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学科教师辅导讲义学员学校： 年 级： 课时数：4学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师： 学科组长签名组长备注课 题 向量章节复习授课时间： 备课时间： 教学目标 理解平面向量的有关概念，掌握向量加减法的平行四边形法则和三角形法则，掌握向量的坐标运算方法，掌握线段的定比分点公式和中点公式重点、难点向量的数量积、向量的平行关系和垂直关系，向量的夹角考点及考试要求会计算向量的模、数量积和夹角。会判别两个向量的平行关系和垂直关系，会运用两个非零向量平行或垂直的充要条件解决一些简单的问题，理解基向量和平面向量分解定理教学内容知识精要一、向量有关概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。*向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性（因有)；三点共线共线；6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。二、向量的表示方法1. 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；3. 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三、平面向量的基本定理如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，.四、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：1. ；2. 当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，。注意：。五、平面向量的数量积1. 两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量的夹角，当时，同向，当时，反向，当时，垂直。2. 平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3. 在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。例：已知，则向量在向量上的投影为 4. 的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。5. 向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当，反向时，；当为锐角时，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量夹角的计算公式：；。六、向量的运算1. 几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设，那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。2. 坐标运算：设，则：向量的加减法运算：。实数与向量的积：。若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。平面向量数量积：。向量的模：。两点间的距离：若，则。七、向量的运算律（1）交换律：，；（2）结合律：，；（3）分配律：，。提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件。九、向量垂直的充要条件.特别地。十、线段的定比分点（1）定比分点的概念：设点P是直线上异于、的任意一点，若存在一个实数，使，则叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；（2）的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段上时；当P点在线段 的延长线上时；当P点在线段的延长线上时；若点P分有向线段所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。（3）线段的定比分点公式：设，分有向线段所成的比为，则，特别地，当时，就得到线段的中点公式。在使用定比分点的坐标公式时，应明确，的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。十一、向量中一些常用的结论（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线 (这些和实数比较类似).（1） 在中，若，则其重心的坐标为。，特别地的重心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地为的中点；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.名题精解例1. 下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是 例2. （1）若，则用可表示为 ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 （ ）A. B. C. D. （3）已知分别是的边上的中线，且，则可用向量表示为 ；（4）已知中，点D在BC边上，且，则的值是 例3. 中，则 ；例4. 已知，与的夹角为，则等于 ；变式训练：已知是两个非零向量，且，则与的夹角为 例5. 已知，则等于 ；例6. 已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_；例7. 已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_；变式训练：已知，与之间有关系式，其中，用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小例8. （1）化简： ； ； ；（2）若正方形的边长为1，则 ；（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为 ；（4）若D为的边BC的中点，所在平面内有一点P，满足，设，则的值为 ；（5）若点O是的外心，且，则的内角C为 ；例9.（1）已知点，若，则当 时，点P在第一、三象限的角平分线上；（2）已知，且，则 ；（3）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 ；例10. 设，且，则C、D的坐标分别是 例11. 已知向量，。（1）若，求向量的夹角；（2）若，函数的最大值为，求的值；例12. 如图，在平面斜坐标系中，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。若点P的斜坐标为，求P到O的距离；例13. （1）若向量，当 时与共线且方向相同；（2）已知，且，则 ；（3）设，则 时，共线；例14. （1）已知，若，则 ；（2）以原点O和为两个顶点作等腰直角三角形，则点B的坐标是_ _；（3）已知，向量，且，则的坐标是 ；例15. 若点P分所成的比为，则A分所成的比为 。变式训练：若，且，则点P的坐标为_；例16. 下列命题中：； 若，则或；若则；。其中正确的是 例17. 若的三边的中点分别为，则的重心的坐标为_ _例18. 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，若点满足，其中且,则点的轨迹是 巩固提高一、填空题:1已知O是所在平面内一点，D为BC边的中点，且，那么，则k= 2已知向量，若向量，则实数的值是 3平面内有三个向量，其中与夹角为120,与夹角为30且，若R），则的值为 4在四边形ABCD中，则的值为 5已知向量，则的最大值是 6有下列命题：两个相等的向量，若起点相同，则终点一定相同；若，则 若，则 若，则四边形ABCD是平行四边形以上命题中，真命题有 7已知内一点P满足，则P为的 8设，在上的投影为，在x轴上的投影为2，且，则为 9已知是非零向量,且满足，则的夹角是 10在中，已知D是AB边上一点，若，则 11在中，BAC=120，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则= 12设A(a，1)，B(2，b)，C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在上的投影相同，则a与b满足的关系式为 .二、解答题:ABCDEF15已知平行四边形ABCD中，E是AB中点，F是AC上一点，且AF =AC求证：D，E，F三点共线16已知的面积为3，且满足设和的夹角为求的取值范围；求函数的最大值与最小值17 已知向量与向量的对应关系用表示。证明对任意向量及常数，恒有成立；设，求向量及的坐标；求使的向量的坐标18设平面内两个向量 ，且（1）求证：；（2）若两个向量与的模相等求的值 19. （1）在图甲中，是锐角三角形，用向量方法证明的步骤中，首先过点A作单位向量垂直于，则与的夹角为90-A，与的夹角为。请你补充完成后面的证明过程BCA甲BCA乙（2）在图乙，中，记，试求的取值集合M，使当时，是唯一确定的锐角三角形
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