中考数学四心专题.doc

三角形的重心、内心、外心、垂心专题 雷鸣东一、三角形的重心定义：三角形三边中线的交点性质：（几何部分）（1）线段数量关系；等分关系；比值; （2）面积数量关系：分割而成的部分面积等量和倍数关系; （3）线段的位置与相似关系：X型相似（中位线，倍长中线型） （函数坐标部分）中点坐标表示及求法.等面积数量转化成线段关系.二、三角形的内心定义：三角形的三个内角角平分线的交点.（内心角平分线）性质：（1）具有角平分线的性质 如右图，, （2）形成角平分线的几何模型： 如右图,易知：; ; ; （3）图形的对称性（模型）对称.切线型互补.旋转型三线合一型 三、三角形的外心O定义：三角形三边的垂直平分线的交点.（知识点交汇处：Rt延伸出来的直角三角形全等、相似、三角函数、勾股定理等一系列相关知识；中点延伸出来的中线、中位线、倍长中线、直角三角形斜边上中线等一系列性质）.性质：（1）同弧所对的圆心角与圆周角的关系： 如右图：; （2）三角形外心位置与三角形形状的关系： 钝角三角形外部；锐角三角形内部； 直角三角形斜边中点处 （可考虑的模型：直角三角形；中点情况，等腰三角形）例题：如右图，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于C；求ABC的外心I的坐标.解析：中点M坐标M（） Rt型：N点坐标或CMNAOB 即可求得点N的坐标. 易得直线MN的解析式，再与对称轴的交点即为外心I.四、三角形的垂心定义：三角形三条高线的交点性质：（1）面积关系； （2）直角三角形关系：相似三角形（等角三角形关系，等角转化关系）； （3）垂心位置与三角形形状的关系（钝角三角形外部；锐角三角形内部； 直角三角形直角顶点处）； （4）与圆的关系；重要发现：任意一个三角形的三个顶点与其垂心所在的点.在这四个点中：任意三点与另一个点的关系是“垂心”互存关系，即：其中一点是另三点形成的三角形的垂心所在.例题：1、探究与应用已知：RtABC和RtDBE中：ABC=DBE=90.且E、C分布在点B的异侧.（1）当时，CD与AE的位置关系是： ； （2）当时，CD与AE的位置关系是： ； （3）当时，上述结论还成立吗？2、已知：如图，抛物线的图像与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于点C，且tanCAB=2.（1）求抛物线的解析式；（2）点M为直线上的一动点，且直线过点（7,0），问：当以A、B、M为顶点的直角三角形只有三个时；求点M的坐标.（3）设N为平面内一点，是否存在点N，使得以A、B、C、N四点中的任意三点围成的三角形的高线交于第四点.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在直角坐标系中，抛物线交x轴于A(-3，0)、B(-1，0)，交y轴于C点，且cosCAB=。（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与A、C重合），P的横坐标为m，以PC为边作正方形CPMN，若顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时，求m的值；（3）点Q在抛物线上，设Q的横坐标为n，是否存在这样的n，使得，QAB的重心落在直线AC上？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由.4.如图，正方形OABC的边长为，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图。把正方形OABC绕着点O逆时针旋转后得到正方形ODEF（45），DE交x轴于点G，且EG=2DG.抛物线（）经过D、E、O三点；（1）tan= ,并求该抛物线的解析式；（2）P是直线OE下方的抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m，过点P作PHx轴交OE于点H,PKOE于点K，连接EP；用含m的的代数式表示PK的长，并求PK的最大值；是否存在这样的m，使得PH把PKE分成的两个三角形面积之比为5:6？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由。（3）抛物线上是否存在点Q，使得QOG的内心落在OE上？若存在，请求出直线OQ的解析式；若不存在，请说明理由. 5.如图，抛物线C1：y=ax2+bx+c的开口向下，顶点为D点，与y轴交于点，且经过A（1，0），B（3，0）两点，若ABD的面积为8（1）求抛物线C1的解析式；（2）Q是抛物线C1上的一个动点，当QBC的内心落在x轴上时，求此时点Q的坐标；当QBC的重心落在x轴上时，求此时点Q的坐标（3）在抛物线上求一点P，使得PBC的外心落在抛物线的对称轴上；6.