相似三角形的判定3练习.ppt

练习课 一 复习 1 相似三角形的定义是什么 答 对应角 相等 对应边 成比例 的两个三角形叫做相似三角形 2 判定两个三角形相似有哪些方法 答 A 用定义 B 用预备定理 C 用判定定理1 2 3 D 直角三角形相似的判定定理 3 相似三角形有哪些性质 1 对应角相等 对应边成比例2 对应角平分线 对应中线 对应高线 对应周长的比都等于相似比 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 一 填空选择题 1 1 ABC中 D E分别是AB AC上的点 且 AED B 那么 AED ABC 从而 2 ABC中 AB的中点为E AC的中点为D 连结ED 则 AED与 ABC的相似比为 2 如图 DE BC AD DB 2 3 则 AED和 ABC的相似比为 3 已知三角形甲各边的比为3 4 6 和它相似的三角形乙的最大边为10cm 则三角形乙的最短边为 cm 4 等腰三角形ABC的腰长为18cm 底边长为6cm 在腰AC上取点D 使 ABC BDC 则DC AC 2 5 5 2cm 1 2 5 如图 ADE ACB 则DE BC 6 如图 D是 ABC一边BC上一点 连接AD 使 ABC DBA的条件是 A AC BC AD BDB AC BC AB ADC AB2 CD BCD AB2 BD BC7 D E分别为 ABC的AB AC上的点 且DE BC DCB A 把每两个相似的三角形称为一组 那么图中共有相似三角形 组 1 3 D 4 二 证明题 1 D为 ABC中AB边上一点 ACD ABC 求证 AC2 AD AB 2 ABC中 BAC是直角 过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E 交AB于D 连AM 求证 MAD MEA AM2 MD ME3 如图 AB CD AO OB DF FB DF交AC于E 求证 ED2 EO EC 4 过 ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD 边BC 边DC的延长线于E F G 求证 EA2 EF EG 5 ABC为锐角三角形 BD CE为高 求证 ADE ABC 用两种方法证明 6 已知在 ABC中 BAC 90 AD BC E是AC的中点 ED交AB的延长线于F 求证 AB AC DF AF 解 AED B A A AED ABC 两角对应相等 两三角形相似 1 1 ABC中 D E分别是AB AC上的点 且 AED B 那么 AED ABC 从而 解 D E分别为AB AC的中点 DE BC 且 ADE ABC即 ADE与 ABC的相似比为1 2 2 ABC中 AB的中点为D AC的中点为E 连结DE 则 ADE与 ABC的相似比为 2 解 DE BC ADE ABC AD DB 2 3 DB AD 3 2 DB AD AD 2 3 3即AB AD 5 2 AD AB 2 5即 ADE与 ABC的相似比为2 5 如图 DE BC AD DB 2 3 则 AED和 ABC的相似比为 3 已知三角形甲各边的比为3 4 6 和它相似的三角形乙的最大边为10cm 则三角形乙的最短边为 cm 解 设三角形甲为 ABC 三角形乙为 DEF 且 DEF的最大边为DE 最短边为EF DEF ABC DE EF 6 3即10 EF 6 3 EF 5cm 4 等腰三角形ABC的腰长为18cm 底边长为6cm 在腰AC上取点D 使 ABC BDC 则DC 解 ABC BDC 即 DC 2cm 5 解 ADE ACB且 如图 ADE ACB 则DE BC 6 D E分别为 ABC的AB AC上的点 DE BC DCB A 把每两个相似的三角形称为一组 那么图中共有相似三角形 组 解 DE BC ADE B EDC DCB A DE BC ADE ABC A DCB ADE B ADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA DCE A EDC ADC DEC 7 D为 ABC中AB边上一点 ACD ABC 求证 AC2 AD AB 分析 要证明AC2 AD AB 需要先将乘积式改写为比例式 再证明AC AD AB所在的两个三角形相似 由已知两个三角形有二个角对应相等 所以两三角形相似 本题可证 证明 ACD ABC A A ABC ACD AC2 AD AB 8 ABC中 BAC是直角 过斜边中点M而垂直于斜边BC的直线交CA的延长线于E 交AB于D 连AM 求证 MAD MEA AM2 MD ME 分析 已知中与线段有关的条件仅有AM BC 2 BM MC 所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似 AM是 MAD与 MEA的公共边 故是对应边MD ME的比例中项 证明 BAC 90 M为斜边BC中点 AM BM BC 2 B MAD又 B BDM 90 E ADE 90 BDM ADE B E MAD E又 DMA AME MAD MEA MAD MEA 即AM2 MD ME 9 如图 AB CD AO OB DF FB DF交AC于E 求证 ED2 EO EC 分析 欲证ED2 EO EC 即证 只需证DE EO EC所在的三角形相似 证明 AB CD C A AO OB DF FB A B B FDB C FDB又 DEO DEC EDC EOD 即ED2 EO EC 10 过 ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD 边BC 边DC的延长线于E F G 求证 EA2 EF EG 分析 要证明EA2 EF EG 即证明成立 而EA EG EF三条线段在同一直线上 无法构成两个三角形 此时应采用换线段 换比例的方法 可证明 AED FEB AEB GED 证明 AD BFAB BC AED FEB AEB GED 11 ABC为锐角三角形 BD CE为高 求证 ADE ABC 用两种方法证明 证明一 BD AC CE AB ABD A 90 ACE A 90 ABD ACE又 A A ABD ACE A A ADE ABC 证明二 BEO CDO BOE COD BOE COD 即又 BOC EOD BOC EOD 1 2 1 BCD 90 2 3 90 BCD 3又 A A ADE ABC 12 已知在 ABC中 BAC 90 AD BC E是AC的中点 ED交AB的延长线于F 求证 AB AC DF AF 分析 因 ABC ABD 所以 要证即证 需证 BDF DAF 证明 BAC 90 AD BC ABC C 90 ABC BAD 90 BAD C ADC 90 E是AC的中点 ED EC EDC C EDC BDF BDF C BAD又 F F BDF DAF BAC 90 AD BC ABC ABD 1 已知 如图 ABC中 P是AB边上的一点 连结CP 满足什么条件时 ACP ABC 解 A A 当 1 ACB 或 2 B 时 ACP ABC A A 当AC AP AB AC时 ACP ABC A A 当 4 ACB 180 时 ACP ABC 答 当 1 ACB或 2 B或AC AP AB AC或 4 ACB 180 时 ACP ABC 1 条件探索型 三 探索题 2 如图 已知 ABC CDB 90 AC a BC b 当BD与a b之间满足怎样的关系式时 两三角形相似 这类题型结论是明确的 而需要完备使结论成立的条件 解题思路是 从给定结论出发 通过逆向思考寻求使结论成立的条件 1 将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子 假设图形中的所有点 线都在同一平面内 则图中有相似 不包括全等 三角形吗 如有 把它们一一写出来 C 解 有相似三角形 它们是 ADE BAE BAE CDA ADE CDA ADE BAE CDA 2 结论探索型 2 在ABC中 AB AC 过AB上一点D作直线DE交另一边于E 使所得三角形与原三角形相似 画出满足条件的图形 E E E E 这类题型的特征是有条件而无结论 要确定这些条件下可能出现的结论 解题思路是 从所给条件出发 通过分析 比较 猜想 寻求多种解法和结论 再进行证明 3 存在探索型 如图 DE是 ABC的中位线 在射线AF上是否存在点M 使 MEC与 ADE相似 若存在 请先确定点M 再证明这两个三角形相似 若不存在 请说明理由 证明 连结MC DE是 ABC的中位线 DE BC AE EC 又 ME AC AM CM 1 2 B 90 4 B 90 AF BC AM DE 1 2 3 2 ADE MEC 90 ADE MEC 1 2 3 M 解 存在 过点E作AC的垂线 与AF交于一点 即M点 或作 MCA AED 4 所谓存在性问题 一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题 解题思路是 先假定所需探索的对象存在或结论成立 以此为依据进行计算或推理 若由此推出矛盾 则假定是错误的 从而给出否定的结论 否则给出肯定的证明