讲稿第一章随机变量.doc

随机信号分析48/3，考试闭卷(warning)，张花国助教，先修：信号与系统，概率论要求：建立概念，掌握基本描述与分析方法后续：电子系统（通信系统是都要学的）l 今后要解决的问题：信息获取、传输、处理n 依赖系统（通信、雷达、制导、水声、计算机、语音、生物医学、图象、广播电视。）u 电路（低频、高频、脉冲与数字、微波）：元器件/连接u 电磁场（电磁场、微波、天线）：天线与传播u 信号（信号与系统、随机信号分析）：信息的载体u 信息（编码、加密解密、协议）l 为什么要用随机模型？n 繁杂、未知造成的不确定性。n 信源的不确定性、传输与观测的不确定性、噪声第一章 随机信号基础（随机变量的基本概念、基本理论和基本方法。）1.1 随机变量要点回顾样本空间：一次实现、一次试验或者一次测量为，所有可能的取值的集合叫做样本空间随机变量：用一个实数描述一次的取值，所有可能的取值的集合叫做随机变量，简称。即：样本点的数值域表示Example 1: 硬币（正/反、0/1）。离散取值Example 2: 在0,1区间内随意取一个值，连续取值u 大写表示随机变量（有集合的概念，有很多可能的取值，）u 小写代表取值（则），它是一个确定量事件：组合的样本集合（ex: 取到正面，两次正面一次反面等）概率：事件发生的机率，例如：事件A：，或或1.1.1 随机变量的分布律这里将给出一些定义来描述取值的可能性问题。一概率分布函数如果取值是离散的而且是有限个，那么一一列出其概率就完整的刻画了这个随机变量的分布律。如果是连续的（如上面例2，无法列出而且零概率可能发生），则选择范围上的概率来描述。这样连续离散都可以描述。（1）定义：分布函数（或者叫累积分布函数）（注意这里是确定变量，代表取值，不是随机的）例1：已知下表，可以求出是阶梯型的1230.20.10.7例2：在0,1区间内均匀投点，是一个坡：（2）性质：a 单调非降：则b c ， d e 右连续的，即f 对连续，即任意一点的概率趋近于零。g 对离散，二概率密度函数定义：，单位区间上累积分布函数的增量，密度概念。2 性质（1）（2） 非负（因为单调非降）（3）（4）区间概率：（区间面积）（5）离散：，Kronecker 函数三随机变量的二维联合分布律（一）二维联合概率分布函数定义：和的：性质： a , , ，（课堂思考） b c 边缘分布函数 d e 离散RV： （二）二维联合概率密度函数定义：和的二维联合概率密度函数：性质： （1） （2） （3） （4）边缘概率密度函数： ， ， （5）：四随机变量的条件分布律以上定位在概率上，如果用条件概率代替概率，以上就是条件概率分布函数或条件概率密度函数例：某日的气温与日期。Bayessian公式：，或者现在假设和无联系，即使：，代入看到：统计独立五多维随机变量的联合分布律（推广）概念类似，注意符号写法：， (1.1.23,24)k个随机变量统计独立：或六例题例1： 已知随机变量X为拉普拉斯分布，求：和解：（1） 时 时 （2） 例2： 已知随机变量X分布函数 求：及解：（1） （2）, 1.1.2 随机变量的数字特征分布率充分地描述了统计特性，但不易获得，物理应用（意义）不直观。只用另外一类统计特性，即所谓的数字特征，可以简便获得，含义清晰，但描述不一定充分。一数学期望（统计平均、集平均）u 定义：用或表示。离散X： ，连续X： （注意符号！）例：随机变量的函数的含义。函数的数学期望：二维：u 典型的做题：已知，求例： （积分是线性运算）例：例：若X、Y相互独立，则（证明：参见1.1.22）同理：u 其他：中值（中位数），众数，图1.6二方差u 定义：方差用来描述随机变变量的取值分布的离散特性，用或表示。定义称为标准差或标准偏。 离散随机变量X： 连续随机变量X：解释图1.7：越小，RV的离散程度也越小。例：例：；例1.1.1(p.8)自己做，注意里面的数学。三矩特性（1）原点矩：随机变量X的原点矩定义为：，其中n=1,2, 数学期望，均方值，是均芳根（2）中心矩：随机变量X的中心矩定义为：，其中n=1,2, ，是方差，是标准差或标准偏 注：高斯随机变量的奇数阶中心矩全为零（3）联合原点矩： 叫 X和Y的相关矩 ，是均方值定义为与正交（4）联合中心矩： 叫协方差，可以表示为注：相关矩有可能受均值的影响而掩盖其真实的相关性例：（5）相关系数 定义：（1.1.39） 越大，其相关性越强，且; 若则称X，Y正相关，称X，Y负相关，称线性相关。叫不相关，零均值情况下也等价于正交。注意：不相关定义在相关系数上，也就是定义在协方差上，而不是相关矩上。零均值情况下不相关与独立等价。例：若X与Y相互独立X和Y不相关。注意：若X与Y不相关，但X与Y不一定相互独立。参见P.11, 例1.1.4例1.1.2, 1.1.3例：已知： 求： 解：（X，Y）（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）P 0.4 0.1 0.2 0.3x 0 1Pi 0.5 0.5 y 0 1Pj 0.6 0.4 同理：1.1.3 随机变量的函数变换一一维变换问题：，？（1） 假设为单调函数，存在唯一的反函数，则区间概率（画图说明）：三个步骤：求反函数，求导，代入公式。例（P.14），解：(i) 单调，求反函数：(ii) 求导：(iii) 代入，得到：，即：（2） 若函数为非单调的，则可将其化为若干个（）单调的区域进行分别变换。每个单调区间存在一个反函数 ，（画图说明）则 （B为y的值域）例：解：，特别提醒：若，则. 二二维变换已知随机向量的联合概率密度，现有且： 存在唯一的逆函数 则 其中 称为雅可比行列式例：已知随机变量X，求：随机变量的解：由得 ， 例：已知随机变量X，Y互相独立，均服从，且：求：及的独立性。解：联合概率密度函数：注意这里给出的本身就是反函数：它的原函数是： 解：（1） （2）求边缘： 与是相互独立的例：，是随机变量，均匀分布，是常量。求解：限定在一个周期内的正弦波有双值。注意如下技巧，用正函数求导再表示成函数的形式来求反函数求导！，本来应该用代替，但其为常数，这一步就省略了。（注意：其他一定要写上）例：（P.17）1.1.7，注意其中的技巧。互相独立的随机变量的概率密度函数之和为各自概率密度函数的卷积。1.2 随机变量的特征函数u 分布律（分布函数、密度函数）完整描述，但不易获得，不易推导。u 数字特征（数学期望、方差，矩等）简便明了，含义清晰，容易得到，但描述不一定完整。u 特征函数，与概率密度函数是正反变换关系，描述充分，具有良好的数学性质，但物理意义不明显。1.2.1 特征函数一定义：特征函数也是一个统计平均量，随机变量X 的特征函数就是由X组成的一个新的随机变量的数学期望：根据特征函数定义，特征函数与概率密度有类似傅氏变换的关系，傅立叶变换有很好的数学性质。可以按照时间/频率去理解。 例：已知随机变量：，求。解： （注意技巧：高斯概率密度函数积分为1） 高斯变量的特征函数！二性质：（1） （3），a和b为常数，Y的特征函数为： （4）互相独立的随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积 即：若 则： 如果之间相互独立例：书上P.20, 1.2.1例：已知随机变量： ：，且，与相互独立。求：的特征函数及解： 三与矩函数的关系：特征函数与矩函数是一一对应的。 证明： 则：令： 又（麦克劳伦级数） 1.4随机变量的实用分布律一 连续型1 均匀分布： 记为例：A/D量化噪声，正弦波相位 ， 2 指数分布 ，3 高斯分布 记为：例：独立因素的叠加，中心极限定理。性质见书。4 瑞利分布： ，例：高斯的幅度分布。二 离散型1 贝努力分布（两点分布）： ， 例：抽检一次正品次品2 二项式分布：次实验中概率的贝努力实验中出现次数的分布，记为：例：抽检次正品次数泊松分布：单位时间出现次数。，则，记为例： 流量均匀的汽车，LAN，电话呼叫，雷达脉冲。