动力学普遍定理(动能定理).ppt

1 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 动力学普遍定理引言 关于上次内容的问题 1 动力学的抽象模型是什么 2 什么是质点运动微分方程 与牛二定律有何关系 适用范围是什么 3 叙述你知道的动力学普遍定理 三大定理 可解决任何动力学问题吗 物理中主要针对质点和转动刚体而言 而众多的问题是具有任意运动的物体系的动力学问题 特别是含平面运动物体的物体系问题 仅对质点 引入新概念 建立新理论 不仅适于质点 还适于质点系 注 这种推导仅为方便和使理论系统化 力学史上并非如此顺序 事实上 三大定理是单独发现的 且早于牛顿第二定律 仅适于惯性参考系 动能定理动能 功 动量定理动量 冲量 力 动量矩定理动量矩 冲量矩 力矩 2 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 动能定理 动能2 动能1 功 问题 动能与功如何求 对任意质点系和力 矩 偶 本部分内容 12 1动能 12 2功 12 3动能定理 质点 质点系 12 4功率功率方程 简介 12 5势力场势能机械能守恒定律 自学 12 1动能 动能 描述物体 整体 机械运动强度的量 以下一 四提问 一 质点 二 质点系 三 平动刚体 四 转动刚体 3 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 五 柯尼希定理 动能的合成 对任意质点系 选动系为随质心平动的坐标系 应用速度合成定理 易证 相对动系 质心 之相对动能 质系动能 随动系 质心 平动动能 绝对动能 牵连动能 相对动能 问题 对质点系任意一点A 可写上述动能表达式吗 六 平面运动刚体 由上述定理 立即得 质系动能 随质心平动动能 相对质心之转动动能 可证 对瞬心C 以上为求平面运动刚体动能的两种方法 4 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 12 2功 功 力 力偶 在位移上的累积效应 一 功的一般表达式 提问 元功 功 直角坐标系下 二 几种常见力的功 以下1 4提问 1 常力 2 重力 注 仅仅表示元功 既非变分 也不一定为全微分 5 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 3 弹性力 弹簧初 末时变形 4 万有引力 其中c为引力常数 为二星体质心间初 末时距离 5 摩擦力的功 讨论 静滑动摩擦力作功吗 举例 注 对扭转弹簧 亦如此 动滑动摩擦力作功吗 若是 恒为负吗 如书p214所说 举例 6 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 6 力偶与力矩的功 力偶 力矩 注 力偶作用的刚体可在平面内作任意运动 注 仅限于定轴转动刚体 7 平面运动刚体上力的 元 功 除了由定义来求功 利用力的平移定理或点的运动合成 通常有两种方法常用 将力向质心平移 将力向瞬心平移 仅对求元功较方便 7 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 三 力系的功 功是标量 故 四 质点系内力的功 提问 内力作功吗 当为刚体 或几何不变体系 时 内力的功为零 否则不为零 如系统中有弹簧时 8 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 五 约束力的功 提问 约束力作功吗 在一定意义下 约束力不作功 这给我们分析解决问题带来很大方便 看一下吧 柔性体约束 光滑面约束 铰链约束 中间铰链 链杆约束 固定端约束 理想约束 9 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 12 3动能定理 一 质点的动能定理 牛二定律 二 质点系的动能定理 将质点系受力按主动力和约束力分 当为理想约束时 对上面二式求和 有 微分形式 积分形式 问题 动能定理可求什么量 求几个 用何种方程 主动力 位移 速度 加速度 解题步骤 一 取研究对象 一般为整体 且不去约束 即不取分离体 二 画图 受力图只画主动力 理想约束不做功 运动图 三 列解方程 10 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 例12 1典型例题 详讲 图示系统 均质滚子A 滑轮B重量和半径均为Q和r 滚子纯滚动 三角块固定不动 倾角为 重物重量P 求滚子质心C的加速度aC 以下四个例题均非常好 分析 考虑整体 动能定理有两种形式 积分式和微分式 积分式显含速度 若求加速度 需考虑从初始位置到任意位置 列方程对时间求导 微分式显含速度微分 两边除以dt 即得加速度 但应考虑在任意位置列方程 一般来讲 积分式容易理解 首先考虑用积分式求解 11 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 解 设系统从初始到任意位置 重物上升s 画出所有主动力和相关运动量 如图 设初始动能 T0 0 任意位置动能 所有主动力做功 对t求导 12 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 另解 微分式 考虑系统在任意位置 系统有微小位移ds 画出所有主动力和相关运动量 如图 微分形式动能定理 1 任意位置动能 所有主动力做元功 13 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 代入 1 式 得 两边除以dt 得 总结 应用积分式动能定理求加速度时 需要考虑从初始位置到任意位置这一有限过程 大过程 应用微分式动能定理求加速度时 需要在任意位置考虑一无限小过程 小过程 其中dT由对动能T求微分得到 14 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 例12 2需用到较多运动分析 稍难 图示椭圆机构在铅直面内运动 OC AB为均质杆 OC AC BC l OC重P AB重2P AB受一常力偶M 在图示位置 30 系统由静止开始运动 求当A运动到O时A的速度vA 滑块质量不计 C为铰链 分析 本题求速度 显然用动能定理的积分形式 考虑从初时位置 30 到末时位置 90 解 设系统从初时到末时位置 画出所有主动力和相关运动量 如图 初时动能 T1 0 15 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 末时动能 由OC AB方位角相等 知 由B点运动规律知 B在最高点时速度为0 即AB铅直时B为瞬心 则 则系统在末时动能 16 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 所有主动力做功 由动能定理 得 17 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 例12 3典型例题 亦用到较多运动分析 较难 详讲 均质细杆AB长l 1 0m 重Q 30N 上端靠在光滑铅直面上 下端以铰链A和均质圆柱中心相连 圆柱重P 20N 半径R 0 4m 沿水平面纯滚动 1 当 45 若系统由静止开始运动 求此时A点的加速度 2 在该位置 若A点以速度vA 1 0m s向左运动 求该瞬时A点的加速度 分析 本题求加速度 但与前面题目不同是 求初瞬时 特定位置 的加速度 能否在此位置应用微分形式的动能定理 事实上 应用两种形式的动能定理均可以 但都要先求任意位置 的加速度 再求初瞬时加速度 将 45 代入 书上使用微分形式动能定理 这里应用积分式求解 18 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 解 1 设系统从初始 45 到任意位置 画出所有主动力和相关运动量 如图 初始动能 T0 0 任意位置动能 H为杆瞬心 D为滚子瞬心 对杆 a 而 对滚子 代入 a 式得 19 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 主动力只有Q做功 对t求导 并注意 b 动能定理 得 c 将 45 和vA 0代入上式 得 20 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 例12 4用动能定理建振动方程 图示系统中 物块A重P 均质圆轮B重Q 半径为R 沿水平面纯滚动 弹簧常数为k 初位置y 0时 弹簧为原长 系统由静止开始运动 滑轮D质量不计 绳不可伸长 试建立物块A的运动微分方程 并求其运动规律 2 将 45 和vA 1m s代入 c 式 得 分析 建立物块A的运动微分方程 即写关于y的微分方程 即求物块A的加速度 两种形式的动能定理应该均可用 但此题需求弹簧力做功 21 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 解 积分式 设系统从初始到任意位置 建立坐标系 并画出所有主动力和相关运动量 如图 初始动能 T0 0 任意位置动能 由运动关系 则 主动力做功 注意yB y 22 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 动能定理 对t求导 并注意 通常再写成标准形式 并作坐标变换 即标准的无阻尼振动微分方程 x为从静平衡位置开始的坐标 固有频率 请你在图中标出x 23 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 方程 1 的通解为简谐运动 A为振幅 为初相位角 二者与初始条件有关 0t 为相位角 以y坐标表示的运动规律 另解 微分式 系统在任意位置 建立坐标系 并画出所有主动力和相关运动量 如图 任意位置动能 24 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 主动力的元功 注意dyB dy 微分形式动能定理 1 两边除以dt 注意 得 作坐标变换 通解 以y坐标表示的运动规律 式中 作业 12 15 16 19 21 25 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 12 4功率功率方程 功率方程实际是动能定理 微分形式 用功率表示的另一形式 主要用于计算机械效率 一般不直接用于求解普通动力学问题 一 功率 二 功率方程 动能定理 功率方程 定义 对力 对力偶 26 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 12 5势力场势能机械能守恒定律 物理中讲述较多 故略讲 一 势力场 力场 质点在空间任意位置都受到一个大小 方向确定的力作用 该空间称为力场 势力场或保守力场 质点在力场中运动时 力对质点所作的功仅与起始位置有关 而与路径无关 这样的力场称为势力场或保守力场 其力称为有势力或势力或保守力 势力场中的振动系统称为保守系统 势力场的性质 提问 常见的保守力场有哪些 27 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 二 势能势能函数 在势力场中 质点由某一位置M运动到选定的参考点M0 0势能位置 的过程中 有势力所作的功称为质点在M位置的势能 注意势能为从某点M到参考点M0势力所作的功 如果选定M0为起始点 M为终点 则应用动能定理求势力做功 与应用机械能守恒求势能时 二者相差一负号 如弹性力场 在动能定理中求弹性力的功 在机械能守恒定律中求势能 由于势能仅与质点的位置有关 故是质点坐标的单值连续函数 故又称为势能函数 势函数 记为V x y z 易知势力与势能的关系 28 第三篇动力学第12章动力学普遍定理 动能定理 下次课预习 动量定理 质心运动定理 三 机械能守恒定律 动能定理的另外形式 用机械能守恒定律重新求解例12 1 自己练习