概率统计练习题.doc

一、填空题1）, 0.3 2）已知, 则= 0.2 3）设对于事件A,B,C,有P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8，则A,B,C三个事件至少出现一个的概率为_5/8_4）从0,1,2,3，9十个数字中任取三个，则取出的三个数字中不含0和5的概率为 7/15 5）从3黄12白共15个乒乓球中任取1个出来，取到白球的概率为 4/5 6） 3/5 7）已知随机变量的分布律为，则常数为 27/38 8）随机变量X的概率密度为，以Y表示X的三次独立重复观察中事件出现的次数，则_9/64_9）已知随机变量服从二项分布，则X的数学期望为 4 10）已知随机变量的概率密度为，则 5 11）设随机变量的方差为，则= 81 12） 85 13）设，则 37 。14）已知服从二维正态分布,且与独立，则为 0 15） N(0,2) 分布。16） 分布。二、选择题1）某射手连续射击目标三次，事件表示第次射击时击中，则“至少有一次击中”为（ ） (A) (B) (C) (D) 2）某人射击中靶的概率为，独立射击3次，则恰有2次中靶的概率为（ ）。(A) (B) (C) (D) 3）将个球随机放入个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，则第个盒子有球的概率（ ） (A) ； (B) ； （C）； (D) 。4）已知连续型随机变量的概率密度为，则为（ ）。（A） ( B) (C) (D) 5） 设服从参数为1的指数分布，则为（ ） (A)； (B) ； (C) ； (D) 6）设随机变量的方差为，为常数，则= ( ) 。 （A） (B) (C) (D) 7）随机变量的概率密度函数为 ，且E(X)=则为3/5_，为_6/5_；D(X)为_2/25_。8) 已知随机变量的概率密度为，则的数学期望与方差为（ ）。 （A） (B) (C) (D) 9）设服从参数为的指数分布，则为（ ） (A) (B) (C) (D) 10）设随机变量与Y的协方差为，则随机变量 （ ）（A）相互独立 (B)存在线性关系(C)不存在线性关系（D）选A、B、C都不正确11）随机变量服从参数为的分布，则为（ ） (A) 1/4 ； (B)2 ； (C)1 ； (D)1/2。12）若，则服从（ ） (A) 分布 (B) 分布 (C) 分布 (D) 分布三、计算题1、 灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.3，求三个灯泡在使用1000小时以后最多有一个坏了的概率？解 记A=灯泡耐用时间在1000小时以上，随机变量 由已知，即所以 2、 已知随机变量的分布函数为 ，求离散型随机变量的分布律。解 随机变量 所以的分布律为X123P3、 将3个球随机地放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中，以X表示其中至少有一个球的盒子的最小号码(如表示第1,2号盒空，第3号盒至少有一个球)，求随机变量X的分布律。解 X可取1，2，3，4；所以随机变量X的分布律X1234p4、 已知连续型随机变量的分布函数为 ，求常数和以及的概率密度。 解 由题意，可知，亦所以。此时连续型随机变量的分布函数为其概率密度5、 设随机变量X的概率密度为，求常数A以及概率。解 由题意，知 ，即，有，6、设随机变量与的分布相同，其概率密度为 ，已知事件与相互独立，且，求常数解 由题意，记，显然所以，即，有，7、已知二维连续型随机变量的联合密度函数为，求。解 由于，所以， 有 此时二维连续型随机变量的联合密度函数为 故 8、已知二维随机变量的分布函数为 ，（1）确定常数；（2）求关于和的边缘分布函数；解（1）由分布函数的性质有此时二维随机变量的分布函数为 ，9、已知随机变量的概率密度为 ，求：（1）关于的边缘概率密度；（2）概率解10、一袋子中有10个球，其中2个是红球，8个是白球。从这个袋子中任取一个球，共取两次，定义随机变量X，Y如下： 求在有放回抽样的情况下，X和Y的联合分布律及边缘分布律解 X和Y的联合分布律XY01016/254/2514/251/25进而X和Y边缘分布律分别是X01p4/51/5Y01p4/51/511、已知二维连续型随机变量的密度函数为，求。同题7.12、设和相互独立，且都服从正态分布，求随机变量的密度函数。 类似P82例9.13、设和相互独立，且都在区间上服从均匀分布，求的密度函数。解： 同理可得， 又和相互独立， 要求的密度函数，可先求的分布函数，再求导可得 的密度函数 1、的分布函数 .（1） 当时，（2） 当时，（3） 当时，（4） 当时，综上，的分布函数为2、利用性质，得的密度函数为 14、设随机变量与独立同分布，且的概率分布为12记，求的分布律，并讨论U与V的相互独立性。解：U,V的可能取值都为1,2.P(U=1,V=1)=P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1)=4/9;P(U=2,V=1)=P(X=2,Y=1)+ P(X=1,Y=2)=P(X=2)P(Y=1)+ P(X=1)P(Y=2)=4/9;P(U=1,V=2)=0;P(U=2,V=2)=P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2)=1/9,所以的联合分布律为：UV1214/9024/91/9注意到：P(U=1)=4/9,P(V=1)=8/9,显然P(U=1,V=1) P(U=1) P(V=1)，所以U,V不相互独立。15、若随机变量X的概率密度函数，求E(X)。解：16、 设随机变量(X，Y)的概率密度函数为 ，求E（X）、E（Y），并判断X与Y是否相互独立。解显然X与Y不相互独立17、设平面区域G由曲线及，所围成，二维随机变量的区域G上服从均匀分布，试求解 ，从而随机变量的概率密度18、连续型随机向量(X,Y)的密度函数为，求解：由于，所以，从而k=8.19、设随机变量与的相关系数为，求与的相关系数。解：10、 设随机变量服从上的均匀分布，求（1）的概率密度与两个边缘概率密度（2）概率以及两个随机变量的相关系数。解 由随机变量服从上的均匀分布，此时，从而随机变量的概率密度（1） （2）故 同理 E(Y)=2/3, 所以 21、某公司生产的机器无故障工作时间X有密度函数，（单位：万小时），公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用1.2万小时之间出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之间出故障，则予以维修，由公司负责维修，由公司负担维修费400元；在2万小时以后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均利润？解 记由已知 所以22、 从总体中抽取容量为16的简单随机样本，设为样本均值，为修正样本方差，即 ，求样本方差的方差.解：因为所以故23、已知总体的概率密度为，其中未知，是来自总体的样本，求的矩估计量。解：令，解得所以的矩估计量为24、设总体X的概率密度为，其中是未知参数，为一个样本，试求参数的矩估计量和最大似然估计量。解：因为 用样本一阶原点矩作为总体一阶原点矩的估计，即： 得 故的矩估计量为 设似然函数，即 则 ，令，得