2015届高三数学(理)周练二十五.doc

亭湖高级中学2015届高三数学周练二十五命题：王晓峰 审核：徐福海一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1.复数的虚部为 .2.已知集合A1，2，3，集合B1，1，3，集合，则集合S的子集个数为 个.3.若某算法流程图如图所示，则输出的结果为 .4.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为 .5.贵阳北站至广州南站的高速铁路，在广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对这6个车站的外观进行了满意度调查，得分如下：车站怀集站广宁站肇庆东站三水南站佛山西站广州南站满意度得分7076727072x已知6个站的平均得分为75分.则这6个站满意度得分的标准差为 .6.现有4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 .7.已知向量a，b，满足|a|1，| b |，ab(，1)，则向量ab与向量ab的夹角是 ABCPDEF第8题图8.如图，正三棱锥PABC的所有棱长都为4点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PDPF1，PE2，则三棱锥P DEF的体积是 9. 在中，点是内心，且，则 第11题图10.已知锐角A，B满足tan(AB)2tanA，则tanB的最大值是 11.如图，点分别是椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于另一点，过中心作直线的平行线交椭圆于两点，若则椭圆的离心率为 . 12.已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是 .13.已知函数，若存在实数，满足，其中，则取值范围是 ABCPO14. 如图，在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，S为ABC的面积，圆O是ABC的外接圆，P是圆O上一动点，当取得最大值时，的最大值为 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15.（本小题满分14分）已知函数.（）若，求的值；（）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.16.（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，平面/，.（）求证：/平面；（）求证：平面.ABCDE GF17（本题满分14分）如图，一楼房高为米，某广告公司在楼顶安装一块宽为米的广告牌，为拉杆，广告牌的倾角为，安装过程中，一身高为米的监理人员站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设米，该监理人员观察广告牌的视角；（1）试将表示为的函数；（2） 求点的位置，使取得最大值18.（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为（1）求a，b的值（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点（）若k1，求OAB面积的最大值； （）若PA2PB2的值与点P的位置无关，求k的值19. (本题满分16分)设函数.（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立.20（本小题满分16分）已知数列（，）满足，其中，（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；（2）设集合，若，求证：；是否存在实数，使，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由亭湖高级中学2015届高三数学周练二十五理科附加题 (考试时间：30分钟 总分：40分)21【选做题】 B选修42：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知矩阵M（） 求矩阵M的逆矩阵；（） 求矩阵M的特征值及特征向量；C选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，求圆C的参数方程为为参数r0）,以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为若直线与圆C相切，求r的值。22. （10分）已知抛物线上有四点，XYOACBDPQM点，直线、都过点,且都不垂直于轴，直线过点且垂直于轴，交于点，交于点.(1) 求的值； （2）求证：23. (10分)设，（1） 当时，试指出与的大小关系；（2） 当时，试比较与的大小，并证明你的结论.1.复数的虚部为 .答案：2.2.已知集合A1，2，3，集合B1，1，3，集合，则集合S的子集个数为 个.答案：4个.3.若某算法流程图如图所示，则输出的结果为 .答案：63.4.已知双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为 .答案：.解: ，半焦距 ， .5.贵阳北站至广州南站的高速铁路，在广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对这6个车站的外观进行了满意度调查，得分如下：车站怀集站广宁站肇庆东站三水南站佛山西站广州南站满意度得分7076727072x已知6个站的平均得分为75分.则这6个站满意度得分的标准差为 .答案：7.解析：由题意，得，解得.6.现有4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 .答案：.7.已知向量a，b，满足|a|1，| b |，ab(，1)，则向量ab与向量ab的夹角是 ABCPDEF第8题图8.如图，正三棱锥PABC的所有棱长都为4点D，E，F分别在棱PA，PB，PC上，满足PDPF1，PE2，则三棱锥P DEF的体积是 9. 在中，点是内心，且，则 第11题图10.已知锐角A，B满足tan(AB)2tanA，则tanB的最大值是 11.如图，点分别是椭圆的上顶点和右焦点，直线与椭圆交于另一点，过中心作直线的平行线交椭圆于两点，若则椭圆的离心率为 . 12.已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是 .13.已知函数，若存在实数，满足，其中，则取值范围是 ABCPO14. 如图，在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，S为ABC的面积，圆O是ABC的外接圆，P是圆O上一动点，当取得最大值时，的最大值为 答案：.7 8 9 10 11. 12 13（21,24）15.（本小题满分14分）已知函数.（）若，求的值；（）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，求的取值范围.（）由 知 10分.14分16.（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，四边形是矩形，四边形是梯形，平面/，.（）求证：/平面；（）求证：平面.ABCDE GF证明：ABCDEGFM（）连接.因为/，/，所以/2分又 所以 四边形是平行四边形 所以/ 4分又平面，平面 所以/平面 7分（）取的中点，连接，则.又/，故四边形是平行四边形.所以所以是直角三角形，所以9分又 所以 11分又，所以14分17（本题满分14分）如图，一楼房高为米，某广告公司在楼顶安装一块宽为米的广告牌，为拉杆，广告牌的倾角为，安装过程中，一身高为米的监理人员站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设米，该监理人员观察广告牌的视角；（1）试将表示为的函数；（2）求点的位置，使取得最大值解析：（1）作于，作于，交于，作于，则；在直角中，则，；在直角中，有；在直角中，有；再由题意可知：监理人员只能在点右侧，即 7分（2）由（1）得：；令，则；，当且仅当即时，等号成立；此时，；又易知：是锐角，即，而在是增函数；当时，取最大值 14分18.（本小题满分16分） 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： 1（ab0）的上顶点到焦点的距离为2，离心率为（1）求a，b的值（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P作斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点（）若k1，求OAB面积的最大值； （）若PA2PB2的值与点P的位置无关，求k的值解（1）由题设可知a2，e，所以c，故b1因此，a2，b1 2分（2）由（1）可得，椭圆C的方程为 y21设点P（m，0）（2m2），点A（x1，y1），点B（x2，y2）()若k1，则直线l的方程为yxm联立直线l与椭圆C的方程，即将y消去，化简得 x22mxm210解之得x1， x2，从而有，x1x2， x1 x2，而y1x1m，y2x2m，因此，AB|，点O到直线l的距离d，所以，SOAB|AB|d|m|，因此，S2OAB( 5m2)m2()21 6分又2m2，即m20，4所以，当5m2m2，即m2， m时，SOAB取得最大值1 8分()设直线l的方程为yk(xm).将直线l与椭圆C的方程联立，即将y消去，化简得(14k2)x28mk2x4(k2m21)0，解此方程，可得，x1x2，x1x2 10分所以，PA2PB2(x1m)2y12(x2m)2y22(x12x22)2m(x1x2)2m22 （*）. 14分因为PA2PB2的值与点P的位置无关，即（*）式取值与m无关，所以有8k46k220，解得k 所以，k的值为. 16分19. (本题满分16分)设函数.（1）若=1时，函数取最小值，求实数的值；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若，证明对任意正整数，不等式都成立.19.解:（1）由x + 10得x 1f(x)的定义域为( - 1，+ ),对x ( - 1，+ ),都有f(x)f(1)，f(1)是函数f(x)的最小值，故有f/ (1) = 0,解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意；（2）又函数f(x)在定义域上是单调函数，f/ (x) 0或f/(x)0在( - 1，+ )上恒成立.若f/ (x) 0，x + 10，2x2 +2x+b0在( - 1，+ )上恒成立,即b-2x2 -2x = 恒成立,由此得b;若f/ (x) 0, x + 10, 2x2 +2x+b0,即b- (2x2+2x)恒成立，因-(2x2+2x) 在( - 1，+ )上没有最小值，不存在实数b使f(x) 0恒成立.综上所述，实数b的取值范围是.（3）当b= - 1时，函数f(x) = x2 - ln(x+1)，令函数h(x)=f(x) x3 = x2 ln(x+1) x3，则h/(x) = - 3x2 +2x - ，当时，h/(x)0所以函数h(x)在上是单调递减.又h(0)=0，当时，恒有h(x) h(0)=0, 即x2 ln(x+1) x3恒成立.故当时,有f(x) x3.取则有 ,故结论成立。20（本小题满分16分）已知数列（，）满足，其中，（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；（2）设集合，若，求证：；是否存在实数，使，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由解：（1）当时， 2分因为，或，所以 4分（2）由题意， 6分令，得因为，所以令，则 8分 不存在实数，使，同时属于9分假设存在实数，使，同时属于，从而 11分因为，同时属于，所以存在三个不同的整数（），使得 从而 则 13分因为与互质，且与为整数，所以，但，矛盾 所以不存在实数，使，都属于 16分B解：4分 矩阵A的特征多项式为，令，得矩阵的特征值为或，6分当时 由二元一次方程得，令，则，所以特征值对应的特征向量为8分当时 由二元一次方程得，令，则，所以特征值对应的特征向量为10分C解：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程得：，3分将圆的参数方程化为普通方程得：，6分由题设知：圆心到直线的距离为，即，即的值为10分