对数函数与指数函数的导数.ppt

对数函数与指数函数的导数 一 复习与引入 1 函数的导数的定义与几何意义 2 常见函数的导数公式 3 导数的四则运算法则 4 复合函数的导数公式 5 由前面几节课的知识 我们已经掌握了初等函数中的幂函数 三角函数的导数 但还缺少指数函数 对数函数的导数 而这就是我们今天要新学的内容 有了指数函数 对数函数的导数 也就解决了初等函数的可导性 结合前一章节的知识 我们可知 初等函数在其定义域内都是连续而且可导 二 新课 指 对函数的导数 1 对数函数的导数 下面给出公式的证明 中间用到重要极限 证 证 利用对数的换底公式即得 2 指数函数的导数 由于以上两个公式的证明 需要用到反函数的求导法则 这已经超出了目前我们的学习范围 因此在这里我们不加以证明 直接拿来使用 三 例题选讲 例1 求下列函数的导数 1 y ln 2x2 3x 1 2 y lg 3 y e2xcos3x 4 y a5x 解 1 2 法1 2 法2 3 4 例2 求下列函数的导数 解 解 设y au u cosv v 1 x 则 解 解 函数的定义域为 例3 已知f x 为可导函数 试求下列函数的导数 1 y f lnx 2 y f 3 y f ex 解 1 2 3 解此类题应注意 1 分清是由哪些函数复合而成的 2 用逐步的方法来进行求导 练习1 求下列函数的导数 答案 例4 设一质点的运动规律为为常数 试求t 1 2时质点运动的速度v0 解 故当t 1 2时 质点运动速度v0为 例5 求曲线y xlnx的平行于直线x y 1 0的切线方程 解 设该切线与曲线相切的切点为 x0 x0lnx0 故曲线在点 x0 x0lnx0 处的切线斜率为lnx0 1 由已知可得 lnx0 1 1 即x0 1 故切点为 1 0 所以所求切线方程为y 0 x 1 即x y 1 0 答案 x ey 2e 0 1 e x ey e2 0 练习2 分别求曲线 y logxe 在点 e 1 处的切线方程 延伸 设点P是曲线y ex上任意一点 求点P到直线y x的最小距离 答案 四 小结 对数函数 指数函数的导数是常用的导数公式中较难的两类函数的导数 要熟记公式 会用公式 用活公式 2 解决指 对数函数的导数问题 应充分重视指数 对数的运算性质的准确使用 以保证变换过程的等价性 3 在求指 对数函数的导数过程中 要遵循先化简 再求导的原则 要结合导数的四则运算法则和复合函数的求导法则进行求导 例6 求下列函数的导数 1 y xx x 0 2 y f x g x 解 1 两边取对数 得lny xlnx 由于y是x的函数 由复合函数的求导法则对上式两边对x求导 可得 2 两边取对数 得lny g x lnf x 两边对x求导 可得 说明 1 解法可能对lny求导不易理解 事实上 若u lny y f x 则 2 本题用的求导方法习惯上称为对数求导法 即先两边取对数 再对x求导 一般适用于下列两类函数 形如y x a1 x a2 x an 的函数 取对数后 可将积转化为和的形式 或 取对数后 可转化为代数和的形式 无理函数或形如y f x g x 这类幂指函数 3 对数求导法的优点 一是可使问题简单化 积 商变和 差 幂 根变积式 二是可使较复杂函数求导变为可能 无求导公式变为有求导公式 例如我们利用上面例题中的 2 可知中的n的范围可以扩大到全体实数 又如下面一题我们就有两种不同的解法 方法二 由于y 0 故可以两边取对数 题目 已知0 x 1 求的导数 方法一 练习3 用两种不同的解法求函数的导数 方法一 由于y 0 故两边取对数 得 方法二