复变函数01-复数和复数的表示方法.ppt

复变函数与积分变换 电信系通信工程教研室李广柱电话 0731 84261483手机 15973120248QQ 46860236Email lgz1979 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 2 课程简介 课程性质及特点课时教材及参考书教学目标要求考核主要讲授内容 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 3 课程简介1 课程性质及特点 是包括通信工程专业在内的电子学专业的重要的基础课程 所涉及的知识是从事通信工程专业的人员需要了解和掌握的 所需的基础知识 高等数学 是后继课程 如 信号与系统 数字信号处理 通信原理 等课程的基础课 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 4 课程简介 课时24学时教材及参考书教材 林益编 复变函数与积分变换 华中科技大学 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 5 3 主要参考书 1 西安交通大学 复变函数 高等教育出版社 1996 2 焦红伟 复变函数与积分变换 北京大学出版社 2007 3 高宗升 复变函数与积分变换 北京航空航天大学出版社 2006 课程简介 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 6 4 教学目标 学习和掌握复数和复变函数的基本概念 掌握解析函数 及其导数 积分的概念 掌握复数级数 留数的概念 掌握积分变换的定义和基本概念 课程简介 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 7 课程简介 考核 作业 20 考试 80 学习纪律要求 缺课达1 3者 不准参加期末考查 缺作业1 3者 不准参加期末考查 要求 上课认真听讲 积极回答问题 参与讨论 有问题及时问 不能积累 作业独立按时完成 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 8 7 主要讲授内容第一章复数和复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章级数第五章留数定理第七章傅里叶变换 课程简介 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 9 本次课讲述的内容 复数复数的概念复数的四则运算复数的表示方法复平面复数的模与辐角复数的三种表示方法平面图形和区域的复数表示 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 10 复数的概念 为什么要引入复数的概念 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 11 虚数单位的引入 实例 方程x2 1在实数集中是无解的 为了解这个方程 需要引入一个新数i 称之为 虚数单位 且规定 1 i2 1 2 i可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 12 虚数单位的特性 虚数单位具有以下特性 根据定义可知 一般地 若n是正整数 则 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 13 复数的定义 对于任意两个实数x和y 称z x y i或z x i y为复数 其中x y分别称为复数z的实部和虚部 并记 x Re z y Im z 在工程应用中常把Re称作求实部的运算或操作 Im称作求虚部的运算或操作 当实部x 0 y 0时 称z i y为 纯虚数 当虚部y 0时 z x 0 i则可被视作实数x 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 14 两个复数相等的条件 两个复数相等 当且仅当它们的实部和虚部分别相等 设z1 a1 b1i z2 a2 b2i 则 复数z等于0 当且仅当它的实部和虚部同时等于0 即 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 15 共轭复数的概念 两个复数 若它们的实部相同而虚部互为相反数 则它们为共轭复数 设复数z a bi共轭复数记为 则可知 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 16 复数的代数运算 设两个复数z1 a1 b1i z2 a2 b2i 记 1 它们的和与差 2 它们的积 例 求复数z a bi 与其共轭复数之积 结论 两个共轭复数之积是个实数 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 17 复数的代数运算 设两个复数z1 a1 b1i z2 a2 b2i 记 3 它们的商可见 复数的代数运算满足 加法交换律加法结合律乘法交换律乘法结合律加法对乘法的分配律 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 18 共轭复数的性质 共轭复数满足以下性质 1 2 3 4 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 19 例 将下列复数表示成x yi的形式 解 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 20 例 设 求Re z Im z 和 解 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 21 复数的性质 两个数如果都是实数 可以比较它们的大小 如果不全是实数 就不能比较大小 也就是说 复数不能比较大小 观察复数i和0 由复数的定义可知i 0 1 若i 0 则i i 0 i 即 1 0 矛盾 2 若i0 i 即 1 0 矛盾 由此可见 复数中无法定义大小关系 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 22 复平面的概念 注意到 复数z x i y与有序实数对 x y 成一一对应关系 因此 一个建立了直角坐标系的平面可以用来表示复数 通常把横轴叫做实轴或x轴 纵轴叫做虚轴或y轴 这种用来表示复数的平面叫做复平面 复数z x i y可以用复平面上的点 x y 表示 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 23 复数的模 从复平面上的原点o到点z x iy所引的向量与复数z构成对应关系 复数z在复平面上也可以用向量来表示 向量的长度称为z的模或绝对值 记为 显然下列各式成立 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 24 平行四边形法则 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致 满足平行四边形法则和三角形法则 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 25 复数的辐角 在z 0的情况下 由实轴正向到向量之间的夹角称为复数z的辐角 记为 任何一个复数z 0都有无穷多个辐角 假定是其中一个辐角 则z的全部辐角为 特别地 当z 0时 z 0 此时辐角不确定 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 26 辐角的主值 在复数z 0 的辐角中 把满足的辐角称为Argz的主值 记为 思考 辐角主值是否唯一 辐角怎么求 例 求复数的辐角和辐角主值 解 因此 辐角主值为 辐角为 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 27 复数的辐角 复数z 0时辐角的主值 其中 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 28 共轭复数的模和辐角 一对共轭复数和在复平面上的位置关于实轴对称 因此它们的模满足 共轭复数和的辐角主值满足什么关系 1 若z 0 则辐角无意义 2 若z位于负实轴上 则 3 其它情况下 则有 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 29 例 求 解 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 30 复数的三种表示方法 前面已经学过 复数z可以表示成 利用直角坐标和极坐标之间的关系 可得 此所谓复数的三角表示法 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 31 复数的三种表示方法 在三角表示法的基础上 利用Euler公式 可以将复数表示为 此所谓复数的指数表示法 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 32 例 将下列复数表示成三角形式和指数形式 解 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 33 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 34 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 35 平面图形的复数表示 根据复数的几何意义可知 很多平面图形能用复数形式的方程 或不等式 来表示 也可以由给定的复数形式的方程 或不等式 来确定平面图形 例 将通过两点z1 x1 y1i和z2 x2 y2i的直线用复数形式的方程表示 解 通过两点 x1 y1 和 x2 y2 的直线方程为 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 36 平面图形的复数表示 所以它的复数形式的参数方程为 因此 从z1到z2的直线段的方程为 若取t 1 2 则可知线段的中点为 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 37 例 求下列方程所表示的曲线 解 方程表示所有与复平面上的点 i距离皆为2的点的轨迹 可知该轨迹为原点为 i 半径为2的圆 若将z x yi代入可得 由平面解析几何可知 该轨迹是个圆 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 38 方程表示所有与复平面上的点2i和点 2距离相等的点的轨迹 可知方程表示的是连接点2i和点 2的线段的垂直平分线 将z x yi代入可得 由平面解析几何可知 该轨迹是段直线 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 39 方程所表示的轨迹直接看不出 可将z x yi代入得 由平面解析几何可知 该轨迹也是段直线 方程表示与x轴夹角为的一段射线 该射线不包括原点 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 40 例 指明下列不等式所确定的轨迹或所在范围 并作图 解 通常在求轨迹或者画图时 可以先利用辐角的几何意义直接判断 当该方法不适用时 可以将z x yi代入 从而将复条件转化为关于x y的实条件 利用平面解析几何的知识进行判断 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 41 显然 该表达式无法直接看出它的轨迹或者区域 因此将z x yi代入上式 可得 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 42 利用辐角的几何意义可以得知 该方程表示的区域为 利用模的定义可知 该方程表示的区域为 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 43 由于表示到两个定点距离之和为定值的点的轨迹 根据平面解析几何可知是个椭圆 因此不等式表示的即为该椭圆的内部区域 可知 该不等式表示的是圆环形区域 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 44 扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面 或简称复平面 对于复数 来说 实部 虚部 辐角等概念均无意义 它的模规定为正无穷大 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 45 无穷大的四则运算 1 加法 2 减法 3 乘法 4 除法 6 复平面上的每一条直线都通过 5 皆无意义 思考 是否任意复数都有辐角 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 46 小结 复数复数的概念复数的四则运算复数的表示方法复平面复数的模与辐角复数的三种表示方法平面图形和区域的复数表示 2020年3月31日星期二 积分变换与复变函数 第1讲 47 作业 习题1 表示选做 1 2 3 6 8 3 5 1 6