析几何中的化归思想例15.（2008全国，理10）若直线通过点，则（ ）ABCD分析：点是单位圆上的点，则可以通过直线与单位圆的位置关系来转化。，当然也可以把直线看作等式或看作向量的数量积来解答。解法一：由题意知直线与圆有交点，则.解法二：设向量，由题意知由可得答案: D评注：本题中的两种方法都是把已知条件进行了转化，利用化归的思想解决问题不适为捷径，方法比较活跃，知识连接成网，这要靠我们平时积累和总结。例16.（全国，理21）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（）若，求的值；（）求四边形面积的最大值分析：本题中涉及到的点比较多，其中都在直线上，（）中的向量要用点的坐标表示出，所以可以先设出各点的坐标，再转化为关于的方程解出，（）中的四边形面积可以转化为两个三角形的面积求出，可以都以为公共边，也可以以为公共边求出。DFByxAOE（）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，如图，设，其中，且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为，当时，上式取等号所以的最大值为评注：解析几何中的问题常常与向量、函数、方程、不等式等问题相联系，进行转化解答。10.立体问题转化为平面（向量）问题例17.（2008江苏海头高级中学）如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为_ _ 分析：研究最短距离，需要把立体图展为平面图，由两点间的线段最短，求线段的长。解：把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的ABPDCABCDP最短路程为展开图中的线段，则答案：评注：研究立体问题常常以平面为基准，把立体问题转化为平面问题，把曲线问题转化为直线问题，这是解决问题的转化与化归思想。例18.（2008年安徽卷，理18）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点（）证明：直线；（）求异面直线AB与MD所成角的大小； （）求点B到平面OCD的距离。分析：要证线面平行,可以在面内找的平行线,取的中点,通过线线平行证出,也可以找平面的平行平面通过面面平行证出; 异面直线AB与MD所成角可以通过平移转化为平面角求出;而（）中点B到平面OCD的距离不易找出,可以利用线转化为点A到平面OCD的距离求出.还可以用向量法通过计算解答各题.解法一：（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE又 （2） 为异面直线与所成的角（或其补角）作连接所以 与所成角的大小为（3）点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q，又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，所以点B到平面OCD的距离为解法二.(向量法)作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系(1)设平面OCD的法向量为,则即 取,解得(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值, 由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为评注:立体几何问题一般都可以用两种方法综合法和向量法.都要经过转化,把立体问题转化为平面问题,将空间问题转化为代数运算从而证得求出.PBECDFA例19.（2008山东卷，理20）如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，分别是的中点（）证明：；（）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值分析：比较容易证出,可以转化为线面垂直证明出, （）的点为上的动点,而且与平面所成最大角不太容易找到,根据（）就要转化为点到的距离最短,然后求出确定位置.另外,对于点的位置不确定而且比较容易建立直角坐标系时,用坐标计算比较简单。解:（）证明：由四边形为菱形，可得为正三角形因为为的中点，所以又，因此PBECDFAHOS因为平面，平面，所以而平面，平面且，所以平面又平面，所以（）解：设，为上任意一点，连接由（）知平面，则为与平面所成的角在中，所以当最短时，最大，即当时，最大此时，因此又，所以，所以解法一：因为平面，平面，所以平面平面过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，又是的中点，在中，又，在中，即所求二面角的余弦值为解法二：由（）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以PBECDFAyzx，所以设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，所以平面，故为平面的一法向量又，所以因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为评注：本题为探索性问题，难度比较大。特别是在使用线面角时不易找出。这就需要我们耐心分析，仔细体会前后问之间的关系，能否打通思路，把问题进行适当地转化，做到立体问题平面化，几何问题代数化，利用化归思想解答问题。11.预测题（1）.（2008广东）已知两不等的实数满足则过点和的直线与单位圆的位置关系为（ ）A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定分析:本题给出的是两个方程,所研究的是直线与圆的位置关系,需要两点确定的直线方程,通过观察就可以把已知的方程转化为所求直线的方程,从而判断直线与圆的位置关系.解:因为 实数满足,所以点和的坐标都适合直线,即两点确定的直线方程为,原点到此直线的距离为,所以直线与圆相切.故选A答案:A评注:不要直接由两点式写方程,要注意观察并把已知条件转化,减少计算量.（2）.（08届莆田四中）已知是内一点,且若、的面积分别为、, 则的最小值是（ ） A9 B. 16 C. 18 D. 20分析:已知条件为向量的数量积与夹角,可以得到两边之积,再由两边与夹角求得的面积,另一方面, 的面积又为、的面积之和,从而实现了由向量向代数式的转化.然后用均值不等式求得最值.解:,又因为的面积为、的面积之和,得当且仅当时取等号.故选C.答案:C评注:本题完成了由向量向函数方程之间的转化,进而又转化为用均值不等式求最值.做题时要注意条件的联系性和化归的数学思想.（3）（宁夏银川一中）2008052524设函数 项和是2008052524（ ）A B C D分析:把题目中的函数求出,得到解析式,从而转化为数列的通项与前项的和.解: 由函数知,所以, 所以,项和为=,故选C.答案:C评注:本题中给出的已知 条件是函数与导函数,由导函数确定原函数,从而求得数列的通项公式,然后求出前项的和.（4）（江苏省盐城中学）求直线（）被曲线所截的弦长.分析:本题给出的是参数方程和极坐标方程,要求弦长,就要转化为普通方程.解:将方程,分别化为普通方程：，评注:对于参数方程和极坐标方程的方程,可以直接求解,也可以转化为普通方程求解出.（5）.（原创）设函数,若,则点所形成的区域的面积为 ( )A. B. C. D. 分析:首先分析由所确定的平面区域,再根据区域的形状求其面积.解:由,得,即,所表示的区域为以为圆心,以为半径的圆面.由,得,即,所表示的区域为直线的左下方.故点所形成的区域如图阴影部分所示.到直线的距离为,又,故,对应的圆心角角为,扇形ABC的面积为;又的面积为,故阴影部分的面积为.即点所形成的区域的面积为.选D.AOxyBC评注:考查圆的标准方程,点到直线的距离,一元二次方程表示平面区域,扇形的面积以及函数的表示等知识.考查运算能力和化归思想.函数,不等式的内容都是比较容易与其它知识相结合的知识点,本题在形式上是函数和不等式问题,但剖析之后可以发现,其实质是圆与线性规划相结合的问题.高考中,知识的交汇试题是主流,很多题目都是以一个知识点为载体考查另一个知识点,解题时一定要善于分析,透过表面看透问题的实质,从而合理转化,寻求问题的解决途径.（6）.（原创）已知过点（0,3）的直线与函数的导函数的图象交于两点, ,且,其中（1）求直线的方程,并求的长.（2）问若，问实数m取何值时，使得的图象恒在的图象的上方？分析:根据求导公式,将函数问题转化为抛物线与直线的位置关系问题,通过解方程组,由韦达定理和向量的数量积坐标运算,利用待定系数法求解.解: 函数的导函数为,其图象为开口向上的抛物线, 因为直线过点（0,3）, 与抛物线交于两点,所以直线的斜率存在,设为,则直线的方程为,解方程组消去得：，方程组有两解，设，则，,，又 ，即，即或，当时，直线的方程为，此时，=.当时，直线的方程为，此时，=.（2）设，定义域为则，令，得，当时，为减函数；当时，为增函数；当时，最小，最小值为，要使得的图象恒在的图象的上方，需使最小值0,即评注:考查函数求导,利用导数求函数的最值, 向量的数量积, 考查直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查利用韦达定理计算弦长等综合运算求解能力.本题通过函数求导,把问题转化为研究直线与圆锥曲线的位置关系,并把两曲线的位置关系的讨论转化为利用导数研究函数的最值的综合性题目.做题时要仔细审题,逐步翻译,求解直线或圆锥曲线的方程时往往要先设后求,利用待定系数法和解方程组法由韦达定理解答.在解答问题时要注意直线的斜率是否存在,解方程组时,判别式是否大于0,函数的定义域等这些细节问题.高考资源网（三）函数与方程的思想方法一、知识整合函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)0的解就是函数yf(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数yf(x)也可以看作二元方程f(x)-y0通过方程进行研究。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。1函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。2方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为方程f(x)0，也可以把函数式yf(x)看做二元方程yf(x)0。函数问题（例如求反函数，求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)0，就是求函数yf(x)的零点。(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数yf(x)，当y0时，就转化为不等式f(x)0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。(3) 数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。(4) 函数f(x)（nN*）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。(5) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。二、例题解析运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。例1 已知，（a、b、cR），则有（ ）(A) (B) (C) (D) 解析 法一：依题设有 a5bc0是实系数一元二次方程的一个实根；0 故选(B)法二：去分母，移项，两边平方得：10ac25ac20ac 故选(B)点评解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。练习1 已知关于的方程 （2 m8）x +16 = 0的两个实根 、 满足 ，则实数m的取值范围_。答案：；x21y02 已知函数 的图象如下，则（ ）（A） (B)(C) (D)答案：A. 3 求使不等式对大于1的任意x、y恒成立的a的取值范围。：构造函数或方程解决有关问题：例2 已知，t，8，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式恒成立，求x的取值范围。解析t，8，f(t)，3原题转化为：0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要）当x2时，不等式不成立。x2。令g(m)，m，3问题转化为g(m)在m，3上恒对于0，则：；解得：x2或x0，0 0d3（2）d0，是关于n 的二次函数，对称轴方程为：xd3 6 当n6时，最大。三、强化练习1展开式中的系数为_.2已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列,则( )A 1 B C D 3.设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（ ）A 5 B C D 4已知锐角三角形ABC中，。 .求证； .设，求AB边上的高。5甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为。.分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；.从甲、乙、丙加工的零件中各取一个进行检验,求至少有一个是一等品的概率。6设，曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点到曲线对称轴距离的取值范围是（）7.设双曲线C：与直线相交于两个不同的点A、B。.求双曲线C的离心率的取值范围；.设直线与轴的交点为P，且，求的值。（四）数形结合的思想方法2009年新课标考试大纲明确指出“数学知识是指普通高中数学课程标准（实验）中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法”。其中数学思想方法包括： 函数与方程的思想方法、 数形结合的思想方法 、 分类整合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化归的思想方法、 必然与或然的思想方法。数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、综合和渗透的能力。考试大纲对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方法起着重要桥梁连接和支称作用，“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度” 。“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。” 数学的思想方法渗透到数学的各个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。数形结合的思想方法数形结合思想是一种很重要的数学思想，是数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面，把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把 图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。在使用的过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。特别是在集合、函数、不等式、数列、向量、解析几何、导数与积分等能够用图形表述的知识点，就要用数形结合形象化，高考在选择题、填空题侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。1集合问题中的数形结合例1.（2008北京卷,理1）已知全集，集合，那么集合等于（ ）ABCD分析:不等式表示的集合通过数轴解答.-2 -1 3 4 x解:在数轴上先画出,再画出集合,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合,故选D答案:D评注:对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算2.利用函数的图象解答问题例2(07浙江)设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）A. B. C. D. 分析：本题为复合函数，相当于中的的值，结合函数的图象，可以求得的值域。-1 0 1 xy解：作出函数的图象如图所示，由图知当时，函数的值域为，而为复合函数，相当于中的的值，所以的值域是，故选B。答案：B评注：本题中的复合函数要转化为原函数和的信息，结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系。而不必探究二次函数的解析式。例3（2008广东深圳中学）若的图象必不经过（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析:由知函数图象单调递增,由知把指数函数图象向下平移到原点的下方.故不过第二象限,选B.答案:B10评注:对于指数函数的图象必须熟悉,并能够进行图象的平移变换.例4（宁夏区银川一中2008）函数的零点的个数是（ ）A3个B2个C1个D0个分析：函数的零点的个数就是方程的解的个数，要通过数形结合，画出函数的图象的交点的个数。解： 的零点，即使，作函数的图象和函数的图象如图所示，有两个交点，所以函数有两个零点，故选答案：评注：对于象本题这样的超越函数的解的个数问题常常用数形结合的思想解答3.利用导函数图象解答问题例5（2008金华一中模拟）函数的图象过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象的顶点在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限分析：由导函数的图象及求导公式，提炼出信息得到原函数的有关信息解答。解：它的导函数的图象是如图所示的一条直线，可知原函数为二次函数，设解析式为，由于函数的图象过原点，所以，为减函数，由的图象可知当时，函数的图象过原点，所以顶点在第一象限评注：要熟悉导函数与原函数之间的关系，对一次、二次函数关系及其图象的特点要很熟悉。例6.（2009莱阳）设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是 解析:根据函数的单调性与导函数值的正负之间的关系,进行逐一判断. A,B,C都有可能成立,排除A,B,C,选D答案:D评注:正确图象判断的原则为: 函数的单调增,则导函数值为正, 函数的单调减,则导函数值为负.4利用不等式表示的平面区域解答问题例7（2008年安徽卷，理15）若为不等式组表示的平面区域，则当从2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为 分析：作出不等式表示的平面区域，然后再作平行线和则夹在两平行线之间的部分即为所求。解：如图知是斜边为3 的等腰直角三角形，是直角边为1等腰直角三角形，区域的面积评注：涉及到不等式表示的平面区域问题时常常要画出图形数形结合解答问题。例8（2008年浙江,理17）若，且当时，恒有，则以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域的面积等于_。OABxy分析：本小题主要考查线性规划的相关知识，可考虑特殊情形，比如x0，可得a1；y0可得b1.所以猜测a介于0和1之间，b介于0和1之间。解：不等式组表示的平面区域为，如图，由恒成立知，当时，恒成立，当成立；当时，恒成立，；同理，以,b为坐标点P（，b）所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1。答案：1评注：线性规划的相关知识要画出图形，借助图形解答。另外对于恒成立问题，对个例一定成立，还要转为函数的最值。5.利用函数借助图形求面积例9.（2008山东省聊城市）曲线和曲线围成一个叶形图(如图所示阴影部分），其面积是 （ ）A1 B C D 分析: 两条曲线围成的面积用微积分求出,并且是上面的函数减去下面的函数的积分.解:两条曲线的交点为,阴影部分的面积为评注:对于曲线所围成的不规则的几何图形的面积,要用微积分解答,注意积分的上限和下限,有时要看图形是否需要切分成多块部分求出. 6解析几何问题常常数形结合例10.（2008海南卷，理11）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）ABCD分析: 点P到点的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时, 点P到点的距离与点P到抛物线的准线的距离之和也取得最小值,这样就可以把点P到抛物线的焦点的距离转为到准线的距离求出.解: 点在抛物线的内部,要使点P到点的FPQ距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值,根据抛物线的定义知,须使点P到点的距离与点P到抛物线准线距离之和取得最小,即时最小.则故选A.答案:A评注:抛物线的定义是到焦点的距离等于到准线的距离,做题时常常用定义进行转化.例11（福建德化一中2008，理）已知函数f(x)= , 若0x1x2 B = C D 前三个判断都不正确分析：从解析式上看函数与圆的方程有联系，可以转化为圆，画出图形，由数形结合得出结论。解：由函数得知的图象为圆的上半圆，如图，当0x1x2 ，故选A评注：对于函数的图象要熟悉，利用数形结合解答函数的选择题比较形象直观，容易找到关系。例12.（2008重庆卷,理21）如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：（）求点P的轨迹方程；（）若,求点P的坐标.分析：根据已知条件和椭圆的定义易得点P的轨迹方程，由（2）中的等式可变形转为向量的模和数量积，结合总条件，在三角形中研究边与角之间的关系。解：()由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴，b=， 所以椭圆的方程为 ()由得 因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在PMN中， 将代入，得 故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上. 由()知，点P的坐标又满足，所以由方程组 解得 即P点坐标为评注：解析几何问题要画出图形，采用数形结合的方法解答。7.预测题（1）（2008宁夏银川一中,改编）已知函数（其中），1-1D1-1B1-1A若的图像如右图所示，则函数的图像是（ ）1C分析:由已知二次函数解析式及二次函数的图象可以判断的取值范围,从而判断的图象.解: 由函数（其中）的图象可知,.把的图象向下平移个单位,故选A.答案:A评注:学会识图,读图,画图,并进行图象的平移变换.（2）（2008山东省聊城市,改编）函数的定义域为（a,b），其导函数 内的图象如图所示，则函 数在区间（a,b）内极值点的个数是（ ）A1 B2 C3 D. 4分析:要判断函数的极值点,要先找导函数的零点,再看此点两侧的导函数的符号,如果异号就是原函数的极值点.解:由导函数图知, 只在处的导数值为0,且两侧的符号相异.函数在区间（a,b）内极值点的个数为2个评注:判断函数的极值点不能只找导函数的零点,还要看此零点两侧的导函数的符号,如果异号就是原函数的极值点.本题图中处虽然也为零,但因其两侧的符号相同,而不是函数在区间（a,b）内极值点.（3）（原创）设实数x, y满足 分析: 作出不等式表示的可行域,再画出可行域内的点与点连线,数形结合解答.解: 作出不等式表示的可