东营专版2019年中考数学复习第三章函数第七节二次函数的综合应用课件.ppt

第七节二次函数的综合应用 考点一线段 周长问题例1 2017 东营中考 如图 直线y x 分别与x轴 y轴交于B C两点 点A在x轴上 ACB 90 抛物线y ax2 bx 经过A B两点 1 求A B两点的坐标 2 求抛物线的解析式 3 点M是直线BC上方抛物线上的一点 过点M作MH BC于点H 作MD y轴交BC于点D 求 DMH周长的最大值 分析 1 由直线解析式可求得B C坐标 再利用相似三角形可求得OA 从而可求出A点坐标 2 利用待定系数法可求得抛物线解析式 3 根据题意可推出当MD取得最大值时 DMH的周长最大 利用二次函数的性质得出最大值 自主解答 1 直线y x 分别与x轴 y轴交于B C两点 点B的坐标为 3 0 点C的坐标为 0 ACO BCO 90 ACO CAO 90 CAO BCO AOC COB 90 AOC COB 点A的坐标为 1 0 2 抛物线y ax2 bx 经过A B两点 抛物线的解析式为y 3 由题意知 DMH为直角三角形 且 M 30 当MD取得最大值时 DMH的周长最大 DMH周长的最大值为 1 2017 东营冲刺卷 如图所示 二次函数的图象经过点D 0 且顶点C的横坐标为4 该图象在x轴上截得线段AB长为6 1 利用二次函数的对称性直接写出点A B的坐标 2 求二次函数的解析式 3 在该抛物线的对称轴上找一点P 使PA PD最小 求出点P的坐标 4 在抛物线上是否存在点Q 使 QAB与 ABC相似 如果存在 求出点Q的坐标 如果不存在 请说明理由 1 解 1 A 1 0 B 7 0 2 设二次函数的解析式为y a x 1 x 7 过点 0 代入得7a 解得a 二次函数的解析式为y x 1 x 7 3 点A B关于直线x 4对称 PA PB PA PD PB PD DB DB与对称轴的交点即为所求点P 如图 设直线x 4与x轴交于点M PM OD BPM BDO 又 PBM DBO BPM BDO 4 存在 由 2 可得出点C的坐标为 4 AM 3 在Rt AMC中 tan ACM ACM 60 AC BC ACB 120 如图所示 当点Q在x轴上方时 过点Q作QN x轴于点N 如果AB BQ 由 ACB ABQ得BQ 6 ABQ ACB 120 则 QBN 60 QN 3 BN 3 ON 10 此时点Q的坐标为 10 3 如果AB AQ 由对称性知Q的坐标为 2 3 经检验 点 10 3 与 2 3 都在抛物线上 当点Q在x轴下方时 QAB就是 ACB 此时点Q的坐标是 4 综上所述 存在这样的点Q 使 QAB与 ABC相似 点Q的坐标为 10 3 或 2 3 或 4 考点二图形面积问题例2 2016 东营中考 在平面直角坐标系中 平行四边形ABOC如图放置 点A C的坐标分别是 0 4 1 0 将此平行四边形绕点O顺时针旋转90 得到平行四边形A B OC 1 若抛物线过点C A A 求此抛物线的解析式 2 点M是第一象限内抛物线上的一动点 问 当点M在何处时 AMA 的面积最大 最大面积是多少 并求出此时M的坐标 3 若P为抛物线上一动点 N为x轴上的一动点 点Q坐标为 1 0 当P N B Q构成平行四边形时 求点P的坐标 当这个平行四边形为矩形时 求点N的坐标 分析 1 由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90 得到平行四边形A B OC 且点A的坐标是 0 4 可求得点A 的坐标 然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式 2 连接AA 设直线AA 的解析式为y kx b 利用待定系数法即可求得直线AA 的解析式 再设点M的坐标为 x x2 3x 4 继而可得 AMA 的面积 求得答案 3 分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案 自主解答 1 平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90 得到平行四边形A B OC 且点A的坐标是 0 4 点A 的坐标为 4 0 点A C的坐标分别是 0 4 1 0 抛物线过点C A A 设抛物线的解析式为y ax2 bx c 此抛物线的解析式为y x2 3x 4 2 如图 连接AA 设直线AA 的解析式为y kx b 直线AA 的解析式为y x 4 设点M的坐标为 x x2 3x 4 则S AMA 4 x2 3x 4 x 4 2x2 8x 2 x 2 2 8 当x 2时 AMA 的面积最大 最大值S AMA 8 M的坐标为 2 6 3 设点P的坐标为 x x2 3x 4 当P N B Q构成平行四边形时 平行四边形ABOC中 点A C的坐标分别是 0 4 1 0 点B的坐标为 1 4 点Q坐标为 1 0 P为抛物线上一动点 N为x轴上的一动点 当BQ为边时 PN BQ PN BQ BQ 4 x2 3x 4 4 当 x2 3x 4 4时 解得x1 0 x2 3 P1 0 4 P2 3 4 当 x2 3x 4 4时 当BQ为对角线时 BP QN BP QN 此时P与P1 P2重合 综上可得 点P的坐标为P1 0 4 P2 3 4 P3 4 P4 4 当这个平行四边形为矩形时 点N的坐标为 0 0 或 3 0 2 2018 遂宁中考 如图 已知抛物线y ax2 x 4的对称轴是直线x 3 且与x轴相交于A B两点 B点在A点右侧 与y轴交于C点 1 求抛物线的解析式和A B两点的坐标 2 若点P是抛物线上B C两点之间的一个动点 不与B C重合 则是否存在一点P 使 PBC的面积最大 若存在 请求出 PBC的最大面积 若不存在 试说明理由 3 若M是抛物线上任意一点 过点M作y轴的平行线 交直线BC于点N 当MN 3时 求M点的坐标 解 1 抛物线y ax2 x 4的对称轴是直线x 3 3 解得a 抛物线的解析式为y x2 x 4 当y 0时 x2 x 4 0 解得x1 2 x2 8 点A的坐标为 2 0 点B的坐标为 8 0 2 当x 0时 y x2 x 4 4 点C的坐标为 0 4 设直线BC的解析式为y kx b k 0 将B 8 0 C 0 4 代入y kx b得 直线BC的解析式为y x 4 假设存在 设点P的坐标为 x x2 x 4 如图 过点P作PD y轴 交直线BC于点D 则点D的坐标为 x x 4 PD x2 x 4 x 4 x2 2x S PBC PD OB 8 x2 2x x2 8x x 4 2 16 1 0 当x 4时 PBC的面积最大 最大面积是16 0 x 8 存在点P 使 PBC的面积最大 最大面积是16 3 设点M的坐标为 m m2 m 4 则点N的坐标为 m m 4 MN m2 m 4 m 4 m2 2m 又 MN 3 m2 2m 3 当0 m 8时 有 m2 2m 3 0 解得m1 2 m2 6 点M的坐标为 2 6 或 6 4 当m 0或m 8时 有 m2 2m 3 0 解得m3 4 2 m4 4 2 点M的坐标为 4 2 1 或 4 2 1 综上所述 M点的坐标为 4 2 1 2 6 6 4 或 4 2 1 考点三动点 存在点问题例3 2018 东营中考 如图 抛物线y a x 1 x 3 a 0 与x轴交于A B两点 抛物线上另有一点C在x轴下方 且使 OCA OBC 1 求线段OC的长度 2 设直线BC与y轴交于点M 点C是BM的中点时 求直线BM和抛物线的解析式 3 在 2 的条件下 直线BC下方抛物线上是否存在一点P 使得四边形ABPC面积最大 若存在 请求出点P的坐标 若不存在 请说明理由 分析 1 令y 0 求出x的值 确定出OA与OB的长度 根据已知相似三角形的比例 求出OC的长即可 2 根据C为BM的中点 求出OD的长度 利用待定系数法确定出直线BM的解析式 把点C坐标代入抛物线求出a的值 即可确定出二次函数解析式 3 四边形ABPC面积最大即 BPC面积最大 向下平移BM与抛物线有唯一公共点时 BCD面积最大 构造一元二次方程 求得 0时m的值 进而求得P点坐标 自主解答 1 令a x 1 x 3 0 可得x1 1 x2 3 OA 1 OB 3 OCA OBC OC2 OA OB 1 3 3 OC 2 如图 过点C作CD x轴 垂足为点D 则CD OM 点C是BM的中点 OD OB 设直线BM的解析式为y kx b 将B C两点的坐标代入得 3 存在 如图 S四边形ABPC S ABC S BPC S ABC是常量 S BPC的面积随点P的位置变化而变化 向下平移直线BM 当平移后的直线B M 和抛物线 000 3 2018 泰安中考 如图 在平面直角坐标系中 二次函数y ax2 bx c交x轴于点A 4 0 B 2 0 交y轴于点C 0 6 在y轴上有一点E 0 2 连接AE 1 求二次函数的解析式 2 若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点 求 ADE面积的最大值 3 抛物线对称轴上是否存在点P 使 AEP为等腰三角形 若存在 请直接写出所有P点的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 由题意可得 二次函数的解析式为y x2 x 6 2 由A 4 0 E 0 2 可求得AE所在直线解析式为y x 2 如图 过点D作DH与y轴平行 交AE于点F 交x轴于点G 过点E作EH DF 垂足为H 设D点坐标为 x0 x02 x0 6 则F点坐标为 x0 x0 2 则DF x02 x0 6 x0 2 x02 x0 8 又 S ADE S ADF S EDF S ADE DF AG DF EH 4DF 2 x02 x0 8 x0 2 当x0 时 ADE的面积取得最大值 3 P点的坐标为 1 1 1 1 2 考点四二次函数综合题百变例题 2018 济宁中考 如图 已知抛物线y ax2 bx c a 0 经过点A 3 0 B 1 0 C 0 3 1 求该抛物线的解析式 2 若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M 求切点M的坐标 3 若点Q在x轴上 点P在抛物线上 是否存在以点B C Q P为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求点P的坐标 若不存在 请说明理由 分析 1 已知A B两点坐标 可得y a x 3 x 1 再将点C坐标代入即可解得 2 过点A作AM BC 利用全等三角形求出点N的坐标 再利用待定系数法求出直线AM的解析式 同理可求出直线BC的解析式 联立求出M坐标即可 3 存在以点B C Q P为顶点的四边形是平行四边形 分两种情况 利用平移规律确定出P的坐标即可 自主解答 1 抛物线y ax2 bx c a 0 经过点A 3 0 B 1 0 y a x 3 x 1 又 抛物线经过点C 0 3 3 a 0 3 0 1 解得a 1 抛物线的解析式为y x 3 x 1 即y x2 2x 3 2 如图 过点A作AM BC 垂足为点M AM交y轴于点N BAM ABM 90 在Rt BCO中 BCO ABM 90 BAM BCO A 3 0 B 1 0 C 0 3 AO CO 3 OB 1 又 BAM BCO BOC AON 90 AON COB ON OB 1 N 0 1 设直线AM的函数解析式为y kx b 把A 3 0 N 0 1 代入得 解得 直线AM的函数解析式为y x 1 同理可求直线BC的函数解析式为y 3x 3 解方程组得 切点M的坐标为 3 存在以点B C Q P为顶点的四边形是平行四边形 设Q t 0 P m m2 2m 3 分两种情况考虑 当四边形BCQP为平行四边形时 由B 1 0 C 0 3 根据平移规律得 1 m 0 t 0 m2 2m 3 3 0 解得m 1 当m 1 时 m2 2m 3 8 2 2 2 3 3 即P 1 3 当m 1 时 m2 2m 3 8 2 2 2 3 3 即P 1 3 当四边形BCPQ为平行四边形时 由B 1 0 C 0 3 根据平移规律得 1 t 0 m 0 0 3 m2 2m 3 解得m 0或2 当m 0时 P 0 3 舍去 当m 2时 P 2 3 综上所述 存在以点B C Q P为顶点的四边形是平行四边形 点P的坐标为 1 3 或 1 3 或 2 3 变式1 若点D是抛物线的顶点 求 ACD面积与 ABC面积的比 解 如图 连接AC AD CD 作DL x轴于点L S ACD S梯形OCDL S ADL S AOC 3 4 1 2 4 3 3 3 S ABC AB OC 4 3 6 S ACD S ABC 3 6 1 2 变式2 若E是x轴上一个动点 过E作射线EF BC交抛物线于点F 随着E点的运动 在抛物线上是否存在这样的点F 使以B E F C为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求点F的坐标 若不存在 请说明理由 解 存在 理由如下 如图 当点F在x轴下方时 作FR x轴于点R 四边形BCFE为平行四边形 EFBC ERF BOC RF OC 3 3 x2 2x 3 解得x 2或x 0 与C点重合 舍去 F 2 3 如图 当F在x轴上方时 作FS x轴于点S 四边形BCEF为平行四边形 EFBC EFS BCO FS OC 3 3 x2 2x 3 解得x1 1 x2 1 综上所述 F点为 2 3 或 1 3 或 1 3 变式3 如图 若点G是线段AC上的点 不与A C重合 过G作GH y轴交抛物线于H 若点G的横坐标为m 请用m的代数式表示GH的长 解 设直线AC的解析式为y kx 3 则有0 3k 3 解得k 1 故直线AC的解析式为y x 3 已知点G的横坐标为m 则G m m 3 H m m2 2m 3 GH m 3 m2 2m 3 m2 3m 0 m 3 变式4 若对称轴是直线l 在对称轴l上是否存在点W 使 WBC为等腰三角形 若存在 直接写出所有符合条件的点W的坐标 若不存在 请说明理由 解 存在 点W的坐标为 1 0 或 1 或 1 或 1 1 提示 设对称轴上的点W为 1 m BC