资源描述
中考专题: 圆与函数综合题1、如图,平面直角坐标系中,以点C(2,)为圆心,以2为半径的圆与轴交于A、B两点(1)求A、B两点的坐标;(2)若二次函数的图象经过点A、B,试确定此二次函数的解析式2、如图,半径为2的C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正半轴交于点B,点C的坐标为(1,0)若抛物线过A、B两点(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在点P,使得PBO=POB?若存在,求出点P的坐标;若不存在说明理由;(3)若点M是抛物线(在第一象限内的部分)上一点,MAB的面积为S,求S的最大(小)值3、如图,抛物线的对称轴为轴,且经过(0,0),()两点,点P在抛物线上运动,以P为圆心的P经过定点A(0,2),(1)求a,b,c的值; (2)求证:点P在运动过程中,P始终与轴相交;(3)设P与轴相交于M,N 两点,当AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标。4、如图,二次函数y=x2+bx3b+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C,且经过点(b2,2b25b1).(1)求这条抛物线的解析式;(2)M过A、B、C三点,交y轴于另一点D,求点M的坐标;(3)连接AM、DM,将AMD绕点M顺时针旋转,两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F,若DMF为等腰三角形,求点E的坐标.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到,如下是一个案例,请补充完整。 原题:如图1,在O中,MN是直径,ABMN于点B,CDMN于点D,AOC=90,AB=3,CD=4,则BD= 。尝试探究:如图2,在O中,MN是直径,ABMN于点B,CDMN于点D,点E在MN上,AEC=90,AB=3,BD=8,BE:DE=1:3,则CD= (试写出解答过程)。类比延伸:利用图3,再探究,当A、C两点分别在直径MN两侧,且ABCD,ABMN于点B,CDMN于点D,AOC=90时,则线段AB、CD、BD满足的数量关系为 。拓展迁移:如图4,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(m,6),B(n,1)两点(其中0m3),且以y轴为对称轴,且AOB=90,求mn的值;当SAOB=10时,求抛物线的解析式。6、如图,设抛物线交x轴于A,B两点,顶点为D以BA为直径作半圆,圆心为M,半圆交y轴负半轴于C(1)求抛物线的对称轴;(2)将ACB绕圆心M顺时针旋转180,得到APB,如图求点P的坐标; (3)有一动点Q在线段AB上运动,QCD的周长在不断变化时是否存在最小值?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由7、如图1,已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C.(1) 求b,c的值。(2)在第二象限的抛物线上,是否存在一点P,使得PBC的面积最大?求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若不存在,请说明理由. (3) 如图2,点E为线段BC上一个动点(不与B,C重合),经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F,当OEF面积取得最小值时,求点E坐标8、如图,点P在y轴的正半轴上,P交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰RtACD,BD分别交y轴和P于E、F两点,交连结AC、FC(1)求证:ACF=ADB;(2)若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长;(3)当P的大小发生变化而其他条件不变时,的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由9、如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为的圆C与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,且点C在x轴的上方(1)求圆心C的坐标;(2)已知一个二次函数的图像经过点A、B、C,求这二次函数的解析式;(3)设点P在y轴上,点M在(2)的二次函数图像上,如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形,请你直接写出点M的坐标.10、如图,在M中,弦AB所对的圆心角为120,已知圆的半径为1cm,并建立如图所示的直角坐标系(1)求圆心M的坐标; (2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式; (3)点P是M上的一个动点,当PAB为Rt时,求点p的坐标。11、如图,在半径为2的扇形AOB中,AOB=90,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)ODBC,OEAC,垂足分别为D、E(1)当BC=1时,求线段OD的长;(2)在DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由;(3)设BD=x,DOE的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量的取值范围12、已知抛物线经过A(3,0), B(4,1)两点,且与y轴交于点C(1)求抛物线的函数关系式及点C的坐标;(2)如图(1),连接AB,在题(1)中的抛物线上是否存在点P,使PAB是以AB为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图(2),连接AC,E为线段AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F,当OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标13、已知:如图,抛物线yx2x1与y轴交于C点,以原点O为圆心,OC长为半径作O,交x轴于A,B两点,交y轴于另一点D设点P为抛物线yx2x1上的一点,作PMx轴于M点,求使PMBADB时的点P的坐标14、点A(-1,0)B(4,0)C(0,2)是平面直角坐标系上的三点。 如图1先过A、B、C作ABC,然后在在轴上方作一个正方形D1E1F1G1, 使D1E1在AB上, F1、G1分别在BC、AC上 如图2先过A、B、C作圆M,然后在轴上方作一个正方形D2E2F2G2, 使D2E2在轴上 ,F2、G2在圆上 如图3先过A、B、C作抛物线,然后在轴上方作一个正方形D3E3F3G3, 使D3E3在轴上, F3、G3在抛物线上请比较 正方形D1E1F1G1 , 正方形D2E2F2G2 , 正方形D3E3F3G3 的面积大小15、如图,已知经过坐标原点的P与x轴交于点A(8,0),与y轴交于点B(0,6),点C是第一象限内P上一点,CB=CO,抛物线经过点A和点C(1)求P的半径;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否存在点D,使得点A、点B、点C和点D构成矩形,若存在,直接写出符合条件的点D的坐标;若不存在,试说明理由16、已知:如图9-1,抛物线经过点O、A、B三点,四边形OABC是直角梯形,其中点A在x轴上,点C在y轴上,BCOA,A(12,0)、B(4,8)(1)求抛物线所对应的函数关系式;(2)若D为OA的中点,动点P自A点出发沿ABCO的路线移动,速度为每秒1个单位,移动时间记为t秒几秒钟后线段PD将梯形OABC的面积分成13两部分?并求出此时P点的坐标;(3)如图9-2,作OBC的外接圆O,点Q是抛物线上点A、B之间的动点,连接OQ交O于点M,交AB于点N当BOQ=45时,求线段MN的长17、如图, 已知抛物线与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1)。(1)求抛物线的解析式;(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DEx轴于点D,连结DC,当DCE的面积最大时,求点D的坐标;(3)在直线BC上是否存在一点P,使ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由。18、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0,c0)交x轴于点A,B,交y轴于点C,设过点A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D(1)如图1,已知点A,B,C的坐标分别为(2,0),(8,0),(0,4);求此抛物线的表达式与点D的坐标;若点M为抛物线上的一动点,且位于第四象限,求BDM面积的最大值;(2)如图2,若a=1,求证:无论b,c取何值,点D均为顶点,求出该定点坐标19、抛物线与直线y=x+1交于A、C两点,与y轴交于B,ABx轴,且SABC=3(1)求抛物线的解析式。(2)P为x轴负半轴上一点,以AP、AC为边作,是否存在P,使得Q点恰好在此抛物线上?若存在,请求出P、Q的坐标;若不存在,请说明理由。(3)ADX轴于D,以OD为直径作M,N为M上一动点,(不与O、D重合),过N作AN的垂线交x轴于R点,DN交Y轴于点S,当N点运动时,线段OR、OS是否存在确定的数量关系?写出证明。20、如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P是反比例函数(x0)图象上的任意一点,以P为圆心,PO为半径的圆与x、y轴分别交于点A、B(1)判断P是否在线段AB上,并说明理由;(2)求AOB的面积;(3)Q是反比例函数(x0)图象上异于点P的另一点,请以Q为圆心,QO 半径画圆与x、y轴分别交于点M、N,连接AN、MB求证:ANMB 备用图21、如图, 在半径为6,圆心角为90的扇形OAB的弧AB上,有一个动点p, PHOA,垂足为H, PHO的中线PM与NH交于点G(1)求证:;(2)设PH=x,GP=y,求y关于x的函数解析式,并写自变量的取值范围;(3)如果PGH是等腰三角形,试求出线段PH的长22、如图,在RtABC中,ACB=90,BCAC,以斜边AB所在直线为x轴,以斜边AB上的高所在直线为y轴,建立直角坐标系,若OA2+OB2=17,且线段O()AOB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根.(1)求C点的坐标;(2)以斜边AB为直径作圆与y轴交于另一点E,求过()A BE三点的抛物线的解析式,并画出此抛物线的草图;(3)在抛物线上是否存在点P,使ABP与ABC全等?若存在,求出符合条件的P点的坐标;若不存在,说明理由.参考答案1、解:(1)过点C作CM轴于点M,则点M为AB的中点CA=2,CM=, AM=1于是,点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(3,0)(2)将(1,0),(3,0)代入得, 解得 所以,此二次函数的解析式为2、考点:二次函数综合题。解答:解:(1)如答图1,连接OBBC=2,OC=1 OB= B(0,)将A(3,0),B(0,)代入二次函数的表达式得 ,解得: ,(2)存在如答图2,作线段OB的垂直平分线l,与抛物线的交点即为点PB(0,),O(0,0),直线l的表达式为代入抛物线的表达式,得; 解得,P()(3)如答图3,作MHx轴于点H设M( ),则SMAB=S梯形MBOH+SMHASOAB=(MH+OB)OH+HAMHOAOB= , = 当时,取得最大值,最大值为3、(1) (2)设P(x,y), P的半径r=,又,则r=,化简得:r=,点P在运动过程中,P始终与轴相交; (3)设P(),PA=,作PHMN于H,则PM=PN=,又PH=,则MH=NH=,故MN=4,M(,0),N(,0), 又A(0,2),AM=,AN=当AM=AN时,解得=0,当AM=MN时, =4,解得:=,则=;当AN=MN时, =4,解得:= ,则=综上所述,P的纵坐标为0或或;4、解:(1)把点(b2,2b25b1)代入解析式,得2b25b1=(b2)2+b(b2)3b+3, 1解得b=2.抛物线的解析式为y=x2+2x3. 2(2)由x2+2x3=0,得x=3或x=1.A(3,0)、B(1,0)、C(0,3).抛物线的对称轴是直线x=1,圆心M在直线x=1上. 3设M(1,n),作MGx轴于G,MHy轴于H,连接MC、MB.MH=1,BG=2. 4MB=MC,BG2+MG2=MH2+CH2,即4+n2=1+(3+n)2,解得n=1,点M(1,1) 5(3)如图,由M(1,1),得MG=MH.MA=MD,RtAMGRtDMH,1=2.由旋转可知3=4. AMEDMF.若DMF为等腰三角形,则AME为等腰三角形. 6设E(x,0),AME为等腰三角形,分三种情况:AE=AM=,则x=3,E(3,0);M在AB的垂直平分线上,MA=ME=MB,E(1,0) 7点E在AM的垂直平分线上,则AE=ME. AE=x+3,ME2=MG2+EG2=1+(1x)2,(x+3)2=1+(1x)2,解得x=,E(,0).所求点E的坐标为(3,0),(1,0),(,0) 85、解:原题:ABMN,CDMN,ABO=ODC=90 BAO+AOB=90AOC=90 DOC+AOB=90BAO=DOC 又OA=OC AOBODC(AAS) OD=AB=3,OB=CD=4,BD=OB+OD=7 尝试探究:ABMN,CDMN,ABE=CDE=90BAE+AEB=90AEC=90DEC+AEB=90BAE=DEC ABEEDC AB=3,BD=8,BE:DE=1:3,BE=2,DE=6 CD=4 类比延伸:如图3(a)CD=AB+BD; 如图3(b)AB=CD+BD 2分拓展迁移:作轴于C点,轴于D点,点坐标分别为,又AOB=90BCO=ODA=90,OBC=AOD ,。2分由得,又,即,又坐标为(2,6),B坐标为(3,1),代入得抛物线解析式为。2分6、解:(1)对称轴为直线x=1 2 (2) A (-1,0) , B (3,0) ,M(1,0)所以圆M的半径为2 1 1 (3) 顶点坐标为D(1,-1) D(1,-1)关于x轴的对称点D(1,1) 1 则直线CD为 1 则CD与X轴的交点即为所求的Q点为 27、解:(1)连结A、BAOB90 AB是P的直径 2分 AB= P的半径是5. 4分(2)作CHOB,垂直为H,CB=CO H是OB的中点 CH过圆心PPH=C的坐标是(9,3)7分把A、C坐标分别代入得: 8分 解得 抛物线的解析式是 12分 (3)D(-1,3)8、解:(1)抛物线y=ax2+bx+c过点A(2,0),B(8,0),C(0,4),解得,抛物线的解析式为:y=x2x4;OA=2,OB=8,OC=4,AB=10如答图1,连接AC、BC由勾股定理得:AC=,BC=AC2+BC2=AB2=100,ACB=90,AB为圆的直径由垂径定理可知,点C、D关于直径AB对称,D(0,4)(2)解法一:设直线BD的解析式为y=kx+b,B(8,0),D(0,4),解得,直线BD解析式为:y=x+4设M(x,x2x4),如答图21,过点M作MEy轴,交BD于点E,则E(x,x+4)ME=(x+4)(x2x4)=x2+x+8SBDM=SMED+SMEB=ME(xExD)+ME(xBxD)=ME(xBxD)=4ME,SBDM=4(x2+x+8)=x2+4x+32=(x2)2+36当x=2时,BDM的面积有最大值为36;解法二:如答图22,过M作MNy轴于点N设M(m,m2m4),SOBD=OBOD=16, S梯形OBMN=(MN+OB)ON =(m+8)(m2m4)=m(m2m4)4(m2m4),SMND=MNDN=m4(m2m4)=2mm(m2m4),SBDM=SOBD+S梯形OBMNSMND=16m(m2m4)4(m2m4)2m+m(m2m4)=164(m2m4)2m=m2+4m+32=(m2)2+36;当m=2时,BDM的面积有最大值为36(3)如答图3,连接AD、BC由圆周角定理得:ADO=CBO,DAO=BCO,AODCOB,=,设A(x1,0),B(x2,0),已知抛物线y=x2+bx+c(c0),OC=c,x1x2=c,=,OD=1,无论b,c取何值,点D均为定点,该定点坐标D(0,1)9、解:(1) 联结AC,过点C作,垂直为H, 由垂径定理得:AH=2,则OH1由勾股定理得:CH4又点C在x轴的上方,点C的坐标为(2)设二次函数的解析式为由题意,得 解这个方程组,得 这二次函数的解析式为y =x2+2x3(3)点M的坐标为 或或10、(1)证明:连接AB 1分 OPBC BO=CO 2分 AB=AC 又AC=AD AB=AD ABD=ADB 3分 又ABD=ACF ACF=ADB 4分(2)解:过点A做AMCF交CF的延长线于M,过点A做ANBF于N,连接AF 则AN=mANB=AMC=90又ABN=ACM ,AB=AC RtABNRtACM(AAS) BN=CM ,AN=AM 5分又ANF=AMF=90, AF公共 RtAFNRtAFM(HL) NF=MF 6分 BF+CF=BN+NF+CM-MF=BN+CM=2BN=n 7分 BN= CD= 8分 (3)过点D做DHAO于N , 过点D做DQBC于Q9分DAH+OAC=90, DAH+ADH=90OAC=ADH又DHA=AOC=90, AD=ACRtDHARtAOC(AAS)DH=AO ,AH=OC 10分= 11、12、解:(1)(3分)将A(3,0),B(4,1)代人 得 C(0,3) (2)(7分)假设存在,分两种情况,如图. 连接AC, OA=OC=3, OAC=OCA=45O. 1分 过B作BD轴于D,则有BD=1, , BD=AD, DAB=DBA=45O. BAC=180O-45O-45O=90O2分 ABC是直角三角形. C(0,3)符合条件. P1(0,3)为所求. 当ABP=90O时,过B作BPAC,BP交抛物线于点P. A(3,0),C(0,3) 直线AC的函数关系式为 将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合. 则直线BP的函数关系式为 由,得 又B(4,1), P2(-1,6). 综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6). 另解当ABP=90O时, 过B作BPAC,BP交抛物线于点P. A(3,0),C(0,3) 直线AC的函数关系式为将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合. 则直线BP的函数关系式为点P在直线上,又在上.设点P为解得 P1(-1,6), P2(4,1)(舍) 综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6).(3)(4分) OAE=OAF=45O,而OEF=OAF=45O, OFE=OAE=45O, OEF=OFE=45O, OE=OF, EOF=90O 点E在线段AC上, 设E = = = =当时, 取最小值,此时, 13、提示:设P点的横坐标xPa,则P点的纵坐标yPa2a1则PMa2a1,BMa1因为ADB为等腰直角三角形,所以欲使PMBADB,只要使PMBM.即a2a1a1不难得a10P点坐标分别为P1(0,1)P2(2,1)14、(1) b=2,c= 3 (2)存在。理由如下: 设P点SBPC= 当时, 最大 当时, 点P坐标为 (3) OB=OC=3OBC=OCB=45O,而OEF=OBF=45O, OFE=OBE=45O, OEF=OFE=45O, OE=OF, EOF=90O (6分)=OE2 当OE最小时,OEF面积取得最小值点E在线段BC上, 当OEBC时,OE最小 此时点E是BC中点 E( ) 15、1)二次函数的图像经过点A(2,0)C(0,1)解得: b=c=1二次函数的解析式为(2)设点D的坐标为(m,0) (0m2) OD=m AD=2-m由ADEAOC得, DE=CDE的面积=m=当m=1时,CDE的面积最大 点D的坐标为(1,0)(3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为设y=0则 解得:x1=2 x2=1点B的坐标为(1,0) C(0,1)设直线BC的解析式为:y=kxb 解得:k=-1 b=-1 直线BC的解析式为: y=x1在RtAOC中,AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得:AC=点B(1,0) 点C(0,1)OB=OC BCO=450当以点C为顶点且PC=AC=时,设P(k, k1)过点P作PHy轴于HHCP=BCO=450CH=PH=k 在RtPCH中P1(,) P2(,)以A为顶点,即AC=AP=设P(k, k1)过点P作PGx轴于G AG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2 (2k)2+(k1)2=5 解得:k1=1,k2=0(舍)P3(1, 2)以P为顶点,PC=AP设P(k, k1) 过点P作PQy轴于点QPLx轴于点LL(k,0) QPC为等腰直角三角形PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=k (k)2=(k2)2(k1)2 AL=k-2, PL=k1在RtPLA中解得:k=P4(,) 综上所述: 存在四个点:P1(,)k2+k2= 解得k1=, k2=P2(-,) P3(1, 2) P4(,)16、(1)解:抛物线经过O(0,0)、A(12,0)、B(4,8) 设抛物线的解析式为: 将点B的坐标代入,得:,解得:, 所求抛物线的关系式为: (2)解:过点B作BFx轴于点F,BF=8,AF=12-4=8BAF = 45S梯形OABC= 面积分成13两部分,即面积分成1648由题意得,动点P整个运动过程分三种情况,但点P在BC上时,由于SABD= 点P在BC上不能满足要求。即点P只能在AB或OC上才能满足要求, 点P在AB上,设P(x,y)可得SAPD=又SAPD= y=过P作PEx轴于点E,由BAF = 45AE=PE= x=又过D作DHAB于H, AD=6 DH= SAPD= t= 当t=时,P满足要求。 点P在OC上,设P(0,y)SAPD= y= P此时t=AB+BC+CP=, P满足要求。(3)解:连接BM, OB是圆直径, BMO,BC=4,OC=8 OB= 在RtBMO中BOQ=45 OM= 由(2)可知:OAB=45,AB=BOQ=45 BOA=BOQ+AON =45+AON又BNO=45+AON BNO =BOA又BON=BAO=45 BONBAO 即 ON= MN=ON-OM= 17、 18、 解:图1 设正方形的边长为 由CG1F1CAB 得 图2 设正方形的边长为A(-1,0)B(4,0)C(0,2) ACB=90 AB是圆M的直径 过M作MNG2F2 由垂径定理得解得 即 图3 设正方形的边长为 由A(-1,0)B(4,0)C(0,2)得抛物线为 由轴对称性可知 F3(,) 代入得解得 19、解:(1)(2)联立得A(-2,-1)C(1,2)设P(a,0),则Q(a+3,3),p或 Q或(3)ANDRON,ONSDNO, 20、解:(1)点P在线段AB上,理由如下: 点O在P上,且AOB90AB是P的直径点P在线段AB上(2)过点P作PP1x轴,PP2y轴,由题意可知PP1、PP2是AOB的中位线,故SAOBOAOB2 PP1PP2 P是反比例函数y(x0)图象上的任意一点SAOBOAOB2 PP12PP22 PP1PP212(3)如图,连接MN,则MN过点Q,且SMONSAOB12 OAOBOMON AONMOB AONMOB OANOMB ANMB21、(1)连接MNNH、PM是三角形的中线OMNOHP,MN=PH(2)在RtOPH中,在RtMPH中, (06)(3)PGH是等腰三角形有三种可能情况:GPPH,即,解得, PHGH,即,GPGH,即,解得综上所述,如果PGH是等腰三角形,那么线段PH的长等于PHGH,即或222、解:(1)线段OAOB的长度是关于x的一元二次方程x2-mx+2(m-3)=0的两个根, 又 OA2+OB2=17,(OA+OB)2-2OAOB=17.(3) 把(1)(2)代入(3),得m2-4(m-3)=17.m2-4m-5=0., 解得m=-1或m=5.又知OA+OB=m0,m=-1应舍去.当m=5时,得方程x2-5x+4=0.解之,得x=1或x=4.BCAC, OBOA OA=1,OB=4.在RtABC中,ACB=90,COAB, OC2=OAOB=14=4. OC=2, C(0,2).(2)OA=1,OB=4, CE两点关于x轴对称,A(-1,0),B(4,0),E(0,-2).设经过A BE三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,则所求抛物线解析式为(3)存在.点E是抛物线与圆的交点,RtACBAE BE(0,-2)符合条件.圆心的坐标(,0)在抛物线的对称轴上,这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称.点E关于抛物线对称轴的对称点E也符合题意.可求得E(3,-2).抛物线上存在点P符合题意,它们的坐标是(0,-2)和(3,-2)
展开阅读全文