全等三角形中档题.doc

倍长中线（线段）造全等1、已知：如图，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且 AE=EF，求证：AC=BF分析：要求证的两条线段AC、BF不在两个全等的三角形中，因此证AC=BF困难，考虑能否通过辅助线把AC、BF转化到同一个三角形中，由AD是中线，常采用中线倍长法，故延长AD到G，使DG=AD，连BG，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。2、已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF提示：倍长AD至G，连接BG，证明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形3、已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.4、在ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A、1AB29 B、4AB24 C、5AB19 D、9AB195、已知：AD、AE分别是ABC和ABD的中线，且BA=BD， 求证：AE=AC6、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.7、已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线，求证：C=BAE提示：倍长AE至F，连结DF 证明ABEFDE（SAS）进而证明ADFADC（SAS）8、如图23，ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DEDF，交AB于点E，连结EG、EF. 求证：BG=CF 请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。9、如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证：方法1：在DA上截取DG=BD，连结EG、FG 证明BDEGDE DCFDGF 所以BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边方法2：倍长ED至H，连结CH、FH 证明FH=EF、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边10、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.11、已知：如图，在中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分方法1：倍长AE至G，连结DG方法2：倍长FE至H，连结CH图4-2图4-3截长补短7.9作业：已知，四边形ABCD中，ABCD，12，34。求证：BCABCD。1、如图，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.证明：在CD上截取CF=BC在FCE与BCE中，FCEBCE（SAS）,2=1.又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4.在FDE与ADE中，FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC.2、已知：如图，在ABC中，C2B，12.求证：AB=AC+CD.证明：方法一（补短法）延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，ACB2E，ACB2B，BE，在ABD与AED中,ABDAED（AAS）,AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.方法二（截长法）AB上截取AF=AC，在AFD与ACD中,AFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.又ACB2B，FDBB，FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.3、如图，在ABC中，BAC=60， AD是BAC的平分线，且AC=AB+BD，求ABC 的度数4、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD5、已知中，、分别平分和，、交于点，试判断、的数量关系，并加以证明 6、如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP7、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC8、如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD， 求证：BAD+C=1802、如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，则B与ADC互补.为什么？DBEAC3、如图4，在ABC中，BD=CD，ABD=ACD,求证AD平分BAC. ABCD4、如图，在ABC中，ABC=100，ACB=20，CE平分ACB，D是AC上一点，若CBD=20，求ADE的度数.7.5作业：已知，ABAD，12，CDBC。求证：ADCB180。7.6作业：如图，在ABC中ABC,ACB的外角平分线交P.求证:AP是BAC的角平分线7.6作业：如图,B=C=90,AM平分DAB,DM平分ADC求证:点M为BC的中点连接法（构造全等三角形）7.9作业：已知：如图所示，ABAD，BCDC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AEAF。DBCcAFE1、如图，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC求证：CO=DO2、已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AFCD求证：B=E 3、如图 11-30，已知ABAE，BE，BCED，点F是CD的中点.求证：AFCD.4、在正内取一点，使，在外取一点，使，且，求. 5、如图所示，BD=DC,DEBC,交BAC的平分线于E，EMAB,ENAC,求证：BM=CNACNEMBD6、如图，在ABD和ACD中，AB=AC，B=C求证：ABDACD全等+角平分线性质1、如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，且DB=DC，求证：EB=FC2、已知：如图所示，BD为ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PMAD于M，PNCD于N，判断PM与PN的关系全等+等腰性质1、如图，在ABE中，ABAE,ADAC,BADEAC, BC、DE交于点O.求证：(1) ABCAED； (2) OBOE .2、.已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，ABDC，BECF，BC求证：OAOD两次全等7.4作业：AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF1、如图，D、E、F、B在一条直线上AB=CD, B=D，BF=DE.求证：（1）AE=CF; （2）AECF （3）AFE=CEFADFECB2、如图：A、E、F、B四点在一条直线上，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=BD。求证：ACFBDE3、如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6 4、已知如图，E、F在BD上，且ABCD，BFDE，AECF求证：AC与BD互相平分ABEOFDC由BFDF，得BEDFABECDF，BD再证AOBCOD，得OAOC，OBOD即AC、BD互相平分5、如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABC=90DEAC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC.求证：BG=FGAFCBDEG直角三角形全等（余角性质）作业：如图，在等腰RtABC中，C90，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G求证：BDCG1、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程解：全等三角形为：ACDCBE证明如下：由题意知CAD+ACD=90，ACD+BCE=90，CAD=BCE在ACD与CBE中， ADC=CEB=90 CAD=BCE AC=BC ，ACDCBE（AAS）ABCFDE2、如图，ABC90，ABBC，D为AC上一点，分别过A、C作BD的垂线，垂足分别为E、F求证：EFCFAE证ABEBCF，得BECF，AEBF，EFBEBFCFAE3、在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.4、如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。作平行线1、已知ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G求证：EG=GF 2、如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于点E求证：CD=BE15432EFBDCA证明：过点D作DFAB交BC于点FBD平分ABC，1=2DFAB，1=3，4=ABC 2=3，DF=BFDEBD，2+DEF=90，3+5=90DEF=5DF=EFAB=AC，ABC=C4=C，CD=DFCD=EF=BF，即CD=BE延长角平分线的垂线段1、如图，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求证：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形证明：延长CE交AB于点FAD平分BAC，FAE=CAECEAD，FEA=CEA=90在FEA和CEA中，FAE=CAE，AE=AE，FEA=CEA FEACEAACE=AFEAFE=B+ECD，ACE=B+ECD2、如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE3、如图：BAC=90，CEBE，AB=AC ，BD是ABC的平分线，求证：BD=2EC4、已知，如图34，ABC中，ABC=90，AB=BC，AE是A的平分线，CDAE于D求证：CD=AE面积法例1 如图1，在ABC中，BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.分析：根据已知可知AD是BAC的平分线，可通过点D作BAC的垂线，根据角平分线的性质，结合三角形的面积进行证明.证明：过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E、F.因为DA为BAC的平分线，所以DE=DF.又因为AD平分BC，所以BD=CD，所以SABD=SACD，又SABD=ABDE，SACD=ACDF，所以ABDE=ACDF，所以AB=AC.2、如图所示,已知D是等腰ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CMAB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系, 并给予证明.3、己知，ABC中，AB=AC，CDAB，垂足为D，P是BC上任一点，PEAB，PFAC垂足分别为E、F，求证： PE+PF=CD. PE P F=CD.FEDCABGPFEDCABGP旋转型1、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。求证： BCGDCE BHDEFEDCABGH2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE图1图2DCEAB3、（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC求AEB的大小；CBOD图7AE（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求AEB的大小.BAODCE图84、如图，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E，求证：（1）BD=CE；（2）BDCE证明：（1）AEAB，ADAC BAE=CADBAD=CAE而AB=AE，B=E， ABDAECBD=CE （2）由ABDAEC知B=E 而AGB=EGF，EFG=EAB=90，BDCE5、如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证： （1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF6、 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 7、D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当绕点D转动时，求证DE=DF。若AB=2，求四边形DECF的面积。8、如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求的周长。9、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180，求证：AD平分CDE10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形ABCDE的面积