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蚈薃膈聿莈螈肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袂螄芁薄蚄肃芁芃袀罿芀莅蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀薄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羁蒈莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂衿膁肃莁蚂肇肂蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袂螄芁薄蚄肃芁芃袀罿芀莅蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀薄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羁蒈莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂衿膁肃莁蚂肇肂蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袂螄芁薄蚄肃芁芃袀罿芀莅蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀薄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羁蒈莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂衿膁肃莁蚂肇肂蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袂螄芁薄蚄肃芁芃袀罿芀莅蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀薄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羁蒈莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂衿膁肃莁蚂肇肂蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袂螄芁薄蚄肃芁芃袀罿芀莅蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀薄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羁蒈莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂衿膁肃莁蚂肇肂蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袂螄芁薄蚄肃芁芃袀罿芀莅蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀薄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羁蒈莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂衿膁肃莁蚂肇肂蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袂螄芁薄蚄肃芁芃袀罿芀莅蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀薄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羁蒈莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂衿膁肃莁蚂肇肂蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袂螄芁薄蚄肃芁芃袀罿芀莅蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀薄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羁蒈莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂衿膁肃莁蚂肇肂蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袂螄芁薄蚄肃芁芃袀罿芀莅蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀薄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羁蒈莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂衿膁肃莁蚂肇肂蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袂螄芁薄蚄肃芁芃袀罿芀莅蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀薄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羁蒈莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂衿膁肃莁蚂肇肂蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈薃膈聿莈螈肄膈蒀薁羀膇薃螇袆膇节薀螂膆蒅袅膁膅薇蚈肇膄虿袃羂膃荿蚆袈膂蒁袂螄芁薄蚄肃芁芃袀罿芀莅蚃羅艿薈羈袁芈蚀螁膀芇莀薄肆芆蒂蝿羂芅薄薂袈莅芄螈螄莄莆薀肂莃葿螆肈莂蚁蕿羄莁莁袄袀莀蒃蚇腿荿薅袂肅荿蚈蚅羁蒈莇袁袇肄蒀蚄螃肃薂衿膁肃莁蚂肇肂蒄羇羃肁薆螀衿肀蚈 第三章习题3-11 设s=1dsgt，求2dtt=2 121g解：dst-g4dt=lims(t)-s(2)2t-2=limt=2tt2t-2 =lim1t22g(t+2)=2g2 设f(x)= 1x，求f(x0) (x00) 解：f(x)=(1x)=(x-1)=-1x2 f(x0)=-1x2(x00) 3（1）求曲线y=x2上点（2，4）处的切线方程和法线方程；（2）求过点（3，8）且与曲线y=x2相切的直线方程；（3）求y=ex上点（2，e2）处的切线方程和法线方程；（4）求过点（2，0）且与y=ex相切的直线方程。解：略。4 下列各题中均假定f(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：(1) f(x0-Dx)-f(x0)Dlimx0Dx=A;(2) f(x0)=0, xlimf(x)x0x-xA； (3) limf(x0+h)-f(x0-h)h0h=A解：(1)Qf(x0-Vx)-f(x0)fx0+(-Vlimx0Vx=-limVx)-f(x0)Vx0-Vx=-f(x0) A=-f(x0) (2)Qlimf(x)x=-limf(x)-f(x0)xx00-xxx=-f(x0x-x0) 1A=-f(x0) f(x0+h)-f(x0-h) h0hf(x0+h)-f(x0)-f(x0-h)-f(x0) =lim h0hf(x0+h)-f(x0)fx0+(-h)-f(x0)+lim =lim h0-h0h-h (3)Qlim=f(x0)+f(x0)=2f(x0)A=2f(x0)5 求下列函数的导数：(1) y(2) y；(3) y12 解：(1)Qy=x121-1 y=(x)=x2=2 (2)Qy=x-23235-1-2-22 y=(x)=-x3=-x3= 33-23-5216 (3)Qy=xVxVx162=x1-5 y=(x)=x6= 66 讨论函数yx=0点处的连续性和可导性 解：Q=0=f(0)xf(x)-f(0)0 lim=lim= x0x0x0x-0x 函数y在x=0点处连续但不可导。7 试由倒数定义，证明：若f(x)为可导的奇（偶）函数，则f(x)是偶（奇）函数。 证：Qf(x)为偶函数f(-x)=f(x)2f(x)-f(0)f(-x)-f(0)f(0)=limx0x-0=limx0x-0 =-limf(-x)-f(0)x0-x-0=-f(0)，即2f(0)=0 故f(0)=08 求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：(1) ysinx,x0,x3,x0,x0=0； (2) y=x1,xx2,x1. ax+b,为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值?解：为使f(x)在x=1处连续，必须f(1-0)=f(1+0)=f(1)， f(1+0)=limx1+f(x)=lim(x1+ax+b)=a+b f(1-0)=limf(x)=limx2x1-x1-=1，f(1)=1 a+b=1b=1-a (1) 为了使f(x)在x=1处可导，必须f+(1)=f-(1) ff(x)-f(1)+(1)=limx1+x-1=limax+b-1x1+x-1=limax-ax1+x-1=a 3 2f(x)-f(1)x-1=lim=lim(x+1)=2 f-(1)=limx1-x1-x-1x1-x-1a=2，代入（1）式得b=-1当a=2，b=-1时f(x)在x=1处连续且可导。10 证明： 双曲线xya上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a证：设p(x0,y0)是双曲线xy=a2上任一点，则x0y0=a2，该双曲线在p(x0,y0)处切线的斜率 k=yx=x0xyya2=-2=-020=-0该双曲线在p(x0,y0)x0x0x0y0(x-x0) x0处切线的方程为：y-y0=-令x=0得该切线在y轴上的截距为2y0，令y=0得该切线在x轴上的截距为2x0，于是，它与两坐标轴构成的三角形的面积s=12y02x0=2x0y0=2a2=2a2。 21gt(m)，求： 211 垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h(t)10t(1) 物体从t=1(s)到t=12(s)的平均速度；(2) 速度函数v(t)；(3) 物体何时到达最高点11(101.2-9.81.22)-(101-9.812)h(1.2)-h(1)解：(1)v= =1.2-10.2=-0.78(m/s)(2)v(t)=h(t)=10-gt(3)当v(t)=0时，物体到达最高点。由v(t)=0即10-gt=0得t=1050=(s) g49即上抛50时物体到达最高点。 4912 设物体绕定轴旋转，在时间间隔0,t内，转过角度，从而转角是t的函数；(t)如果旋转是匀速的，那么称q为该物体旋转的角速度如果旋转是非匀速t4的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度?解：设从时刻t0到t0+Vt间转过的角度为Vq，则Vq=q(t0+Vt)-q(t0)物体在时刻t0的角速度为w(t)=limdqd。 Vt0dt=qdtt=t013已知f(x)在x=x点可导，证明：limf(x0-ah)-f(x0-bh)h0h =(a)f(x0)证：当a0，b0时， limf(x0+ah)-f(x0-bh)h0h =limf(x0+ah)-f(x0)-f(x0-bh)-f(x0)h0h =limaf(x0+ah)-f(x0)bf(x0-bh)-f(x0)h0ah+limh0-bh=af(x0)+bf(x0)=(a+b)f(x0) 习题3-21 求下列函数的导数：(1) s=3lnt+sin7； (2) yx;(3) y=(1-x)sinx(1-sinx);(4) y=1-sinx1-cosx； (5) y=tanx+e；(6) y=secxx-3secx; (7) y=lnx-2lgx+3log2x;(8) y=11+x+x2解：(1)s=3t(2)y=x)=lnxx)=+=(3)y=(1-x2)sinxV(1-sinx)+(1-x2)(sinx)(1-sinx)+(1-x2)VsinxV(1-sinx)5=-2xsinx(1-sinx)+(1-x2)cosx(1-sinx)+(1-x2)sinx(-cosx) =2xsin2x-2xsinx+cosx-x2cosx-sin2x+x2sin2x (4)y=(1-sinx)(1-cosx)-(1-sinx)(1-cosx)(1-cosx)2 =-cosx(1-cosx)-(1-sinx)sinx1-sinx-cosx(1-cosx)2=(1-cosx)2(5)y=(tanx)+(ep)=sec2x+0=sec2x (6)y=(secxx)-3(secx)=xsecxtanx-secxx2-3secxtanx(7)y=(lnx)-2(lgx)+3(log2x) =1x-2xln10+3xln2=1x(1-2ln10+3ln2) -(1+x+x2(8)y=)-2x-1(1+x+x2)2=(1+x+x2)2 2 求下列函数在给定点处的导数：(1) y=xsinx+1dy2cosx，求dx；x=4(2) f(x)= 3x25-x+5,求f(0)和f(2);(3) f(x)= 5x-4,x1,4x-3x,x1,求f(1)2解：(1)Qdydx=sinx+xcosx-112sinx=2sinx+xcosxdy=1pppdxx=p42sin4+4cos4=4(1+p2) (2)Qf(x)=-3(5-x)(5-x)2+25x=3(5-x)2+25x f(0)=325,f(2)=1715 (3)Qf(1)=limf(x)-f(1)(5x-4)-15(-x1-x-1=limx1-x-1=limx-1)x1-x-1=56ff(x)-f(1)4x2-3x-1(4x+(1)=lim1+x-1=limx1+x-1=lim+1)(x-1)xx1+x-1=lim(4x1+x+1)=5f+(1)=f-(1)=f(1)=53 设p(x)=f1(x)f2(x)fn(x)0,且所有的函数都可导，证明p(x)p(x)=f1(x)f(x)+f2(x)f+L+fn(x)12(x)fn(x)证：Qp(x)=f1(x)f2(x)fn(x)+f1(x)f2(x)f3(x)fn(x)+f1(x)f2(x)fn-1(x)fn(x) p(x)p(x)=f1(x)f2(x)fn(x)+f1(x)f2(x)f3(x)fn(x)+f1(x)fn-1(x)fn(x)ff1(x)2(x)fn(x)=f1(x)f2(fn(x)f+x)+.1(x)f2(x)fn(x)4 求下列函数的导数：(1) y=e3x; (2) y=arctanx2；(3) y=y=(1+x2)ln(x);(5) y=x2sin1x2; (6) y=cos2ax3(a为常数)；(7) y=arccos1x; (8) y=(arcsinx22);(9) yy=sinnxcosnx;(11) y(12) y=arc (13) y=lncosarctan(shx);(14) y=xa2x22arcsina（a0为常数）解：(1)y=e3xV(3x)=3e3x;7(2)y=12x1+x4(x2)=1+x4;(3)y=x+1)=2=;(4)y=(1+x2)Vln(x+(1+x2)Vln(x=2xln(x2x=2xln(x2+2x)=2xln(x2 =2xln(x;(5)y=(x2)Vsin1x2+x2(sin1x2) =2xsin1x2+x2cos11x2V(x2)=2xsin1x2+x2cos1-2x2x3=2xsin1x2-2xcos1x2 (6)y=2cosax3(cosax3)=2cosax3(-sinax3)(ax3)=-3ax2sin2ax3;(7)y=(1-1x)=x2=x (8)y=2arcsinxV(arcsinx)=2arcsinx2arcsin222(x)=2(9)y=+ln2x)=2lnx1x=; 8 (10)y=nsinn-1xVcosxVcosnx+sinnxV(-sinnx)Vn=nsinn-1x(cosxcosnx-sinxsinnx)=nsinn-1xcos(1+n)x;(11)y= =;(12)y=1-x=()1+x =-(1+x)-(1-x)V12(1+x)-2(1+x)21V(cosarctan(shx) cosarctan(shx)1V(-sinarctan(shx)V(arctan(shx) cosarctan(shx) = = (13)y= =1(shx) 21+shxshxshxVchxVchx=-=-thx =-221+shxchx =-tanarctan(shx) 9(14)y=xa212+2a=22 5 y=arccosx-33yx=3 解：y=(x-36-3)-2(x)x=1(-1)x-(6-x)V13x2=6x2yx=3=691=36 试求曲线y=e-x(0，1)及点(-1，0)处的切线方程和法线方程2 解：y=e-xV(-1)e-x1(x+1)-33=e-x y22x=0=-3 故曲线在(0,1)点的切线斜率k=-3曲线在(0,1)点的切线方程为 y-1=-23x即2x+3y-3=0法线方程为 y-1=32x 即3x-2y+2=0又 yx=-1= 此时，曲线具有垂直于x轴的切线 x=-1,其法线为 y=0.7 设f(x)可导，求下列函数y的导数dydx：10 (1) y=f(x2)；(2) y=f(sin2x)+f(cos2x)解：(1)dydx=f(x2)V(x2)=2xf(x2) (2)dydx=f(sin2x)V(sin2x)+f(cos2x)V(cos2x)=f(sin2x)V2sinxcosx+f(cos2x)V2cosx(-sinx) =sin2xf(sin2x)-f(cos2x)8 求下列隐函数的导数：(1) x3+y3-3axy=0; (2) x=yln(xy);(3) xey+yex=10； (4) ln(x2+y2)=2arctanyx;(5) xy=ex+y解：(1)方程两边对x求导，得：3x2+3y2Vy-3ay-3axy=0解得 y=x2-ay2ax-y2 (ax-y0)(2) 方程两边对x求导，得： 1=yln(xy)+y1xy(xy+y)即1=yVln(xy)+y+yx即y=x-yx1+ln(xy) (x1+ln(xy)0)(3) 方程两边对x求导，得：ey+xeyVy+yex+yex=0=-ey+yex解得yxey+ex(xey+ex0)(4) 方程两边对x求导，得： 1x2+y2(2x+2yVy)=21xy-y+y2x21x2即x+yVyx2+y2=xy-yx2+y2即x+yVy=xy-y11即y=x+yx-y(x-y0)(5) 方程两边对x求导，得： y+xy=ex+y(1+y) 解得y=ex+y-yx-ex+y (x-ex+y0)9 用对数求导法求下列函数的导数：(1) y； (2) y=sinxcosx; 2x(3) y解：(1)两边取得对数，得： lny=12ln(x+2)+4ln(3-x)-5ln(x+1)上式两边对x求导，得： 11yVy=2(x+2)-14(3-x)-5x+1 所以y=(3-x)411(x+1)5(2(x+2)-4(3-x)-5x+1)(2) 两边取得对数，得： lny=cosxVlnsinx 上式两边对x求导，得：1yy=(-sinx)Vlnsinx+cosx1sinxVcosx即 1yy=cos2xsinx-sinxVlnsinx所以 y=sinxcosx(cos2xsinx-sinxVlnsinx)(3) 两边取得对数，得： lny=2x+ln(x+3)-112ln(x+5)-2ln(x-4)上式两边对x求导，得：1Vy=2+1x+3-1y2(x+5)-12(x-4)12y=2x+111x+3-2(x+5)-2(x-4)10 求下列参数方程所确定的函数的导数dydx(1) x=acosbt+bsinat,y=asinbt-bcosat,（a,b为常数）；(2) x=q(1-sinq),y=qcosq.dy解：(1)dyabcosbt+absinatcosbt+sinatdx=-absinbt+abcosat=cosat-sinbt dtdy(2)dycosq-qsinqcosq-qsinqdx=1-sinq+q(-cosq)=1-sinq-qcosqdq11 已知x=etsint,求当tdyy=etcost,=3时dx的值dydyetcost-et解：dx=sintcost-sintdx=etsint+etcost=cost+sintdtcospdy-sinpdxt=p=23cos3+sin3习题 3-31 设f(x)=ln(1+x),求f(n)(x)解：f(x)=11+x， f(x)=-1(1+x)2， f(x)=-12(1+x)2=(1+x)3设f(k)(x)=(-1)k-1(k-1)!(1+x)k13 则f(k+1)(x)=(f(k)(x)=(-1)k-1V(k-1)!(-k)(1+x)-k-1=(-1)kk! k+1(1+x) 由数学归纳法知 f(x)=(-1)nn-1(n-1)! n=1,2,3,. (1+x)n2 设y=11()(),a0，求yn，并由此求f(x)= 2的n阶导数fn(x) ax+bx-1解：y=(ax+b)-1=(-1)(ax+b)-2Vay=(y)=(-1)(-2)Va2V(ax+b)-3=(-1)2V2!Va2V(ax+b)-3 y=(y)=(-1)3V3!a3(ax+b)-4设y(k)=(-1)kVk!Vak(ax+b)-(k+1)则y(k+1)=(y(k)=(-1)kVk!VakV-(k+1)(ax+b)-(k+2)Va =(-1)k+1V(k+1)!ak+1(ax+b)-(k+2)由数学归纳法知 y(n)=(-1)nVn!anV(ax+b)-(n+1) n=1,2,. 由上述结论有 (1n1)=(-1)nVn!(x-1)-(n+1)=(-1)nVn! x-1(x-1)n+11n1)=(-1)nVn!(x+1)-(n+1)=(-1)nVn! n+1x+1(x+1)1111=(-) x2-12(x-1)(x+1) ( 而f(x)= f(n)11n11n(-1)nVn!11(x)=()-()=(-) 2x-12x+12(x-1)n+1(x+1)n+1 3 求下列函数在指定点的高阶导数：(1) f(x)2x-1f(0)； (2) f(x)e，求f(0)，f(0)；6(5)(6)(3)(3) f(x)=(x+10),求f(0),f(0)14解：(1)f(x)= =(1+x)2-32 5-322x f(x)=-(1+x)2V25-322V0=0 f(0)=-(1+0)2V2(2)f(x)=e2x-1V(2x-1)=2Ve2x-1, f(x)=4Ve2x-1f(3)(x)=8Ve2x-1 e f(x)=4V20-1=48(3)e20-1= ,f(0)=8Vee(3)f(x)=6(x+1)5,f(x)=65(x+1)4f(x)=654(x+1)3,f(4)(x)=6543(x+1)2 ff(5)(x)=65432(x+1),f(6)(x)=654321=6! (0)=654321=6!=720,f(6)(0)=6!=720 (5)d2y4 求下列方程所确定的隐函数y=y(x)的二阶导数2： dx(1) bx+ay=ab; (2) y=1+xey;24(3) y=tan(x+y); (4) y+2lny=x解：(1)方程两边对x求导，得： 222222b2x 2bx+2ayVy=0 (*) 由此得 y=-2， ay22(*)式两边再对x求导，得：b2x222222 2b+2ay+2ayVy=0，将y=-2，并注意到bx+ay=ab ay2222a2b2y2+b4x2b2(a2y2+b2x2)b2Va2b2b4得y=-=-=-43=-23 a4y3a4y3ayay(2) 方程两边对x求导，得：15=ey+xeyVy (*) 解得y=eyeyy1-xey=2-y(*)式两边再对x求导，得：y=2eyVy+xeyVy2+xeyVyyeye2y得：y=2eyVy+xeyVy22e2-y+(y-1)(2-y)2e2y(3-y)1-xey=2-y=(2-y)3；(3) 方程两边对x求导，得：y=sec2(x+y)V(1+y),可解得： y=sec2(x+y)1-sec2(x+y)=-csc2(x+y)y=-2csc(x+y)V-csc(x+y)Vcot(x+y)(1+y) =2csc2(x+y)Vcot(x+y)1-csc2(x+y) =2csc2(x+y)Vcot(x+y)-cot2(x+y) =-2csc2(x+y)Vcot3(x+y)；(4) 方程两边对x求导，得： 2yVy+2yVy=4x3,可解得 y=2x3y1+y2 y=(2x3y(6x2y+2x3y)(1+y2)-2x3yV2yVy1+y2)=(1+y2)2 3(6x2y+2x32x3y2322xy1+y2)(1+y)-4xy1+y2=(1+y2)2 6x2y(1+y2)2+4x6y(1+y2)-8x6=y3(1+y2)3 6x2y(1+y2)2+4x6y-4x6=y3(1+y2)35 求下列由参数方程所确定函数的二阶导数d2ydx2：16(1) x=a(t-sint),a0为常数； y=a(1-cost),x=f(t),(2) 其中f(t)存在且非 y=tf(t)-f(t),解：(1)dya(1-cost)asintsint =dxa(t-sint)a(1-cost)1-costx=a(t-sint) 得到参数方程sint y(x)=1-costsint1()-dy1=- 故2=y(x)=； dxa(t-sint)a(1-cost)a(1-cost)22(2)dytf(t)-f(t)f(t)+tf(t)-f(t)=t dxf(t)f(t)得到参数方程x=f(t)y(x)=td2y(t)1 故2= =dx(f(t)f(t)d2y6 已知f(x)存在，求2： dx(1) y=f(x)；(2) y=lnf(x),f(x)解：(1)2dy=f(x2)V2x dxd2y22xV2x+f(x2)V2=4x2f(x2)+2f(x2) 2=f(x)Vdx(2)dy1f(x)=Vf(x)= dxf(x)f(x)d2yf(x)f(x)Vf(x)-f(x)Vf(x)f(x)Vf(x)-f(x)22= =dxf(x)f2(x)f2(x)7 试用数学归纳法证明莱布尼茨高阶导数公式： 若u=u(x)和vv(x)在点x处有n阶导数，则 17(uv)(n)Cuknk=0n(k)Vv(n-k)，其中u=u,v=v, Ckn(0)(0)n(n-1)L(n-k+1) k!证：当n=1时，由(uv)=uv+uv知公式成立， 设当n=k时公式成立，即y(k)=CkiVu(k-i)Vv(i)=u(k)v+ku(k-1)v+i=0kk(k-1)(k-2)uv+uVv(k) 2!两边求导，得y(k+1)=u(k+1)v+u(k)v+ku(k)v+u(k-1)v +k(k-1)(k-1)uv+u(k-2)v+uv(k)+uv(k+1) 2!=Ci=0nk+1i(k+1-i)(i)k+1uv, 即n=k+1时公式也成立，由数学归纳法知，对于一切自然数n公式都成立，即(uVv)= 习题 3-41 在括号 )costdt; (2) d( )sinxdx;(3) d( )nCuknk=0(k)Vv(n-k) 1-2xdx; (4) d( )edx； 1+x(5) d( )dx; (6) d( )secxdx; 1lnxdx; (8) d( )dx x(7) d( )解：(1)Q(sint+C)=cost d(sint+C)=cosdt (2)Q(-1wcoswx+C)=sinwx d(-1wcoswx+C)=sinwxdx 11dx d(ln+x+C)=1+x1+x1-2x1-2x-2x-2x (4)Q(-e+C)=e d(-e+C)=ed
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