《高等数学全微分》PPT课件.ppt

第三节全微分 全微分的定义可微的条件连续 可导与可微的关系小结 作业 应用 一元函数y f x 的微分 近似计算 估计误差 机动目录上页下页返回结束 一 全微分的定义 定义 如果函数z f x y 在定义域D的内点 x y 可表示成 其中A B不依赖于 x y 仅与x y有关 称为函数 在点 x y 的全微分 记作 若函数在域D内各点都可微 则称函数 f x y 在点 x y 可微 处全增量 则称此函数在D内可微 2 偏导数连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 1 函数可微 函数z f x y 在点 x y 可微 由微分定义 得 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即 定理1 必要条件 若函数z f x y 在点 x y 可微 则该函数在该点偏导数 同样可证 证 由全增量公式 必存在 且有 得到对x的偏增量 因此有 推广 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分 的全微分为 于是 机动目录上页下页返回结束 反例 函数 易知 但 因此 函数在点 0 0 不可微 注意 定理1的逆定理不成立 偏导数存在函数不一定可微 即 定理2 充分条件 证 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分 所以函数 在点 可微 注意到 故有 可微 连续 可导 在多元函数中 三者的关系如何 二 连续 可导与可微的关系 TH1 TH2 可微的定义 TH1的反例 例1 计算函数 在点 2 1 处的全微分 解 例2 计算函数 的全微分 解 机动目录上页下页返回结束 将y z看成常数 将x z看成常数 例 解 将x y看成常数 故 例 解 解 证 不存在 证 1 令 多元函数连续 可导 可微的关系 多元函数全微分的概念 多元函数全微分的求法 多元函数连续 可导 可微的关系 注意 与一元函数有很大区别 四 小结 1 微分定义 2 重要关系 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 P72题1 总习题八 函数 在 可微的充分条件是 的某邻域内存在 时是无穷小量 时是无穷小量 2 选择题 机动目录上页下页返回结束 答案 也可写作 当x 2 y 1 x 0 01 y 0 03时 z 0 02 dz 0 03 3 P73题7 机动目录上页下页返回结束 4 设 解 利用轮换对称性 可得 机动目录上页下页返回结束 L P245例2 注意 x y z具有轮换对称性 作业 习题8 31 3 4 2 3