高三数学专题一集合、逻辑与不等式答案(120807).doc

专题一 集合、逻辑与不等式11 集 合【知识要点】1集合中的元素具有确定性、互异性、无序性2集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示3两类不同的关系：(1)从属关系元素与集合间的关系；(2)包含关系两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)4集合的三种运算：交集、并集、补集【例题分析】例1 给出下列六个关系：(1)0N* (2)01，1 (3)0(4)0 (5)00，1 (6)00其中正确的关系是_解答：(2)(4)(6)【评析】1熟悉集合的常用符号：空集，记作；N表示自然数集；N或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集2明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：aA；如果a不是集合A的元素，记作：aA3明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集记作：AB或BA如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集AB或BA4子集的性质：任何集合都是它本身的子集：AA； 空集是任何集合的子集：A；提示：空集是任何非空集合的真子集传递性：如果AB，BC，则AC；如果AB，BC，则AC例2 已知全集U小于10的正整数，其子集A，B满足条件(UA)(UB)1，9，AB2，B(UA)4，6，8求集合A，B解：根据已知条件，得到如图11所示的韦恩图，图11于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7故A2，3，5，7，B2，4，6，8【评析】1、明确集合之间的运算对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集记作：AB对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集记作：AB如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U中的补集记作UA2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题例3 设集合Mx1x2，Nxxa若MN，则实数a的取值范围是_答：(，1【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a变化时是否能够取到区间端点的值象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具例4 设a，bR，集合，则ba_【分析】因为，所以ab0或a0(舍去，否则没有意义)，所以，ab0，1，所以11，ab，a，a1，结合ab0，b1，所以ba2练习11答案一、选择题1B 2B 3A 4C提示：4集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以正奇数(UB)，从而UA(UB)二、填空题5xx4 64个 7x1x2 8a1；2个(x为a1或a3)三、解答题9(AB)C1，2，3，410分析：画如图所示的韦恩图：得A0，2，3，5，7，B2，4，6，811答：a4；a2；2a4提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”12 常用逻辑用语【知识要点】1命题是可以判断真假的语句2逻辑联结词有“或”“且”“非”不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题可以利用真值表判断复合命题的真假3命题的四种形式原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若p，则q逆否命题：若q，则p注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系4充要条件如果pq，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件如果pq且qp，即qp则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件5全称量词与存在量词【例题分析】例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假(1)若a2b20，则ab0；(2)若ABA，则AB解：(1)逆命题：若ab0，则a2b20；是假命题；否命题：若a2b20，则ab0；是假命题；逆否命题：若ab0，则a2b20；是真命题；(2)逆命题：若AB，则ABA；是真命题；否命题：若ABA，则A不是B的真子集；是真命题；逆否命题：若A不是B的真子集，则ABA是假命题评述：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题有时一个命题的真假不易判断，可以判断其逆否命题的真假，因为二者是等价的例2 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件(1)p：(x2)(x3)0；q：x2；(2)p：a2；q：a0【分析】由定义知，若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；若pq且qp，p与q互为充要条件于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了例3 设集合Mxx2，Nxx3，那么“xM或xN”是“xMN”的( )(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)非充分条件也非必要条件解：条件p：xM或xN，即为xR；条件q：xMN，即为xR2x3又RxR2x3，且xR2x3R，所以p是q的必要非充分条件，选B【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若AB且BA，则p是q的充分非必要条件；若AB且BA，则p是q的必要非充分条件；若AB，则p与q互为充要条件例4 命题“对任意的xR，x3x210”的否定是( )(A)不存在xR，x3x210，(B)存在xR，x3x210(C)存在xR，x3x210(D)对任意的xR，x3x210【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题其否定为“存在xR，x3x210”答：选C【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定练习12答案一、选择题1D 2A 3B 4B二、填空题5必要不充分条件 6若x1，则x1 7充要条件 8提示： 8因为AB，即对任意xA，有xB根据逻辑知识知，AB，即为另外，也可以通过文氏图来判断三、解答题9答：(1)全称命题，真命题(2)特称命题，真命题(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题10略解：答：逆命题：若ab0，则a2b20；是假命题；例如a0，b1否命题：若a2b20，则ab0；是假命题；例如a0，b1逆否命题：若ab0，则a2b20；是真命题；因为若a2b20，则ab0，所以ab0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题13 不等式(含推理与证明)【知识要点】1不等式的性质(1)如果ab，那么ba；(2)如果ab，且bc，那么ac；(3)如果ab，那么acbc(如果acb，那么abc)；(4)如果ab，cd，那么acbd；(5)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc；(6)如果ab0，cd0，那么acbd；(7)如果ab0，那么anbn(nN，n1)；(8)如果ab0，那么；2进行不等式关系判断时常用到的实数的性质：若aR，则3会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式简单的含参数的不等式4均值定理：如果a、bR，那么当且仅当ab时，式中等号成立其他常用的基本不等式：如果a、bR，那么a2b22ab，(ab)20如果a、b同号，那么5合情推理之归纳推理与类比推理；演绎推理；综合法、分析法与反证法【例题分析】例1 若abc，则一定成立的不等式是( )AacbcBabacCacbcD【分析】关于选项A当c0时，acbc不成立关于选项B当a0时，abac不成立关于选项C因为ab，根据不等式的性质acbc，正确关于选项D当ab0c时，不成立所以，选C例2 a，bR，下列命题中的真命题是( )A若ab，则abB若ab，则C若ab，则a3b3D若ab，则【分析】关于选项A当a1，b2时，ab不成立关于选项B当a0，b0时，不成立关于选项C因为ab，根据不等式的性质a3b3，正确关于选项D当b0时，不成立所以，选C【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依据，依据相关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法判断不等式的理论依据参看本节的知识要点，另外，后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法判断一个不等式是正确的，就应该给出一个合理的证明(或说明)，就像例1、例2对正确的选项判断那样判断一个不等式是不正确的，应举出反例例3 解下列不等式：(1)x2x10； (2)x23x20； (3)2x23x10；(4) (5)2x13； (6)解：(1)方程x2x10的两个根是结合函数yx2x1的图象，可得不等式x2x10的解集为(2)不等式x23x20等价于(x1)(x2)0，易知方程(x1)(x2)0的两个根为x11，x22，结合函数yx23x2的图象，可得不等式x23x20的解集为xx1或x2(3)不等式2x23x10等价于(2x1)(x1)0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为(4)等价于(x1)(x2)0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为xx1或x2(5)不等式2x13等价于32x13，所以22x4，即1x2，所以不等式2x13的解集为x1x2(6)不等式可以整理为等价于以下同(4)的解法，可得不等式的解集为x1x2【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟练掌握其他不等式的解法适当掌握1利用不等式的性质可以解一元一次不等式2解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，通过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的情况、进而结合相应的二次函数的图象就可以解决一元二次不等式解集的问题了所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程的判别式；求出相应的一元二次方程的根(或根据判别式说明无根)；画出相应的二次函数的简图；根据简图写出二次不等式的解集3、不等式与(xa)(xb)0同解；不等式与(xa)(xb)0同解；4*、不等式f(x)c与cf(x)c同解；不等式f(x)c与“f(x)c或f(x)c”同解在解简单的分式不等式时要注意细节，例如(5)题关于“”号的处理例4 解下列关于x的不等式；(1)ax32； (2)x26ax5a20解：(1)由ax32得ax1，当a0时，不等式解集为；当a0时，不等式解集为；当a0时，不等式解集为(2)x26ax5a20等价于不等式(xa)(x5a)0，当a0时，不等式解集为xx0；当a0时，不等式解集为xax5a；当a0时，不等式解集为x5axa【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完全一致的要注意的是，当进行到某一步骤具有不确定性时，需要进行分类讨论如(2)的解决过程中，当解出方程(xa)(x5a)0的两根为x1a，x25a之后，需要画出二次函数yx26ax5a2的草图，这时两根a与5a的大小不定，需要讨论，当分a0，a0，a0三种情况之后，就可以在各自情况下确定a与5a的大小，画出二次函数yx26ax5a2的草图写出解集了例5 已知ab0，cd0，m0求证：证明：方法一(作差比较)由已知ba0，cd0，又m0，所以m(ba)(cd)0，因为ab0，cd0，所以ac0，bd0，所以，所以方法二因为cd0，所以cd0，又ab0，所以ab0，所以abcd，所以acbd0，所以，又因为m0，所以例6 已知abc0，abc，求证：(1)a0；(2)证明：(1)假设a0，因为abc，所以b0，c0所以abc0，与abc0矛盾(2)因为bac，ab，所以，所以2ac，又a0，所以，所以例7 已知a，b，c(0，1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a中至少有一个不大于.证明：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a均大于，即因为a，b，c(0，1)，所以1a，1b，1c(0，1)，所以，同理(1b)c1，(1c)a1，所以(1a)b(1b)c(1c)a3，即00，矛盾所以(1a)b，(1b)c，(1c)a中至少有一个不大于【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、分析法与反证法等证明不等式也是如此1、例5中的方法一所用到的比较法从思维、书写的角度都较为容易，也相对易于把握，要熟练掌握2、例5中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，其书写方法简明、易读，但要注意的是，这样的题的思路常常是分析法比如，例5中的方法二的思路我们可以认为是这样得到的：欲证只需证明m(bd)m(ac)(因为bd0，ac0)，即只需证明bdac，即只需证明abcd，而由已知ab0，cd0，所以可以循着这个思路按照相反的顺序书写所以，在很多情况下，分析法更是思考问题的方法，而综合法更是一种书写方法3、适合用反证法证明的常见的命题一般是非常显而易见的问题(如例6(1)、否定式的命题、存在性的命题、含至多至少等字样的命题(如例7)等等证明的步骤一般是：(1)假设结论的反面是正确的；(2)推出矛盾的结论；(3)得出原来命题正确的结论例8 根据图中图形及相应点的个数找规律，第8个图形相应的点数为_【分析】第一个图有1行，每行有12个点；第二个图有2行，每行有22个点；第三个图有3行，每行有32个点；第八个图有8行，每行有82个点，所以共有81080个点答：80练习13答案一、选择题1B 2C 3A 4B二、填空题5 6x2x3 7xR1x3 8三、解答题9答：(1)；(2)；(3)；(4)x1x5；(5)10证明：abbccab(ac)ac(ac)(ac)aca2acc2所以abbcca011解：(1)原不等式(xa)(x3a)0分三种情况讨论：当a0时，解集为x3axa；当a0时，原不等式x20，解集为；当a0时，解集为xax3a(2)不等式ax2x0x(ax1)0分三种情况讨论：当a0时，原不等式x0，解集为xx0；当a0时，x(ax1)0x(x)0，解集为；当a0时，x(ax1)0x(x)0，解集为习题1答案一、选择题1D 2D 3A 4C 5C提示：5A正确B不正确D正确当b0时，C正确；当b0时，C不正确，C不一定成立二、填空题60，1，3 7xA，xAB 80，1，2 9aa2 10提示：10、均可用举反例的方式说明不正确对于：若a、b均小于等于1即，a1，b1，则ab2，与ab2矛盾，所以正确三、解答题11解：不等式即所以，此不等式等价于x(2x1)0，解得x0或，所以，原不等式的解集为xx0或12解：(1)由ab1得a1b，因为0ab，所以1b0且1bb，所以(2)a2b2b(1b)2b2b2b23b1因为，所以即a2b2b13解：原不等式化为(a2b2)xb2(ab)2x22b(ab)xb2，移项整理，得(ab)2(x2x)0因为ab，故(ab)20，所以x2x0故不等式的解集为x0x114解：(1)若2A，则A中至少有1，2三个元素(2)假设A中只有一个元素，设这个元素为a，由已知，则即a2a10，此方程无解，这与A中有一个元素a矛盾，所以A中不可能只有一个元素