华南理工材料力学课件第六章.ppt

第六章弯曲应力 6 1梁的弯曲 1 横力弯曲 横截面上既有Q又有M的情况 如AC DB段 2 纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时 该段梁的变形称为纯弯曲 如CD段 3 梁的纯弯曲实验 1 现象 横向线a b变形后仍为直线 但有转动 纵向线变a a变为曲线 且上面压缩下面拉伸 横向线与纵向线变形后仍垂直 2 概念 中性层 梁内有一层纤维既不伸长也不缩短 因而纤维不受拉应力和压应力 此层纤维称中性层 中性轴 中性层与横截面的交线 6 2纯弯曲时的正应力 1 变形几何关系 从梁中截取出长为dx的一个微段 横截面选用如图所示的 坐标系 图中 y轴为横截面的对称轴 z轴为中性轴 横截面间相对转过的角度为 中性层 曲率半径为 距中性层为y 处的任一纵线 纵向纤维 b b 为圆弧曲线 而其线应变为 因此 纵bb的伸长为 梁的纵向纤维间无挤压 只是发生简单拉伸或压缩 当横截面上的正应力不超过材料的比例极限时 可由虎克定律得到横截面上坐标为y处各点的正应力为 3 静力关系 截面上内力系简化为三个内力分量 即平行 x轴的轴力N 对Z轴的力偶矩MZ 和对轴的力偶矩My 2 物理关系 考虑左侧平衡 得 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩 式中积分 上式可写成为 称为梁的抗弯刚度 将该式代入 即可得到弯曲时梁的 横截面上的正应力计算公式 即以梁的中性层为界 梁的凸出一侧受拉压力 凹 入的一侧受压 则截面上的最大正应力为 6 3横力弯曲时的正应力 1 横力弯曲时的正应力 横力弯曲时的细长梁 横截面将不在保持为平面 纵向纤维间的正应力也存在 但用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式 能够满足精度的要求 横力弯曲时 弯矩随截面位置变化 一般情况下 在弯矩最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力 有公式 引入符号 截面图形的抗截面模量 强度条件为 则 高为h 宽为b的矩形截面 直径为 的圆截面 例受均布载荷作用的简支梁如图所示 试求 1 1 1截面上1 2两点的正应力 2 此截面上的最大正应力 3 全梁的最大正应力 解 画M图求截面弯矩 求应力 6 4弯曲切应力 横力弯曲的梁截面上有弯矩还有剪力 剪力Q是与截面相切的内力系的合力 研究方法 分离体平衡 1 矩形截面中的弯曲切应力 在梁上取微段dx 在微段上再取一块如图 列平衡方程 1 2 3 3 带入 1 2 得 由剪应力互等得 于是 并 时有 工字形截面其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似 仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式 将此式代入弯曲剪应力公式 可得腹板上弯曲剪应力的计算公式 2 工字钢截面 将y 0和y h 2分别带入上式 得 3 圆形截面梁 半个圆截面对中性轴的静矩 此外 将上式带入 得 6 5梁的正应力和剪应力强度条件 提高弯曲强度的措施 梁在弯曲时 横截面上一部分点受拉应力 另一部分点受压应力 对于低碳钢等这一类塑性材料 其抗拉和抗压能力相同 为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许用应力 常将这种梁做成矩形 圆形和工字形等对称于中性轴的截面 对于拉压强度不等的材料 拉压应力均不应该超过各自的许用应力 于是强度条件为 1 弯曲正应力和剪应力强度条件 例求T形截面梁的最大切应力 解 1 求支反力 2 作剪力图 3 求最大切应力 6 5梁的截面形状优化 对于宽b 高为h的矩形 抗弯截面模量 因此 高度越大 越大 在外边缘达到许用应力时 中性轴附近的应力很小 造成材料的浪费 例如 圆形截面 理想的情况是将面积之半分布于距中性轴 处 越小 为 a 塑性材料 上 下对称抗弯更好 抗扭差 b 脆性材料 6 6等强度梁 截面沿杆长变化 恰使每个截面上的正应力都等于许用应力 这样的变截面梁称为等强度梁 由 得 若图示悬臂梁为等强度梁 等宽度h 高度为x的函数 b b x 则 得出 按剪切强度确定截面宽度的最小值 由于变截面梁并不节省材料 且加工麻烦 因此采用阶梯梁 加工方便