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第2章 方程（组）与不等式（组）第一节 方程与方程组一、考纲要求1、一元一次方程的解法2、简单的二元一次方程组的解法3、可化为一元一次方程的分式方程的解法（方程中的分式不超过两个）4、简单数字系数的一元二次方的解法（公式法、配方法、因式分解法）5、列方程（组）解应用题2、 知识点精讲1、整式方程（1）方程：含有未知数的的等式叫做方程。（2）一元一次方程：只含一个未知数，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫做一元一次方程。（3）解一元一次方程主要有以下步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。（4）一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。（5）一元二次方程的常见解法：直接开平方；配方法；公式法；因式分解法。（6）一元二次方程的求根公式是() (7)根的判别式：=b2-4ac;0有两个不相等的实数根;=0有两个相等的实数根;0【答案】m5、【易】（2006芜湖，13）方程的解是【解析】解一元二次方程，本题用因式分解法【答案】6或-26、【易】（2006河南11）方程组的解是_【解析】第一个方程代入第二个方程可得一元二次方程，解之即可。【答案】7、【易】（2006黄冈15）若方程的两个实数根为，那么下列说法正确的有（） 以为根的一元二次方程是【解析】以上均为韦达定理及其变型式，要注意掌握它们。【答案】B8、【易】（2007荆门4）下列方程中有实数根的是( )(A)x22x3=0 (B)x21=0 (C)x23x1=0 (D)【解析】一元二次方程根的判定，分式方程根的判定【答案】C9、【易】（2007芜湖）11已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 【解析】韦达定理【答案】10、【易】（2007芜湖18,8分）芜湖供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8：0022：00，14小时，谷段为22：00次日8：00，10小时平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮003元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时， 谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元(1)问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元?(2)如不使用分时电价结算， 5月份小明家将多支付电费多少元?【解析】方程的实际应用【答案】(1)设原销售电价为每千瓦时x元，根据题意得: 当时，;(2) (元)11、【易】（2010南昌）25剃须刀由刀片和刀架组成，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀（刀片不可更换）和新式剃须刀（刀片可更换）. 有关销售策略与售价等信息如下表所示：老式剃须刀新式剃须刀刀架刀片售价2.5（元/把）1（元/把）0.55（元/片）成本2（元/把）5（元/把）0.55（元/片）某段时间内,甲厂家销售了8400把剃须刀,乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍,乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍.问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架？多少片刀片？【解析】一元二次方程组的实际应用【答案】解：设这段时间内乙厂家销售了把刀架.得.解得. 销售出的刀片数：50400=20000片刀片. 12、【易】（2010荆门15）如果方程ax22x10有两个不等实根，则实数a的取值范围是_【解析】二次项系数不为0，0【答案】a1且a013、【难】（2010芜湖，14）已知x1、x2为方程x23x10的两实根，则_【解析】韦达定理变型式【答案】-114、【中】（2007安徽18）据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取1.41)【解析】一元二次方程的实际应用【答案】设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，由题意得：30%a（1x）2=60%a，即（1x）2=2x10.41，x22.41(不合题意舍去)x0.41。即我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。8分15、【中】（2010安徽，19）在国家下身的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年3月分的14000元/下降到5月分的12600元/问4、5两月平均每月降价的百分率是多少？（参考数据：）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到7月分该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/？请说明理由。【解析】增长率应用题【答案】16、【中】（2006黄冈13,6分）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格某种药品经过两次连续降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？【解析】方程的实际应用【答案】：解：设这种药品平均每次降价的百分率是，由题意，有，（不合题意，舍去）17、【中】（2006南昌，18）已知关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为，且满足，求的值【解析】根的判别式，韦达定理【答案】（1）证明：，原方程有两个不相等的实数根 （2）解：由根与系数的关系，得，解得18、【中】（2008河南,18,9分）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且=115(1)求k的值；（2）求+8的值。【解析】（1）x，x是方程x-6x+k=0的两个根x+ x=6 x x=kxxxx=115k6=115解得k=11，k=-11当k=11时=364k=36440 ，k=11不合题意当k=-11时=364k=36+440k=-11符合题意k的值为11（2）x+x=6，xx=-11而x+x+8=（x+x）2xx+8=36+211+8=66【答案】-11,6619、【中】（2007河南）22(10分)某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（注：获利 = 售价 进价）（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？【解析】方程组与不等式的实际应用【答案】（1）设购进A种商品件，B种商品件根据题意，得解之，得答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件（2）由于A商品购进400件，获利为（13801200）400 = 72000（元）从而B商品售完获利应不少于8160072000 = 9600（元）设B商品每件售价为x元，则120（x1000）9600解之，得x1080所以，B种商品最低售价为每件1080元20、【中】（2007南昌23）2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，球迷小李用8000元做为预订下表中比赛项目门票的资金（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票共10张，问男篮门票和乒乓球门票各订多少张？（2）小李想用全部资金预订男篮、足球和乒乓球三种门票共10张，他的想法能实现吗？请说明理由比赛项目票价（元场）男篮1000足球800乒乓球500【解析】方程组的实际应用【答案】解：（1）设订男篮门票张，乒乓球门票张由题意，得解得答：小李可以订男篮门票张，乒乓球门票张（2）能，理由如下：设小李订男篮门票张，足球门门票张，则乒乓球门票为张由题意，得整理得，均为正整数，当时，小李可以预订男篮门票3张，足球门票5张和乒乓球门票2张小李的想法能实现第二节 不等式与不等式组一、考纲要求1、不等式的意义2、不等式的基本性质3、简单的一元一次不等式的解法4、两个一元一次不等式组成的不等式组的解法5、在数轴上表示不等式（组）的解法6、列不等式（组）解简单的应用题二、知识点精讲1、不等式（组）1、 不等式（组）的有关概念（1） 用“”“”表示大小关系的式子，叫做不等式。（2） 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。（3） 使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解集。2、 不等式的基本性质（1） 不等式两边加（或减）同一个数（或式子）不等号的方向不变。（2） 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。（3） 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。3、 不等式（组）的类型及解法（1） 一元一次不等式 定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。 解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向改变。（2） 一元一次不等式组 定义：类似于方程组，把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成了一个一元一次方程组； 解集：一般地，几个不等式的解集的公共部分叫做它们所组成的不等式的解集； 解法：先求出各个不等式的解集，可借助与数轴确定它们的公共部分。三、分类解析（宋体五号加粗）【经典题型1】不等式的性质【例1】【中】（2006芜湖,10)已知，则下列不等式不一定成立的是（）【解析】由不等式的性质，可排除ABC【答案】D【规律总结】本题考察不等式的性质，要学会从题中寻找条件。【经典题型2】不等式有解无解【例2】（2009荆门，10）若不等式组有解，则a的取值范围是( )(A)a1 (B)a1 (C)a1 (D)a1【解析】不等式有解则大于小的，小于大的，所以-a1；第二个不等式解出：x2;由第二个式子得x4【答案】2x4【规律总结】不等式组的求解【经典题型4】不等式的整数解问题【例5【难】（2010荆门，20,10分）试确定实数a的取值范围，使不等式组恰有两个整数解【解析】由0两边同乘以6得3x2(x1)0，解得x3分由x(x1)a两边同乘以3得3x5a44(x1)3a，解得x2a6分原不等式组的解为x2a又原不等式组恰有2个整数解，x0，112a29分a110分【答案】a1【规律总结】求方程整数解问题，一般利用数轴完成【经典题型5】与一元二次方程结合【例6】【中】（2008河南）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）A. B.且 C. D.且【解析】令方程的0即可求解【答案】B【规律总结】利用一元二次方程根的判定得不等式【例7】【中】（2009荆门）关于x的方程ax2(a2)x2=0只有一解(相同解算一解)，则a的值为( )(A)a=0 (B)a=2 (C)a=1 (D)a=0或a=2【解析】考虑二次项的系数a0a=0分别对方程进行讨论【答案】D【规律总结】当没有提及方程的类型时，一定要注意多节情况【例8】【中】（2010芜湖）7关于x的方程(a 5)x24x10有实数根，则a满足（）Aa1 Ba1且a5 Ca1且a5 Da5考点：考虑二次函数的系数是否等于0答案：A【经典题型6】不等式的应用【例9】【难】（2009荆门,21,10分）星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完(1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？(2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？【解析】解：(1)设买可乐、奶茶分别为x、y杯，根据题意得2x3y20(且x、y均为自然数) 2分x0 解得yy0，1，2，3，4，5，6代入2x3y20 并检验得6分所以有四种购买方式，每种方式可乐和奶茶的杯数分别为：(亦可直接列举法求得)10，0；7，2；4，4；1，67分(2)根据题意：每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y2且xy8由(1)可知，有二种购买方式10分【答案】见解析【规律总结】利用不等式求解方案【例10】（2009河南,22,10分）某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共l5台.三种家电的进价和售价如下表所示： (1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案? (2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13领取补贴.在(1)的条件下如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?【解析】（1）由15-2x；2000x+2400x+1600（15-2x）32400 求的6x7从而得出方案（2）方案1需补贴：（62100+62500+11700）13%=4251（元）； 方案2需补贴：（72100+72500+11700）13%=4407（元）；【答案】（1）方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台； 方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台 （2）国家的财政收入最多需补贴农民4407元. 【规律总结】利用不等式求解方案【例11】【难】（2008安徽，23）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0a3）小时再往A镇参加救灾。一分队了发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4a）千米/时。若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？下列图象中，分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。第23题图【解析】（1）若二分队在营地不休息，则a0，速度为4千米/时，行至塌方处需（小时）因为一分队到塌方处并打通道路需要（小时），故二分队在塌方处需停留0.5小时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需2.5+0.5+8（小时）（2）一分队赶到A镇共需+17（小时）（）若二分队在塌方处需停留，则后20千米需与一分队同行，故4+a5，即a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；（）若二分队在塌方处不停留，则（4+a）(7a)=30，即a23a+20,解得a1=1，a2=2均符合题意。答：二分队应在营地休息1小时或2小时。（其他解法只要合理即给分）(3)合理的图像为（b）、（d）. 图像（b）表明二分队在营地休息时间过长（2a3），后于一分队赶到A镇；图像（d）表明二分队在营地休息时间恰当（1a2），先于一分队赶到A镇。【答案】（1）8；（2）1小时或2小时；（3）b,d合理【规律总结】行程问题4、 巩固练习（宋体五号加粗）1、【易】（2007安徽）解不等式3x22 （x1），并将解集在数轴上表示出来。【解析】原不等式可化为3x22x2. 解得x4.【答案】x4.2、【易】（2010芜湖）求不等式组的整数解【解析】由（1）得x-2;由（2）得x6;得不等式解集为：-2x6【答案】-1,0,1,2,3,4,5,63、【中】（2006荆门）解不等式组：【解析】解不等式，得；解不等式，得在数轴上表示其解集，如下图：不等式的解集是543210第3题图【答案】4、【中】（2007黄冈）将不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（）【解析】由（1）得x3;由（2）得x4【答案】C5、【难】（2010黄冈）21（7分）黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：门票每人60元，无优惠；上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元.公司职工正好坐满每辆车且总费用不超过5000元，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆？【解析】设四座车租x辆，十一座车租y辆.则有，又y，故y5，6，当y5时，x，故舍去.x1，y6.【答案】1和66、【难】（2006南昌）小杰到学校食堂买饭，看到两窗口前面排队的人一样多（设为人，），就站到窗口队伍的后面排队，过了2分钟，他发现窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且窗口队伍后面每分钟增加5人（1）此时，若小杰继续在窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含的代数式表示）？（2）此时，若小杰迅速从窗口队伍转移到窗口队伍后面重新排队，且到达窗口所花的时间比继续在窗口排队到达窗口所花的时间少，求的取值范围（不考虑其它因素）【解析】解：（1）小杰继续在窗口排队到达窗口所花的时间为（分）（2）由题意，得，解得的取值范围为【答案】见解析7、【难】（2007荆门，27,10分）足球比赛记分规则如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分某球队已参加了12场比赛，得21分，请你判断该队胜、平、负各几场【解析】解：设该队胜x场，平y场，则由已知得由知y=213x代入，得x213x12x又y0，由知3x21x7即x7又x为整数，x=5，6，7故答：该队胜5场，平6场，负1场；或胜6场，平3场，负3场；或胜7场，平0场，负5场【答案】见解析
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