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一 基本概念 二 多元函数微分法 三 多元函数微分法的应用 第八章多元函数微分法 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意 善于类比 区别异同 1 区域 邻域 区域 连通的开集 2 多元函数概念 n元函数 常用 二元函数 图形一般为空间曲面 三元函数 一 基本概念 1 多元函数的定义 定义域及对应规律 解 所求定义域为 例2 设 解 则称常数A为函数 2 多元函数的极限 1 定义 是D 的聚点 如果对于任意给定的正数 总存在正数 使 得对于适合不等式 的一切点 都有 成立 当 时的极限 记为 或 或记为 这里 2 二元函数的极限与一元函数的极限的区别与联系 不同点 二元函数极限 的方式 路径 不同 一元函数的方式有两种 故有 的方式是任意的 有无数个 确定二元函数极限不存在的方法 令P x y 沿y kx趋向于 若极限值与k有关 则可断言极限不存在 找两种不同趋近方式 但两者不相等 此时也可断言f x y 或有的极限不存在 共同点 即有定义 与有极限不能互相推出 定义方式相同 故一元函数中凡是用定义证明的结论均可推广到 多元函数中 用定义只能证明极限 在点是否有定义并不影响极限是否存在 联系 由于一元函数与二元函数极限的定义方式相同 所以一元函数极限的性质如惟一性 保号性 局部有界性及极限的四则运算法则 夹逼准则 无穷小的概 念与性质 两个重要极限及求极限的变量代换法 等价 无穷小代换法等都可直接推广到多元函数极限上来 但一元函数极限的充要条件及洛比达法则不能用于多元函数极限上 例3 考察函数 在原点的二重极限 例4 求极限 解 其中 3 多元函数的连续 令 记 则 设函数z f x y 的定义域为D 聚点 若 1 定义 2 间断点 例如 函数 在点 0 0 极限不存在 又如 函数 上间断 故 0 0 为其间断点 在圆周 3 多元初等函数 如 所表示的多元函数 有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过 叫多元初等函数 4 多元函数连续性的应用 求极限 如果f P 是初等函数 定义域的内点 定理 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 例5 求 解 函数 是二元初等函数 4 多元函数的偏导数 1 定义 2 多元函数的偏导数与一元函数导数的不同点 3 多元函数的偏导数与一元函数导数的共同点 故多元函数偏导的求法与一元函数类似 可以把一元函数的求导公式和法则拿过来用 因此 定义方式相同 4 偏导及高阶偏导的记号 纯偏导 混合偏导 例6 解 按定义可知 设 求 当 x y 0 0 时 求分界点 不连续点处的偏导数要用定义求 处不可导 轮换对称性 5 多元函数的全微分 对于二元函数 1 可微的定义 可微 微分 能 是 全微分的实质 2 多元函数连续 可导 可微的关系 极限存在 连续 可微分 偏导数存在 偏导数连续 3 判定函数可微的方法 不连续 不可微 不可导 不可微 可微 定义法 偏导连续 可微 是 函数 在 可微的充分条件是 的某邻域内存在 时是无穷小量 时是无穷小量 例7 选择题 4 几个需要记住的重要函数 反例 3 函数 它在 0 0 处可导 不可微 不连续 1 函数 2 函数 它在 0 0 处不可微 因不可导 连续 它在 0 0 处连续 可导 不可微 连续但不可导 可导但不连续 可导但不可微 它在 0 0 处连续 可微 例8 讨论函数 解 由导数的定义知 在原点处连续 可导 不可微 则 求具体显函数的偏导数 把x看成变量 其余变量均看成常量 把y看成变量 其余变量均看成常量 2 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 3 求高阶偏导数的方法 逐次求导法 混合偏导数连续 与求导顺序无关 1 求偏导 函 数的方法 二 多元函数微分法 求抽象的复合函数的偏导数 链式法则 例1 解 例2 解 法1 公式法 法3 微分法 法2 直接法 两边求导 这时若对求导 把数 谁是自变量 把均看成变量用一阶微分形式不变性及微分法则 求隐函数的偏导数也有类似的方法 请选用恰当的方法 求隐函数的偏导数的三个方法 隐函数的求导公式 定理1 设函数 则方程 单值连续函数y f x 并有连续 隐函数求导公式 具有连续的偏导数 的某邻域内可唯一确定一个 在点 的某一邻域内满足 满足条件 导数 定理2 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数z f x y 满足 在点 满足 某一邻域内可唯一确 根据隐函数存在定理 存在 点的一个邻域 在此领域内 该方程 A 只能确立一个具有连续偏导的隐函数 B 可以确立具有连续性偏导的隐函数 C 可以确立具有连续性偏导的隐函数 D 可以确立具有连续性偏导的隐函数 设 则 例3 例4 设 解法1 直接求导法 再对x求导 注意 对x求导时 应把y看成常量 把z看成x y的函数 解法2 利用公式 设 则 两边对x求偏导 例4 设 例4 设 解法3 利用微分法求导 设 求 思考与练习 例5 设 是由方程 和 所确定的函数 求 解法1 99考研 这是由两个方程式组成的方程组 两边对x求导得 解法2 方程两边求微分 得 化简 消去即可得 自变量个数 变量总个数 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 例5 设 是由方程 和 所确定的函数 求 99考研 1 在几何中的应用 曲面 曲面 在点 1 隐式情况 处的法向量 曲面 2 显式情况 法向量 切点 法线的方向余弦 求曲面的切平面及法线 关键 抓住法向量 向上 三 多元函数微分法的应用 求曲线的切线及法平面 关键 抓住切向量 1 参数式情况 切点 2 一般式情况 切点 例1 解 切向量为 所求切线方程为 法平面为 求曲线 上对应于 的点处的切线 及法平面方程 例2 求曲线 在点M 1 2 1 处的切线方程与法平面方程 解 令 则 切向量 切线方程 即 法平面方程 即 2 极值与最值问题 定义 说明 1 由定义知 极值点应在定义区域内部 内点 而不能在边界上 2 在点 0 0 有极小值 在点 0 0 有极大值 3 二元函数的极值的概念可推广到三元以上的多元函数上 极值的必要条件与充分条件 定理1 必要条件 函数 偏导数 且在该点取得极值 注1 几何意义 但在该点不取极值 注2 1 驻点 2 偏导中至少有一个不存在的点 令 A 0时取极大值 A 0时取极小值 例1 求函数 解 解方程组 得驻点 1 1 0 0 故所求函数的极值为 对驻点 1 1 所以 对驻点 0 0 所以函数在 0 0 处无极值 求函数 的极值的一般步骤 极值问题 无条件极值 条件极值 条件极值的求法 方法1代入法 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域内限制 对自变量除定义域内限制外 还有其它条件限制 例如 求条件极值的方法 消元法 拉格朗日乘数法 方法2拉格朗日乘数法 如方法1所述 则问题等价于一元函数 的极值问题 极值点必满足 设 例如 故 极值点必满足 引入辅助函数 辅助函数F称为拉格朗日 Lagrange 函数 利用拉格 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形 例如 求函数 下的极值 解方程组 可得到条件极值的可疑点 求解闭域上连续函数最值问题 有界闭区域D上连续函数的最值的求法与步骤 假定函数在D上可微且有有限个驻点 1 找最值可疑点 D内的驻点 不可导点 边界上的可能极值点 2 比较以上各点处的函数值 最大 小 者即为所求的最大 小 值 特别 当区域内部最值存在 且只有一个极值点P时 函数的最值应用问题 第二步判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步找目标函数 确定定义域 及约束条件 解 如图 设 解方程组 得条件极值的可疑点为 另解求 提示 3 比较以上各点处的函数值 最大 小 者即为所求的最大 小 值 答案 函数的最值应用问题 第二步判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步找目标函数 确定定义域 及约束条件 例3 求旋转抛物面 与平面 最短距离 解 设 为抛物面 上任一点 则P 的距离为 问题归结为 约束条件 目标函数 到平面 之间的 令 解此方程组得唯一驻点 由实际意义最小值存在 故 3 方向导数与梯度 问题的提出 在山坡上沿不同方向行走时陡缓不一样 空气沿不同方向流动的快慢不一样 在数学上 即设函数当 x y 沿不同方向改变时的变化率决定着陡缓与快慢 如图 方向导数 定义 若函数 则称 在点 处 沿方向l 方向角为 存在下列极限 记作 为函数在点处沿方向l的方向导数 说明 的变化率 反映函数随自变量变化而变化的快慢程度 2 偏导数与方向导数不一样 的方向导数为 方向导数的存在性及其计算方法 定理 那么 函数在该点沿任一方向l的方向导数存在 且有 说明 1 可微 沿任一方向的方向导数存在 反之不一定成立 的方向导数为1 但它在处不可微 因不可导 2 3 若计算 只需在题设中找到 4 几个关系 注 反之不成立 1 定义 5 推广可得三元函数方向导数的定义及计算公式 的方向导数为 例4 设 是曲面 在点P 1 1 1 处 指向外侧的法向量 解 方向 的方向导数 在点P处沿 求函数 方向余弦为 而 同理 解 由方向导数的计算公式知 P73第15题 故 梯度 方向导数公式 令向量 方向导数取最大值 这说明 方向 f变化率最大的方向 模 f的最大变化率之值 1 定义 记作 梯度与方向导数的区别与联系 以二元函数为例 1 区别 2 联系 梯度是向量 方向导数是数量 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值 即 方向导数的最小值 2 说明 例6 求函数 由梯度计算公式得 梯度 并求该函数在点处的方向导数的最大值 解 则该函数在点处的方向导数的最大值为