平面及其方程空间直线及其方程.ppt

第6节 一 平面的点法式方程 二 平面的一般方程 三 两平面的夹角 机动目录上页下页返回结束 平面及其方程 第八章 一 平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称 式为平面 的点法式方程 求该平面 的方程 法向量 量 则有 故 机动目录上页下页返回结束 例1 求过三点 即 解 取该平面 的法向量为 的平面 的方程 利用点法式得平面 的方程 机动目录上页下页返回结束 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 过三点 的平面方程为 说明 机动目录上页下页返回结束 特别 当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程 时 平面方程为 分析 利用三点式 按第一行展开得 即 机动目录上页下页返回结束 练习 习题8 6题1 题3 题1 题3 二 平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程 与此点法式方程等价 的平面 因此方程 的图形是 法向量为 方程 机动目录上页下页返回结束 特殊情形 当D 0时 Ax By Cz 0表示 通过原点的平面 当A 0时 By Cz D 0的法向量 平面平行于x轴 Ax Cz D 0表示 Ax By D 0表示 平行于y轴的平面 平行于z轴的平面 机动目录上页下页返回结束 By Cz 0表示经过x轴的平面 Ax Cz 0表示经过y轴的平面 Ax By 0表示经过z轴的平面 Cz D 0表示平行于xoy面的平面 Ax D 0表示平行于yoz面的平面 By D 0表示平行于zox面的平面 例2 求通过x轴和点 4 3 1 的平面方程 例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 解 因平面通过x轴 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简 得所求平面方程 自己练习 机动目录上页下页返回结束 习题8 6题8 1 3 三 两平面的夹角 设平面 1的法向量为 平面 2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即 两平面法向量的夹角 常为锐角 称为两平面的夹角 机动目录上页下页返回结束 特别有下列结论 机动目录上页下页返回结束 因此有 例4 一平面通过两点 垂直于平面 x y z 0 求其方程 解 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 机动目录上页下页返回结束 外一点 求 例5 设 解 设平面法向量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d 则P0到平面的距离为 点到平面的距离公式 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 平面基本方程 一般式 点法式 截距式 三点式 机动目录上页下页返回结束 2 平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直 平行 夹角公式 机动目录上页下页返回结束 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程 解 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 机动目录上页下页返回结束 作业 习题8 6 题2 题6 题8 2 一 空间直线方程 二 线面间的位置关系 机动目录上页下页返回结束 第七节空间直线及其方程 第八章 一 空间直线方程 因此其一般式方程 1 一般式方程 直线可视为两平面交线 机动目录上页下页返回结束 2 对称式方程 故有 说明 某些分母为零时 其分子也理解为零 设直线上的动点为 则 此式称为直线的对称式方程 也称为点向式方程 直线方程为 已知直线上一点 例如 当 和它的方向向量 机动目录上页下页返回结束 3 参数式方程 设 得参数式方程 机动目录上页下页返回结束 例1 用对称式及参数式表示直线 解 先在直线上找一点 再求直线的方向向量 令x 1 解方程组 得 已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 机动目录上页下页返回结束 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 解题思路 先找直线上一点 再找直线的方向向量 机动目录上页下页返回结束 练习 习题8 7题1 题2 4 二 线面间的位置关系 1 两直线的夹角 则两直线夹角 满足 设直线 两直线的夹角指其方向向量间的夹角 通常取锐角 的方向向量分别为 机动目录上页下页返回结束 特别有 机动目录上页下页返回结束 例2 求以下两直线的夹角 解 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 从而 的方向向量为 的方向向量为 机动目录上页下页返回结束 当直线与平面垂直时 规定其夹角 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角 2 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时 设直线L的方向向量为 平面 的法向量为 则直线与平面夹角 满足 直线和它在平面上的投影直 机动目录上页下页返回结束 特别有 解 取已知平面的法向量 则直线的对称式方程为 直的直线方程 为所求直线的方向向量 垂 例3 求过点 1 2 4 且与平面 机动目录上页下页返回结束 1 空间直线方程 一般式 对称式 参数式 内容小结 机动目录上页下页返回结束 直线 2 线与线的关系 直线 夹角公式 机动目录上页下页返回结束 平面 L L 夹角公式 3 面与线间的关系 直线L 机动目录上页下页返回结束 解 相交 求此直线方程 的方向向量为 过A点及 面的法向量为 则所求直线的方向向量 方法1利用叉积 所以 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 备用题 机动目录上页下页返回结束 设所求直线与 的交点为 待求直线的方向向量 方法2利用所求直线与L2的交点 即 故所求直线方程为 则有 机动目录上页下页返回结束 代入上式 得 由点法式得所求直线方程 而 机动目录上页下页返回结束 作业 习题8 7题3 题7 题9自测题8