《含参变量的积分》PPT课件.ppt

第三节 一 含参变量的有限积分 二 含参变量的无穷积分 含参变量的积分 第十二章 一 含参变量的有限积分 上的连续函数 则积分 记作 u称为参变量 上式称为含参变量的有限积分 含参变量积分的性质 定理1 连续性 上连续 则函数 连续性 可积性 可微性 确定了一个定义在上的函数 在区间 也连续 证 在闭区域R上连续 所以一致连续 即 只要 就有 有 这说明 定理1表明 定义在闭矩形域上的连续函数 其极限运 算与积分运算的顺序是可交换的 同理可证 上连续 则含参变量的积分 定理2 可积性 上连续 推论 在闭矩形域上连续函数f x y 其累次积分可交换 即 定理2表明 定义在闭矩形域上的连续函数 关于不同 变数的积分 简称累次积分 可交换积分次序 求积顺序 定理3 可微性 都在矩形 证 令 函数 因上式左边的变上限积分可导 右边 有 被积函数及其偏导数在闭矩形域上连续 时 导数与积分运算是可以交换次序的 定理3说明 变量外 积分上 下限也含有参变量 即 但 对应唯一一个积分 值 则它仍是区间 的函数 设 一般情况 含参变量的有限积分 除被积函数含有参 下面给出函数 在区间 的可微性 定理4 都在矩形域 而函数 与 在区间 可导 有 则函数 在区间 可导 且 求函数 的导数 y 0 例1 解 暂时固定 使 显然 被积函数 与 在矩形域 都连续 根据定理2 有 例2 解 由被积函数的特点想到积分 例3 解 考虑含参变量t的积分所确定的函数 显然 由于 故 因此得 例4 解 例5 分小时 函数 的n阶导数存在 且 证 令 在原点的某个闭矩形邻域内连续 由定理5可得 即 同理 于是 二 含参变量的无穷积分 1 含参变量的无穷积分的定义 设二元函数f x u 在区域 有定义 无穷积分 都收敛 即 都对应唯一一个无穷积分 值 于是 是区间 的函数 表为 称为含参变量的无穷积分 有时也简称无穷积分 u是参变量 2 含参变量无穷积分一致收敛的定义 设 无穷积分 收敛 若 有 则称无穷积分 在区间I一致收敛 证明 无穷积分 在区间 a b a 0 例6 一致收敛 证明 设A 0 无穷积分 u看作常数 已知a u b 有 使不等式 成立 解得 取 于是 有 即无穷积分 在区间 a b a 0 一致收敛 3 含参变量无穷积分一致收敛的判别法 定理5 柯西一致收敛准则 无穷积分 在区间I 一致收敛 有 定理6 优函数判别法 若 有 且无穷积分 收敛 则无穷积分 在区间I一致收敛 例7 证明 无穷积分 在区间 一致收敛 a 0 证明 有 因为无穷积分 收敛 所以无穷积分 从而无穷积分 收敛 也收敛 根据定理6 则无穷积分 在区间 一致收敛 a 0 例8 证明无穷积分 在R一致收敛 证明 有 而无穷积分 收敛 则无穷积分 在R一致收敛 说明 虽然用定理6判别某些无穷积分一致收敛很简便 但此定理的应用局限在无穷积分必是绝对收敛 若无穷积分是一致收敛 同时又是条件收敛 则不能用定理6来判别 定理7 若函数f x u 在区间 连续且 在D有界 即 有 无穷积分 在区间I一致收敛 即 4 含参变量无穷积分的性质 定理8 连续性 注意 定理9 可积性 即 积分次序可交换 可微性定理表明在定理条件下 求导运算和积分运算 可以交换 即 定理10 可微性 即 注意 例9 证明 证明 已知 有 而无穷积分 收敛 根据定理6 无穷积分 在区间 一致收敛 根据定理9 交换积分次序 有