中考中的数形结合思想.doc

年 级初三学 科数学版 本通用版内容标题中考中的数形结合思想编稿老师王占元【本讲主要内容】中考中的数形结合思想包括借助于直角坐标系研究数的关系，借助于数研究形的特征，从而简化计算。【知识掌握】【知识点精析】 1. 建立直角坐标系后，平面上的点和一对有序实数建立了一一对应关系，从而为数形结合创造了条件。 2. 通过形加深对数的理解，通过数加深对形的认识，数形结合，化难为易。【解题方法指导】 例1. 如果直线经过一、二、四象限，则有（ ）A. k0，b0B. k0，b0C. k0，b0D. k0分析：由于一次函数的图象经过第一、二、四象限，可画出它的示意图，由图象的倾斜方向及它与y轴交点的位置，确定k、b的范围。解：的图象经过一、二、四象限可以画出它的示意图（如图所示）由图象看出，图象由左上方向右下方倾斜k0选D评析：画出直线的示意图，从而使它的倾斜方向及与y轴交点的纵坐标清晰反映出来，由形的特征反映出了k、b的特征。 例2. 若点A（a，b）在第二象限，则一次函数的图象不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限分析：点A（a，b）在第二象限，a0，所以可画出yaxb的示意图，看出它经过哪三个象限，不经过第几象限。解：点A（a，b）在第二象限a0一次函数与y轴交点在x轴上方，且图象由左上方向右下方倾斜，画出它的图象的示意图，由图象看出它不经过第三象限故选C评析：由ykxb中k、b的特征，决定了图象的特征，画出示意图，使问题得解，体现了数形结合的思想在研究一次函数中的应用。 例3. 已知二次函数，则一定有（ ）A. B. C. D. 分析：由a0，可知抛物线开口方向向下；由，可知当时，抛物线与y轴交点位于x轴上方，通过画示意图可看出它与x轴交点的个数，从而确定判别式的值。解：对于a0，抛物线的开口向下当时，由可知抛物线与y轴的交点在x轴上方可画出抛物线的示意图由图象看出抛物线与x轴有两个交点令y0，得有两个不相等的实数根故选A评析：由数的特征a0，0，等，解法较繁。如果将一元二次方程的问题转化为二次函数的问题去解决，便可以利用数形结合的思想去思考，通过图象比较直观地求出a的取值范围。解：将方程化为设画出它的示意图，可以看出：当时，y0。分别将x1，x3代入到中，得因此a的取值范围为：评析：此题借助于数形结合的方法，由开口方向，和x轴交点的位置，不难画出抛物线的示意图，结合图象不难看出当x1时，及x3时y的正负，从而求出a的取值范围。 例2. 已知关于x的一元二次方程的两个实数根中，一个大于2，另一个小于2，求k的取值范围。分析：由于条件中给出了两个实数根的范围，因此可将方程转化为二次函数，借助于图象加以表示。解：设当x2时，（1）当时，抛物线的开口向上，画出它的示意图（如图1）由图象看出：解得1k6（2）当时，抛物线的开口向下，画出它的示意图（如图2）由图象看出：这个不等式组无解综合（1）、（2）得1k6评析：将方程转化为函数，从而为表示出它的示意图创造了条件。 例3. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，则图中的反比例函数的值小于一次函数的值的x的取值范围是（ ）A. B. C. D. 分析：由图象看出：使反比例的函数的值小于一次函数的值的x，抛物线的一部分应在直线下方，所以，故应选D。解：当时，反比例函数的值小于一次函数的值；当时，反比例函数的值小于一次函数的值故应选D评析：反比例函数的值小于一次函数的值，在图象中应是反比例函数的图象应在直线的下方。 例5. 如图是三个反比例函数在x轴上方的图象，由此观察得到的大小关系为（ ）A. B. C. D. 分析：要比较之间大小关系，可以借助于图象的位置来进行判断。在第二象限，可知，而，可知k1最小。对于来说，而上方，显然，故可得，故可选C。解：的图象在第二象限的图象在第一象限又的图象在的上方故选C评析：借助于图象的位置比较的大小直观、简明。 例6. 已知：a0，b0，且化简：分析：由于题目中a、b、c之间的关系比较复杂，讨论起来将要分很多情况。如果我们把a、b、c所代表的点表示在数轴上，那么三个非负数化简将变得比较简单。解：由a0，b0，且a、b、c所代表的点表示在数轴上如图所示观察图形，可知评析：欲去掉绝对值符号时，必须考虑到绝对值内代数式的正负，借助于数形结合容易判断。【综合测试】 1. 如图是某人骑自行车的行驶路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数图象，下列说法不正确的是（ ）A. 从0时到3时，行驶了30千米B. 从1时到2时匀速前进C. 从1时到2时在原地不动D. 从0时到1时与从2时到3时的行驶速度相同 2. 二次函数与x轴两交点之间的距离是_。 3. 图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系中不正确的是（ ）A. hmB. knC. knD. k0，h0 4. 在反比例函数的图象上有两点，A（）、B（），且，则的值为（ ）A. 正数B. 负数C. 非正数D. 非负数 5. 为鼓励居民节约用水，某城市将出台新的用水收费标准：若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算（不超过部分仍按每立方米2元计算）。现假设该市某户居民某月用水x立方米，水费为y元，则y关于x的函数关系用图象表示正确的是（ ） 6. 已知二次函数的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（ ）A. abc0B. C. D. 【综合测试答案】 1. B解：对于A，正确；对于B，不正确；对于C，正确；对于D，正确。故选B。 2. 4解：画出的图象的示意图，与x轴二个交点坐标为（1，0），（3，0）两点间距离为 3. B解：对于A，对称轴相同，hm（正确）；对于B，当x0时，kn，（不正确）；对于C，当x0时，kn，（正确）；对于D，正确。故选B 4. A解：画出的示意图及A、B两点的位置显然，A、B两点应在第四象限故应选A 5. C解：由于超过4立方米收费增加为4.5元/m3，共计6.5元/m3，因此增加的幅度大，故选C。 6. D解：对于A，图象开口向上，a0；当x0时，y0，c0；正确对于B，图象与x轴有两个交点有两个不等实根，正确；对于C，对称轴方程为正确对于D，将代入，不正确故选D