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全国名校高考数学专题训练06不等式（解答题）1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)关于实数的不等式的解集依次为与，求使的的取值范围。解：由 由得当时得当综上解述：当时若则解得 当时若则解得的范围是或 2、(江苏省启东中学高三综合测试四)某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？解：设购进8000个元件的总费用为S，一年总库存费用为E，手续费为H则，所以S=E+H=当且仅当，即n=4时总费用最少，故以每年进货4次为宜3、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)如图，公园有一块边长为2的等边ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.（1）设ADx（x0），EDy，求用x表示y的函数关系式；AEyxDCB（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明.解：（1）在ADE中，y2x2AE22xAEcos60y2x2AE2xAE,又SADE SABCa2xAEsin60xAE2.代入得y2x22（y0）, y（1x2）.（2）如果DE是水管y,当且仅当x2，即x时“”成立，故DEBC，且DE.如果DE是参观线路，记f（x）x2，可知函数在1，上递减，在，2上递增，故f（x） maxf（1）f（2）5. y max.即DE为AB中线或AC中线时，DE最长.4、(四川省乐山市2008届第一次调研考试)已知是R上的单调函数，且对任意的实数，有恒成立，若求证：是R上的减函数；解关于的不等式：解：；18.由是R上的奇函数，又因是R上的单调函数，由，所以为R上的减函数。当时，；当时，当时，。5、(山东省博兴二中高三第三次月考)为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架. 三角形支架形状如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米. 为了广告牌稳固，要求AC的长度越短越好，求AC最短为多少米？且当AC最短时，BC长度为多少米？解：如图，设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y0.5）米. 在ABC中，依余弦定理得： -（4分）即化简，得 ，因此 -（6分）方法一：. - （10分）当且仅当时，取“=”号，即时，y有最小值.方法二： -（9分）解，得 -（11分）当时，；当时，.当时，y有最小值.6、(福建省厦门市2008学年高三质量检查)某化工集团在靠近某河流修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万立方米/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万立方米/天的支流并入大河（如图）。第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水2万立方米；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万立方米，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化。 环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这两个工厂都需各自处理部分的工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1000元/万立方米，第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万立方米。试问：在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小？解：设第一化工厂每天处理工业废水x万立方米，需满足：2分设第二化工厂每天处理工业废水y万立方米，需满足：4分两个化工厂每天处理工业废水总的费用为1000x800y元。问题即为：在约束条件求目标函数的最小值。7、ABCDMNP(广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试)如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|3米，|AD|2米，（1） 要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？（2） 若|AN| （单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积解：设AN的长为x米（x 2），|AM|SAMPN|AN|AM| - 4分（1）由SAMPN 32 得 32 ，x 2，即（3x8）（x8） 0即AN长的取值范围是- 8分（2）令y，则y - 10分当，y 0，函数y在上为单调递减函数，当x3时y取得最大值，即（平方米）此时|AN|3米，|AM|米 8、(广东省深圳外国语学校2008届第三次质检)据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元（a0）。（I）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；（II）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。解：（I）由题意得（100-x）3000（1+2x%）1003000，即x250x0，解得0x50， 4分又x0 0x50； 6分（II）设这100万农民的人均年收入为y元，则y= =x25(a+1)2+3000+475(a+1)2 (0x50) 9分（i）当025(a+1)50，即0a1，当x=25(a+1)时，y最大； 11分（ii）当25(a+1)50，即a 1，函数y在（0,50单调递增，当x=50时，y取最大值。13分 答：在0a1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大 14分9、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知函数，点是函数图像上任意一点，点关于原点的对称点的轨迹是函数的图像 （1）当时，解关于的不等式； （2）当，且时，总有恒成立，求的取值范围.解：由题意知：P、Q关于原点对称，设Q（x,y）是函数y=g(x)图像上任一点，则P（-x,-y）是f(x)=loga(x+1)上的点，所以-y=loga(-x+1)，于是g(x)=-loga(1-x).(1)0a1,(2)时设 10、设有关于x的不等式 （1） （2）当a为何值时，此不等式的解集为R（本题满分12分）解：时，不等式可化为 2分由.4分5分 .7分欲使恒成立，即恒成立，只须即可. 10分11、为贯彻落实党的十七大精神,加快新农村建设步伐,红星镇政府投资c万元生产甲乙两种商品,据测算,投资甲商品x万元,可获得利润P=x万元,投资乙商品x万元可获得利润Q=40万元，如果镇政府聘请你当投资顾问，试问对甲乙两种商品的资金投入分别是多少万元？才能获得最大利润,获得最大利润是多少万元？解：设对甲厂投入x万元（0xc）,则对乙厂投入为cx万元所得利润为y=x+40（0xc） （3分）令=t（0t）,则x=ct2 y=f（t）=t2+40t+c=（t20）2+c+400（6分）当20,即c400时,则t=20, 即x=c400时, ymax =c+400 （8分）当020, 即0c400时,则t=,即x=0时,ymax=40 （10分）答：若政府投资c不少于400万元时,应对甲投入c400万元, 乙对投入400万元,可获得最大利润c+400万元政府投资c小于400万元时,应对甲不投入,的把全部资金c都投入乙商品可获得最大利润40万元（12分）12、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入自来水60吨，若蓄水池向居民不断的供水，且t小时内供水总量为210吨。 （1）供水开始几小时后，蓄水池中的水量为最小？最小水量为多少吨？ （2）若蓄水池中的水量小于200吨，就会出现供水紧张问题，试问在一天的24小时内，有多少小时会出现供水紧张情况？答案：（1）小时，400140吨 （2）10.5小时13、(湖北省八校高2008第二次联考)两家共同拥有一块土地，形状是等腰直角三角形，m，如果两家人准备划分一条分割线(直线段)，使两家所得土地相等，其中分别在线段上（）如果准备在分割线上建造一堵墙，请问如何划分割线，才能使造墙费用最少；（）如果准备在分割线上栽种同一种果树，请问如何划分割线，才能使果树的产量最大解：设AQ=x，AP=y， ，又，.PQ.（1）, ，此时，又.即取AP=AQ=m时，PQ的长最短，因而造墙费用最少. （6分）（2）, . 考察函数，得当时，函数递增，当时，函数递减, 所以函数的最大值，此时.故当P取在B点，Q取在AC的中点处时，PQ最长，因而果树的产量最大. （12分）14、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)随着机构改革的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（1402a420，且a为偶数，每人每年可创利b万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则4分依题意 6分 （1）当取到最大值；8分 （2）当取到最大值；10分答：当，12分15、(湖北省鄂州市2008年高考模拟)某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W（吨）与时间t（小时，且规定早上6时t0）的函数关系为W100水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?解：设进水量选第x级，则t小时后水塔中水的剩余量为：y10010xt10t100，且0t16根据题意0y300，010010xt10t100300当t0时，结论成立当t0时，由左边得x110（）, 令m=，由0t16，m ，记f（t）=110（）=1+10m2-10m3，（m ）则f（t）=20m 30 m 2 =0得m = 0或m =当m 时，f（t）0；当m 时，f（t）0，所以m =时（此时t =），f（t）最大值=1+10（）2-10（）3=2.48当t时，110（）有最大值2.48x2.48，即x3由右边得x1，当t16时，1有最小值1=（3，4）即x3综合上述，进水量应选为第3级【总结点评】本题考查数学建模的基本思想，怎么样把实际问题转化为数学问题，进而用已有的数学知识求这个数学问题的解。水塔中的水不空又不会使水溢出等到价于进出水量的平衡，进水量与选择的进水级别与进水时间相关，出水量有生活用水与工业用水两部分构成，故水塔中水的存量是一个关于进水级别与用水时间的函数，而容量为300吨的水塔就构成一个不等式，解之得问题的解.16、(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)随着机构改革的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（1402a420，且a为偶数），每人每年可创利b万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的. 为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，则4分依题意又1402a420, 70a210. 6分（1）当时，x=a-70, y取到最大值；8分（2）当时， y取到最大值；10分答：当时，裁员a-70人；当时，裁员人12分17、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)某加工厂有一块三角形的铁板余料（如图），经测量得知：AC=3，AB=3，BC=6.工人师傅计划用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱，设计方案为：将图中的阴影部分切去，再把它沿虚线折起，请计算容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x.又GE0，0x设容器的容积为V.则V=（6分）（7分）令，又0x（10分）当0x时，.（13分）18、(吉林省吉林市2008届上期末)已知函数设关于x的方程的两实根为x1、x2，方程的两实根为. （1）若=1，求a、b的关系式； （2）若解：（1）由有两个不等实根为、， 2分由 6分 （2）证明：，则 10分综上所述， 12分19、(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知x，y，z均为正数求证： 证明：因为x，y，z无为正数所以， 4分同理可得，7分当且仅当xyz时，以上三式等号都成立将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得10分20、(江苏省泰兴市20072008学年第一学期高三调研)设函数求证： （1）； （2）函数在区间（0，2）内至少有一个零点； （3）设是函数的两个零点，则证明：（1） 又 2分又2c=3a2b 由3a2c2b 3a3a2b2ba0 4分（2）f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=ac6分当c0时，a0，f（0）=c0且函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点8分当c0时，a0 函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点.综合得f（x）在（0，2）内至少有一个零点10分（3）x1，x2是函数f（x）的两个零点则的两根12分15分21、(江苏省泰兴市20072008学年第一学期高三调研)设a、b、c均为实数，求证：+.证明： a、b、c均为实数，（），当a=b时等号成立；4分（），当b=c时等号成立；6分（）8分三个不等式相加即得+，当且仅当a=b=c时等号成立. 10分22、（本小题满分12分）(江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)某学校拟建一块周长为400m的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设矩形的长为xm，半圆的直径是d，中间的矩形区域面积为Sm2由题知：S=dx，且2x+d=400 2S= 5 10当且仅当d=2x=200，即x=100时等号成立设计矩形的长为100m宽约为63.7m时，矩形面积最大 1223、(山东省聊城市2008届第一期末统考)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设表示前n年的纯利润总和（f（n）=前n年的总收入一前n年的总支出一投资额）. （1）该厂从第几年开始盈利？ （2）若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂，问哪种方案更合算？解：由题意知2分（1）由5分由知，从经三年开始盈利.6分（2）方案：年平均纯利润当且仅当n=6时等号成立.故方案共获利616+48=144（万元），此时n=6.8分方案：当n=10，故方案共获利128+16、144（万元）10分比较两种方案，获利都是144万元，但由于第种方案只需6年，而第种方案需10年，故选择第种方案更合算.12分24、(上海市部分重点中学2008届高三第二次联考)电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN平行CD）(1)若通话时间为两小时，按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？解设通话x分钟时，方案A，B的通话费分别为-1分（1）当x=120时=116元 =168元-3分若通话时间为两小时，方案A付话费116元，方案B付话费168元-4分（2）-7分当-=0.3-9分方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元-10分(3) 当-11分 -12分由得-13分综合：通话时间在内方案B较优惠。-14分