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数学讲义之平面向量【主干内容】1 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 设、是一组基底，则与共线的充要条件是 2平面向量的坐标表示：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得xy我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 并且| 3平面向量的坐标运算：若(x1、y1)，(x2、y2)，R，则： 4. 向量的数量积的几何意义：|cos叫做向量在方向上的投影 (是向量与的夹角)的几何意义是，数量等于 5向量数量积的运算律： ； () ()；() 总结：学习向量在基础知识掌握前提下，必须要考虑数形结合的思想。在近几年的高考中，每年都有涉及向量的题目。其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题。大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题。【题型分类】题型一：向量的概念与几何运算例1出下列命题：若，则； 若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； 若，则； 的充要条件是且； 若，则。 其中，正确命题的序号是_例2（2011四川）如图12，正六边形ABCDEF中，()图12A0 B C. D例3（2011届杭二模）已知非零向量a，b满足|a + b| =|ab |=|a|，则a + b与ab的夹角为（ ）A B C D 例4已知，设，如果，那么为何值时，三点在一条直线上？【小结】：1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意与O的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明ABCD，需证，且AB与CD不共线要证A、B、C三点共线，则证即可4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点题型二：平面向量的坐标运算例1设(ksin, 1)，(2cos, 1) (0 )，求证：k例2（2011稽阳联考）已知向量均为单位向量，它们的夹角为，实数、满足，则的取值范围是例3已知向量(cos，sin)，(cos，sin)，|，求cos()的值例4（2011湖南）在边长为1的正三角形ABC中，设2，3，则_.例5在平行四边形ABCD中，A(1，1)，(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点PAMBCDP(1) 若(3，5)，求点C的坐标；(2) 当|时，求点P的轨迹【小结】：1认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化2由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算题型三：平面向量的数量积例1已知向量(sin，1)，(1，cos)，(1) 若ab，求；(2) 求|的最大值例2（2011全国） 已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.例3（2011浙江）若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角的取值范围是_【小结】：1运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法2注意与ab的区别0，或 3应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合题型四：向量与图形结合例1（2011天津） 已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_例2（2011福建）已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是()A1,0 B0,1 C0,2 D1,2【好题速递】1.（2006四川）如图，已知正六边形 ，下列向量的数量积中最大的是（ ）A. B. C. D.2. (2011安徽)已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_3.(2011江苏)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2, 若ab0，则实数k的值为_4.(2011全国) (理)已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：p1：|ab|1；p2：|ab|1p3：|ab|1；p4：|ab|1.其中的真命题是()Ap1，p4 Bp1，p3 Cp2，p3 Dp2，p4
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