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老梁试卷高一数学必修一综合一选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1（5.00分）已知集合A=x|x216，B=x|42x0，则AB=（）A（4，2）B（4，4）C（2，2）D（2，4）2（5.00分）函数f（x）=ln|的大致图象是（）ABCD3（5.00分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（）A B3 C或3 D或34（5.00分）已知奇函数f（x），当x0时单调递增，且f（1）=0，若f（x1）0，则x的取值范围为（）Ax|0x1或x2Bx|x0或x2Cx|x0或x3Dx|x1或x15（5.00分）已知函数f（x）=logax（0a1）的导函数为f（x），记A=f（a），B=f（a+1）f（a），C=f（a+1），则（）AABCBACBCBACDCBA6（5.00分）已知函数，若x，y满足，则的取值范围是（）ABC（1，1）D1，17（5.00分）已知点（m，8）在幂函数f（x）=（m1）xn的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（）AacbBabcCbcaDbac8（5.00分）已知函数f（x）=，g（x）=ex（e是自然对数的底数），若关于x的方程g（f（x）m=0恰有两个不等实根x1、x2，且x1x2，则x2x1的最小值为（）A（1ln2）B+ln2C1ln2D（1+ln2）9（5.00分）某公司拟投资开发新产品，估计能获得10万元至100万元的投资收益，为激发开发者的潜能，公司制定产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，同时奖金不超过投资收益的20%，奖金封顶9万元，若采用以下函数模型拟合公司奖励方案，则较适合的函数是（）Ay=+2By=Cy=+Dy=4lgx310（5.00分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象可能是（）ABCD二填空题（共4小题）11已知log2x=log3y=log5z0，则、由小到大排序为 12已知函数（a0，且a1），若f（3）f（4），则不等式f（x23x）f（4）的解集为 13函数f（x）=，关于x的方程f（x）=kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为 14已知R，函数f（x）=，当=2时，不等式f（x）0的解集是 若函数f（x）恰有2个零点，则的取值范围是 三解答题（共6小题）15已知定义域为R的函数f（x）=+是奇函数（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性并证明；（3）若对于任意的t（1，2），不等式f（2t2+t+1）+f（t22mt）0有解，求m的取值范围16（1）计算：；（2）已知x+x=2，求的值17已知函数f（x）=lg（x+1）lg（1x）（）求函数f（x）的定义域；（）判断函数f（x）的奇偶性18已知幂函数f（x）=在（0，+）上单调递增，函数g（x）=2xk，（）求实数m的值；（）当x（1，2时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若AB=A，求实数k的取值范围19已知函数（1）求函数f（x）的反函数f1（x）；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1x2x3，且x3x2=2（x2x1），求实数a的值20如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元已知，设EOD=2，（1）将商业街的总收益f（）表示为的函数；（2）求商业街的总收益的最大值老梁试卷高一数学必修一综合参考答案与试题解析一选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1（5.00分）已知集合A=x|x216，B=x|42x0，则AB=（）A（4，2）B（4，4）C（2，2）D（2，4）【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可【解答】解：A=x|4x4，B=x|x2；AB=（4，2）故选：A【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集的运算2（5.00分）函数f（x）=ln|的大致图象是（）ABCD【分析】根据函数的奇偶性和函数值的特点即可判断【解答】解，f（x）=ln|=ln|=f（x），f（x）为奇函数，排除A，C当0x=e+1，则f（e+1）=ln|=ln|e+2|lne0，故排除B，故选：D【点评】本题考查了函数图象的识别和判断，关键是掌握函数的奇偶性，以函数值的特点，属于基础题3（5.00分）已知函数是奇函数，则f（a）的值等于（）AB3C或3D或3【分析】根据f（x）为奇函数即可得出，从而可解出a=1，从而可求出f（a）的值【解答】解：f（x）是奇函数；整理得：（2a22）2x=0；2a22=0；a=1；a=1时，；a=1时，故选：C【点评】考查奇函数的定义，指数式的运算，以及已知函数求值的方法4（5.00分）已知奇函数f（x），当x0时单调递增，且f（1）=0，若f（x1）0，则x的取值范围为（）Ax|0x1或x2Bx|x0或x2Cx|x0或x3Dx|x1或x1【分析】先确定函数f（x）在（，0）上单调递增，且f（1）=0，再将不等式等价变形，即可得到结论【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）在（0，+）上单调递增，且f（1）=0，函数f（x）在（，0）上单调递增，且f（1）=0，且1x0或x1，f（x）0；x1或0x1，f（x）0；不等式f（x1）0，1x10或x11，解得0x1或x2，故选：A【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，关键利用函数上奇函数得到对称区间得单调性，属于基础题5（5.00分）已知函数f（x）=logax（0a1）的导函数为f（x），记A=f（a），B=f（a+1）f（a），C=f（a+1），则（）AABCBACBCBACDCBA【分析】设M坐标为（a，f（a），N坐标为（a+1，f（a+1），利用导数及直线斜率的求法得到A、B、C分别为对数函数在M处的斜率，直线MN的斜率及对数函数在N处的斜率，根据对数函数的图象可知大小，得到正确答案【解答】解：记M（a，f（a），N（a+1，f（a+1），则由于B=f（a+1）f（a）=，表示直线MN的斜率，A=f（a）表示函数f（x）=logax在点M处的切线斜率，C=f（a+1）表示函数f（x）=logax在点N处的切线斜率所以，CBA故选：D【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查会利用导数求过曲线上某点切线的斜率，掌握直线斜率的求法，是一道中档题6（5.00分）已知函数，若x，y满足，则的取值范围是（）ABC（1，1）D1，1【分析】先求出函数y=f（x）的定义域（1，1），并利用定义判断出函数y=f（x）为奇函数，利用复合函数的单调性判断出函数y=f（x）为减函数，由，得，可得到关于x、y的二元一次方程组，然后利用线性规划的知识可求出的取值范围【解答】解：由，得，解得1x1，所以，函数的定义域为（1，1），关于原点对称，任取x（1，1），则x（1，1），所以，函数为奇函数，令，则内层函数在x（1，1）上单调递减，而外层函数y=lnu单调递增，由复合函数的单调性可知，函数为减函数，由，得，则有，化简得，做出不等式组所表示的可行域如下图阴影部分区域所示，而代数式表示连接可行域上的点（x，y）与定点P（3，0）两点连线的斜率，由斜率公式可得直线PC的斜率为，直线PB的斜率为，结合图形可知，的取值范围是（1，1），故选：C【点评】本题考察函数的奇偶性与单调性、以及线性规划，关键在于利用函数的单调性与奇偶性得到二元一次不等式组，然后利用线性规划求代数式的取值范围，属于中等题7（5.00分）已知点（m，8）在幂函数f（x）=（m1）xn的图象上，设，则a，b，c的大小关系为（）AacbBabcCbcaDbac【分析】由幂函数的定义可得m=2，n=3，f（x）=x3，且f（x）在R上递增，结合对数函数和幂函数的性质，即可得到a，b，c的大小关系【解答】解：点（m，8）在幂函数f （x）=（m1）xn的图象上，可得m1=1，即m=2，2n=8，可得n=3，则f（x）=x3，且f（x）在R上递增，由a=f（），b=f （ln ），c=f（），01，ln 1，可得acb，故选：A【点评】本题考查幂函数的解析式和性质以及运用：比较大小，考查运算能力，属于中档题8（5.00分）已知函数f（x）=，g（x）=ex（e是自然对数的底数），若关于x的方程g（f（x）m=0恰有两个不等实根x1、x2，且x1x2，则x2x1的最小值为（）A（1ln2）B+ln2C1ln2D（1+ln2）【分析】化简方程为f（x）=lnm，作函数f（x），y=lnm的图象，结合图象可知，存在实数m（0m1），使x2=e=m，可得x1x2=mlnm，令g（m）=mlnm，利用导数可得g（m）g（）=，【解答】解：f（x）=，f（x）0恒成立；gf（x）=e f（x）=m，f（x）=lnm；作函数f（x），y=lnm的图象如下，结合图象可知，存在实数m（0m1），使x2=e=m故x1x2=mlnm，令g（m）=mlnm，则g（m）=1，故g（m）在（0，递减，在（，1）递增，g（m）g（）=，故选：D【点评】本题考查了复合函数与分段函数的应用，同时考查了导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法9（5.00分）某公司拟投资开发新产品，估计能获得10万元至100万元的投资收益，为激发开发者的潜能，公司制定产品研制的奖励方案：奖金y（万元）随投资收益x（万元）的增加而增加，同时奖金不超过投资收益的20%，奖金封顶9万元，若采用以下函数模型拟合公司奖励方案，则较适合的函数是（）Ay=+2By=Cy=+Dy=4lgx3【分析】由设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：当x10，100时，f（x）是增函数；f（x）9恒成立；恒成立然后对两个函数模型逐一分析，对三个条件全部满足的选取，三个条件有一个不满足则舍弃【解答】解：设奖励函数模型为y=f（x），则公司对函数模型的基本要求是：当x10，100时，f（x）是增函数；f（x）9恒成立；恒成立对于函数模型y=+2：当x10，100时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（100）=+2=5+2=7所以f（x）9恒成立因为函数=+在10，100上是减函数，所以max=即不恒成立故该函数模型不符合公司要求对于函数模型y=：当x10，100时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（100）=109所以f（x）9不成立故该函数模型不符合公司要求于函数模型y=+=（x+）：当x10，100时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（100）=+=4+所以f（x）9恒成立因为函数=+在10，100上是减函数，所以max=+=即恒成立故该函数模型符合公司要求对于函数模型f（x）=4lgx3：当x10，100时，f（x）是增函数，则f（x）max=f（100）=4lg1003=83=5所以f（x）9恒成立设g（x）=4lgx3，则当x10时，所以g（x）在10，100上是减函数，从而g（x）g（10）=10所以4lgx30，即4lgx3，所以恒成立故该函数模型符合公司要求在和中，的f（x）max=4+的最大值为（x）max=5则为了达到激励的目的，应该是收益越高，奖励的比例越高，故比更合适，故选：D【点评】本题考查了函数模型的选择及应用，训练了函数最值的求法，综合性较强，有一定的难度10（5.00分）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象可能是（）ABCD【分析】二次函数y=ax2+bx+c与函数y=（）x的图象，分别判断a，b，c的符号及关系，由此寻找正确答案【解答】解：A中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a0，b0，c=0，此时，y=（）x即y=（）x为减函数，故A成立；B中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a0，b0，c=0此时，0，函数y=（）x无意义，故B不成立；C中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a0，b0，c=0，此时，y=（）x即y=（）x为增函数，故C不成立；D中，由二次函数y=ax2+bx+c的图象知，a0，b0，c=0此时，0，函数y=（）x无意义，故D不成立；故选：A【点评】本题考查指数函数和二次函数的图象和性质，解题时结合图象要能准确地判断系数的取值二填空题（共4小题）11已知log2x=log3y=log5z0，则、由小到大排序为【分析】设k=log2x=log3y=log5z0，可得x=2k，y=3k，z=5k可得=21k，=31k，=51k，利用指数函数的即可得出【解答】解：设k=log2x=log3y=log5z0，x=2k，y=3k，z=5k则=21k，=31k，=51k，21k31k51k，故答案为：【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12已知函数（a0，且a1），若f（3）f（4），则不等式f（x23x）f（4）的解集为（1，0）（0，3）（3，4）【分析】直接利用函数的性质和定义域求出结果【解答】解：函数（a0，且a1），若f（3）f（4），则：函数单调递增，故：不等式f（x23x）f（4）满足：x23x4，解得：1x4，由于：x23x0，解得：x0且x3，故：不等式f（x23x）f（4）的解集为：（1，0）（0，3）（3，4）故答案为：（1，0）（0，3）（3，4）【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，单调性的应用13函数f（x）=，关于x的方程f（x）=kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为k且k1【分析】根据函数与方程的关系，转化为函数f（x）与g（x）=k（x1），至少有两个不同的交点，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由f（x）=kxk至少有两个不相等的实数根，得f（x）=k（x1）至少有两个不相等的实数根，设g（x）=k（x1），则等价为f（x）与g（x）至少有两个不同的交点，作出函数f（x）的图象如图：g（x）=k（x1），过定点C（1，0），当x0时，f（x）=x2x的导数f（x）=2x1，在x=1处，f（1）=21=1，当k=1时，g（x）=x1与f（x）=+x=x+1平行，此时两个图象只有一个交点，不满足条件当k1时，两个函数有两个不相等的实数根，当0k1时，两个函数有3个不相等的实数根，当k0时，当直线经过点A（，）时，两个图象有两个交点，此时k（1）=，即k=，当k0时，两个图象有3个交点，综上要使方程f（x）=kxk至少有两个不相等的实数根，则k且k1，故答案为：k且k1【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，结合数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度14已知R，函数f（x）=，当=2时，不等式f（x）0的解集是x|1x4若函数f（x）恰有2个零点，则的取值范围是（1，3（4，+）【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可【解答】解：当=2时函数f（x）=，显然x2时，不等式x40的解集：x|2x4；x2时，不等式f（x）0化为：x24x+30，解得1x2，综上，不等式的解集为：x|1x4函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）=的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则13或4故答案为：x|1x4；（1，3（4，+）【点评】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的零点个数的判断，考查发现问题解决问题的能力三解答题（共6小题）15已知定义域为R的函数f（x）=+是奇函数（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性并证明；（3）若对于任意的t（1，2），不等式f（2t2+t+1）+f（t22mt）0有解，求m的取值范围【分析】（1）根据f（0）=0求出a的值；（2）根据函数单调性的定义证明；（3）根据奇偶性和单调性列出不等式，从而得出m的范围【解答】解：（1）f（x）是R上的奇函数，f（0）=+=0，a=1（2）f（x）=+，故f（x）是R上的减函数证明：设x1，x2是R上的任意两个数，且x1x2，则f（x1）f（x2）=，x1x2，033，0，即f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2），f（x）在R上是减函数（3）f（x）是奇函数，f（2t2+t+1）+f（t22mt）0有解，f（t22mt）f（2t2+t+1）=f（2t2t1），又f（x）是减函数，t22mt2t2t1在（1，2）上有解，m=+设g（t）=+，则g（t）=0，g（t）在（1，2）上单调递减，g（t）g（1）=m的取值范围是（，【点评】本题考查了函数奇偶性、单调性的应用，函数最值的计算，属于中档题16（1）计算：；（2）已知x+x=2，求的值【分析】（1）利用根式的运算性质即可得出（2）由，两边平方：，可得x+x1=2，两边平方得：x2+x2=2，两边平方得：x4+x4=2，代入即可得出【解答】解：（1）原式=；（2），两边平方：，x+x1=2，两边平方得：x2+x2=2，两边平方得：x4+x4=2，原式=【点评】本题考查了乘法公式、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17已知函数f（x）=lg（x+1）lg（1x）（）求函数f（x）的定义域；（）判断函数f（x）的奇偶性【分析】（1）欲使f（x）有意义，须有，解出即可；（2）利用函数奇偶性的定义即可作出判断；【解答】解：（1）依题意有解得1x1故函数的定义域为（1，1）（2）f（x）=lg（1x）lg（1+x）=f（x）f（x）为奇函数【点评】本题考查函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属基础题，定义是解决函数奇偶性的基本方法18已知幂函数f（x）=在（0，+）上单调递增，函数g（x）=2xk，（）求实数m的值；（）当x（1，2时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，若AB=A，求实数k的取值范围【分析】（）根据幂函数的定义和性质即可求出m的值，（）先求出f（x），g（x）的值域，再根据若ABA，得到关于k的不等式组，解的即可【解答】解：（）依题意幂函数f（x）=得：（m1）2=1，解得m=0或m=2，当m=2时，f（x）=x2在（0，+）上单调递减，与题设矛盾，舍去m=0 （）由（）知f（x）=x2，当x1，2时，f（x），g（x）单调递增，A=1，4，B=（2k，4k，ABA，解得，0k1，故实数K的取值范围为0，1【点评】本题主要考查了幂函数的性质定义，以及集合的运算，属于基础题19已知函数（1）求函数f（x）的反函数f1（x）；（2）试问：函数f（x）的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程的三个实数根x1、x2、x3满足：x1x2x3，且x3x2=2（x2x1），求实数a的值【分析】（1）用y表示出x，即可得出反函数；（2）设出对称的两点横坐标坐标，令函数值的和为0求出点的横坐标，从而得出两点坐标；（3）判断f（x）与2的大小，求出x1、x2、x3的值，根据得x3x2=2（x2x1）得出a的值【解答】解：（1）当1x0时，f（x）=2x，且0f（x）2由y=2x，得，互换x与y，可得当0x1时，f（x）=x21，且1f（x）0由y=x21，得，互换x与y，可得（2）函数图象上存在两点关于原点对称设点A（x0，y0）（0x01）、B（x0，y0）是函数图象上关于原点对称的点，则f（x0）+f（x0）=0，即，解得，且满足0x1因此，函数图象上存在点关于原点对称（3）令f（x）=2，解得x=，当时，有，原方程可化为4x2ax4=0，解得，令，解得：当时，原方程可化为，化简得（a2+4）x2+4ax=0，解得，又，由x3x2=2（x2x1），得，解得a=（舍）或a=因此，所求实数【点评】本题考查了反函数的求解，考查函数的对称性，函数零点的计算，属于中档题20如图所示，在一半径等于1千米的圆弧及直线段道路AB围成的区域内计划建一条商业街，其起点和终点均在道路AB上，街道由两条平行于对称轴l且关于l对称的两线段EF、CD，及夹在两线段EF、CD间的弧组成若商业街在两线段EF、CD上收益为每千米2a元，在两线段EF、CD间的弧上收益为每千米a元已知，设EOD=2，（1）将商业街的总收益f（）表示为的函数；（2）求商业街的总收益的最大值【分析】（1）求出（0，时f（）的解析式；求出（，）时f（）的解析式，利用分段函数写出f（）在（0，）上的解析式；（2）利用导数研究函数f（）在（0，）上的单调性并求出最大值【解答】解：（1）当（0，时，ED=2，EF=+cos；f（）=2a+2a（+2cos）；当（，）时，ED+FA+BC=4，EF=2cos；f（）=（4）a+2a（4cos）；由可得，f（）=；（2）当（0，时，f（）=2a（12sin）；由a0，填表如下：（0，（，）f（）+0f（）单调递增极大值单调递减当=时，f（）有最大值为（2+2+）a；当（，）时，f（）=a（48sin）；a0，且sin（，1），f（）=a（48sin）0，f（）在（，）时单调递减，f（）f（）；又f（）f（），当（0，）时，在=时f（）取得最大值为（2+2+）a；即=时，商业街总收益最大，最大值为（2+2+）a【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了用导数研究函数的单调性与最值问题，是难题